1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Так как квадрат полинома также является полиномом, то мы получаем, что если весовая функция ш(х) такова, что выполнены условия (2.17), то всякий полинам Р(х) принадлежит пространству Ьз(У, ш). Последовательность полиномов (и„)„>о, образующая ортогональную систему функций в пространстве Хз(,У,ш), строится с помощью так называемого процесса ортогонализации. Опишем этот п о есс. Пусть ио(х) = 1. Предположим, что для некоторого целого п > 0 определены полиномы ио(х),и1(х),...,и„(х), причем (и;,и ) = 0 при 1 ~ у, 1,у = 0,1,2,...,и. Функцию и„+1(х) определим следующим образом. Полагаем Гл. 14.
Ряды Фурье и преобразование Фурье 222 Таким образом, мы получили с е с т в о ля пост оения по ин к ии после овательности полиномов и об аз ющей о того- нальн ю систем нк ий в и ост анстве Л Хш . Возникает вопрос: будет ли ортогональная система функций, построенная описанным здесь способом, полкой в пространстве Хз1,г, ш)? В каждом конкретном случае этот вопрос должен исследоваться специально. 2.4.2. Рассмотрим промежуток [ — 1, 1) в множестве К.
Лля целого п > 0 для х Е [ — 1,1] положим Т„'1х) = сов[и агссовх). Имеем, очевидно, То(х) = 1 и Тг [х) = х. При каждом п > 1 будет иметь место следующее тождество: сов[и+ 1)у + сов1п — 1)у = 2совусовпу. Полагая в этом равенстве у = агссов х, получим Т„+г1х) + Т„-г1х) = 2хТ„1х). Отсюда вытекает соотношение, позволяющее последовательно нахо- дить функции Т„: [2.18) Т„+г[х) = 2хТ„[х) — Т„г[х). Применяя соотношение [2.18), получаем, в частности, равенства Тз[х) = 4х — Зх, Т4[х) = 8х~ — 8х~ + 1.
Т~[~) = 2*~ — 1, 1 л прип=т, сов пу сов ту ду = ~ 0 прип~т. Так как подынтегральнвя функция здесь четна, то интеграл по проме- жутку [ — гг, я] равен удвоенному интегралу подынтегральной функции по промежутку [О, гг]. В результате получаем х 'в| ( — при п = т, сов пу сов ту Ыу = 2 0 прип~т. о Из соотношения [2.10) по индукции следует, что при каждом п функция Т„представляет собой полипом степени и. Коэффициент при х" в этом полиноме равен 2" г.
Таким образом, нами определена некоторая последовательность полиномов Т„,п = 0,1,2,.... Полиномы Т„называются иаликомами Чебышева. Лля любых целых и, т > О, как показано в ~ 1, выполняются равенства 223 В 2. Обгцее понятие ортогональной системы функций В последнем интеграле произведем замену переменной интегрирования, полагал у = агссов х. В результате получим 1 7Г | Т„(х)Т (х) ~ — при п = т, и'х= 2 (0 приа~т. -1 Следовательно, мы получаем, что полиномы Т„, п = 0,1,2,..., образуют систему функций, ортогональную на промежутке [ — 1,1] относительно веса и (х) = 1 1 — хз Покажем, что ортогональная система функций Т„, и = 0,1,2,..., является п о л н о й в пространстве Аз(1, шт).
(Здесь мы полагаем ,1 = ( — 1, 1) ) Пусть функция г" Е Ьв(1, шт) такова, что для всякого целого п > 0 выполняется равенство Полагая в этом интеграле х = сову, получим, что для всякого целого п > 0 выполняется равенство | Дсов у) сов пулу = О. о Функция у |(сову) интегрируема с квадратом на промежутке [О, я]. Эта функция четна, откуда следует, что | ~(сов у) сов пу оу = 2 ~(сов у) сов оу оу = О, Ф о Дсов у) в1п оу Ыу = О. В силу полноты тригонометрической системы функций из доказанного вытекает, что Дсов у) = 0 для почти всех у Е [О, я] и, значит, Дх) = 0 почти всюду на промежутке (-1, 1).
Гл. 14. Ряды Фурье н преобразование Фурье 224 Таким образом, мы получаем, что 1 есть нулевой элемент пространства Хз(,У«шт). Тем самым доказано, что последовательность оолиномов Чебьпиева представляет собой полн ю о тогональн ю систем нк ий в этом п ост анстве. Полиномы Чебышева обладают также и многими другими свойствами. Они находят разнообразные применения в вычислительной математике. 2.4.3. Снова положим 1 = ( — 1,1). Определим последовательность функций Р„(х), полагая Ро(х) = 1, и для и > 1 пусть Р„(х) = — — (х — 1)". 1 д" 2пп«4х«« Функция х «-«(хз — 1)" представляет собой полипом степени 2п.
При дифференцировании полинома его степень понижается на единицу. Отсюда следует, что если полипом степени 2п продифференцировать и раз, то в результате будет получен некоторый полипом степени и. Функция Р„в силу сказанного является полиномом степени п. Полиномы Р„называются полиномами Лежандра. Заметим также, что если 1с < п, то производная — (х — 1) «« Их» есть полипом степени 2л — 1с, делящийся на (х~ — 1)" ». Действительно, имеем — (х' — 1)" = 2пх(хз — 1)" '.
Ых Пусть 1с + 1 < и. Докажем, что если 1с < и, то имеет место равенство » — „(х — 1)" = (х — 1)" Я„,»(х), Их» (2.20) где ~„» — полипом степени й. Предположим, что для некоторого 1с это доказано. Дифференцируя соотношение (2.20), получим »+1 (х~ — 1)" = (х~ — 1)" » ~ '12(п — 1с)хЯ„,»(х) + (х~ — 1)Я'„»(х)~. Их»+~ Множитель при (хз — 1)" " ' в правой части этого равенствапредстав- ляет собой полином степени 1+ 1.
Йндукция по х позволяет заключить, что равенство (2.20) верно для любых натуральных 1с и и таких, что «с < п. 2. Общее понятие о тогональной системы нкций 225 Пусть и > 0 и т > 0 — целые числа. Рассмотрим интеграл — (х — 1)" — (х — 1)" Их. | 3 а д 2 Их" дх -1 (2.21) | и1"1(х)и(х) Ых = а ~ИВ Положим здесь а = — 1, и(х) = (хз — 1)" и и(х) = — (х~ — 1) ах' Все производные порядка 1е ( и функции (хз — 1)", как следует из сказанного выше, обращаются в нуль в точках х = — 1 и х = 1.
Отсюда вытекает, что сумма, стоящая в правой части равенства (2.22) перед интегралом, равна нулю. Если п > т, то — — (хз — 1) = О. Отсюда вытекает, что при и > т правая часть равенства (2.21) равна нулю. Из доказанного, в частности, следует, что при п,-е т получим 1 | Р„(х)Р (х)Нх = О. -1 Таким образом, установлено, что полиномы Лежандра образуют систему функций, ортогональную на промежутке(-1,1) относительно веса и(х) = 1. Эта ортогональная система является и о л н о й в пространстве Ьз1[ — 1, Ц). Справедливость данного утверждения устанавливается рассуждениями, аналогичными тем, которые были проделаны выше при доказательстве полноты тригонометрической ортогональной системы функций, и мы их опускаем.
Ключевая роль в доказательстве полноты ортогональной системы полиномов Р„(х), и = О, 1,2,..., принадлежит теореме Вейерштраеса о приближении непрерывной функции полиномами. Простоты ради будем считать, что и > т. (Этого, очевидно, можно достичь, меняя обозначения.) Воспользуемся формулой кратного интегрирования по частям. Пусть функции и и и определены на промежутке [а, Ь] С Й и имеют там все производные порядка, не превосходящего и, причем все эти производные непрерывны на [а, Ь].
Тогда имеет место равенство ь Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 226 ~ 3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке В параграфе 2 было доказано, что если функция, интегрируемая на промежутке [ — я, к], интегрируема в квадрате на этом промежутке, то ее ряд Фурье сходится к ней в Т,з([ — к, к]).
Для функциональных рядов ранее были определены также и некоторые другие типы сходимости, а именно, поточечная сходимость и равномерная сходимость. Известно большое число теорем, устанавливающих условия, выполнение которых для какой-либо функции позволяет заключить, что ее ряд Фурье сходится к этой функции поточечно. Следует сказать, что непрерывность функции, вообще говоря, не гарантирует поточечную сходимость к этой функции ее ряда Фурье.
Существуют примеры непрерывных функций, для которых ряд Фурье в отдельных точках является расходящимся. Таких точек моягет быть бесконечно много. Существование примеров указанного рода следует из общих принципов, излагаемых в курсе функционального анализа, и является следствием того факта, что при и — ~ оо интеграл | ]Хз„(1)] 61, О где .0ь(1) есть тригонометрический полипом, определенный в параграфе 1 равенством (1.6), стремится к со.
С другой стороны, существуют разрывные функции, у которых ряд Фурье поточечно сходится для всех х Е зь (В этом случае сходимость, естественно, не является равномерной.) Мы приведем здесь некоторые простейшие утверждения о поточечной сходимости рядов Фурье функции. Ряд Фурье определен для всякой 2л-периодической функции, интегрируемой в промежутке [ — к, к]. В 1930 г. А. Н. Колмогоровым был построен пример интегрируемой функции, у которой ряд Фурье является расходящимся в каждой точке к Е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
