1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При 1 — 0 имеем >р(>) — О. з]п — ' г Положим ф(0) = О. Получим функцию, непрерывную и, следовательно, ограниченную в промежутке [О, т]. Пусть Н = щах ]>р(1)[. Тогда получим, что для любого т] Е [О, и] МЕ]0,»] имеет место неравенство (4.2) ~ 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 239 Произведем в интеграле Ь„(~)й=2 ж а а замену переменной интегрирования по формуле № = и. Получим 1 вши Функция Р(х) = 2 | — Ии определена и непрерывна на промеи а жутке [О, оо) и имеет конечный предел при х — оо. Отсюда следует, что функция Г является ограниченной. Пусть [Р(х)[ < Ьа для всех х Е [О, оо).
Из неравенства (4.2) вытекает, что для любого и Е [О, я] выполняется неравенство Р„(~) ог а < ь = ьа+ля. Лемма доказана. ° | т о(1)П„(1) й < 2йо(т), а (4.3) где Ь вЂ” постоянная леммы 4.1. Доказательство. Пусть Х, < оо таково, что для всякого 0 Е [О, я[ выполняется неравенство ° Лемма 4.2.
Пусть о есть возрастагогцая функция на промежутке [О, я) такая, что о(0) = 0 и 1пп о(~) = О. Тогда для всякого т Е (О, т) ~- а выполняется неравенство Гл. 14. Ряды Фурье и преобр зовапие Фурье 240 Т т | гг(1)Р„(1) й = гг(т) Р„(1) й, о ч (4.4) где 0 < г1 < г. Интеграл, стоящий в правой части равенства, предста- вим как разность двух интегралов: Т т 6 | Р„(~) гИ = Р„Я гП вЂ” Р„(г) дг.. о о Абсолютная величина каждого из интегралов справа в силу леммы 4.1 не превосходит Ь. Отсюда заключаем, что т Р„(г) Н (4.5) < 2Х.
Из неравенств (4.4) и (4.5) вытекает неравенство (4.3). Лемма доказана. ° ° Теорема 4,2 (теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье). Пусть | есть 2я-периодическая функция. Тогда если | есть функция ограниченной вариации ~а промежутке [-я, я], то ее ряд Фурье сходится 1 в каждой точке х Е К, причем сумма его равна -[Дх — О) + г" гх + О)]. Доказательство.
Пусть функция | имеет период, равный 2я, и является функцией ограниченной вариации на промежутке [ — я,я]. Пусть Я„® х) есть п-я частная сумма ряда Фурье функции |. Требуется доказать, что в каждой точке х Е К существует пре- 1 дел 1пп Я„® х) = — [г'[х — 0) + Дх + 0)]. В силу 2я-периодичности 2 функции Г" достаточно показать, что это верно для всякой точки х промежутка [-я,я]. Зададим произвольно точку х Е [ — я, л]. Простоты ради будем счи- 1 тать, что ГГх) = -[Дх — О) + Г[х + 0)].
Этого всегда можно добиться, изменив значение функции | в данной точке х. Свойство | быть функцией ограниченной вариации при этом, очевидно, сохраняется. Выберем произвольно т такое, что 0 < т < я. Применим вгпоруго теорему о среднем значении. Полагая в формулировке этой теоремы д = Р„(~) и г" = сг(~), получим з 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 241 Требуется, таким образом, доказать, что Я„(~; х) — Дх) при и— оо для данного х. Положим <р (4) = 1(х + ~) — 2Дх) + Дх — 4). 1(х) = д(х) — Ь(х), где д и Ь есть возрастающие функции. Согласно лемме 3.2 справедливо равенство 2я,/ 1 Г о (4.6) Зададим произвольно г такое, что 0 < т < и. Тогда получим Т к 2я 1 2я/ 1 1 1 Г о т По предположению, х Е [-н,н].
При $ Е [О,н] точки х + 1 и х — $ принадлежат промежутку [ — 2я,2я] и, значит, для всякого 1 Е [О,я] имеют место равенства ,1(х+ 4) = д(х+1) — Ь(х+1), 1'(х — 4) = д(х — Г) — Ь(х — ~). Далее, имеем Йп Р,(1) = Йп [У(х+ 1) — 2Дх)+ Дх — 1)] = = У(х+ 0) — 2У(х) + Дх — 0) = О. Функция у, выражается через функции д и Ь следующим образом: <р,(г) = [д(х+ г) — Ь(х — г) — 1(х)] — [Ь(х+ г) — д(х — г) + Г(х)].
Каждая Так как ~ есть функция ограниченной вариации на промежутке [-я,я], то в силу периодичности У является функцией ограниченной вариации на любом промежутке [(2п — 1)я,(2п + 1)н], где п — целое число. В частности, г есть функция ограниченной вариации на каждом из промежутков [-Зх, — л] и [я,Зя]. В силу свойств функций ограниченной вариации, установленных в главе 8, отсюда вытекает, что Г" является функцией ограниченной вариации также на промежутке [-Зя,Зя] = [-Зя,-я] 0 [-я,я] 0 [я,Зя]. Это позволяет заключить, что функция ~ на промежутке [-Зя, Зх] допускает представление Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 242 1пп[д(х + 1) — Ь(х — 1) — Дх)]- о. о — 1пп[Ь(х + ~) — д(х — 1) + У(х)] = аппп у,(1) = О, о ~-+о т. е. 1пп[д(х+ г) — Ь(х — Х) — г"(х)] = 1пп[Ь(х+ М) — д(х — 1) + Д )]. Общее значение этих пределов обозначим через Л. Положим фЯ = д(х + М) — Ь(х — г) — Е(х) — Л, а д(й) = Ь(х + г)— — д(х — й) + Дх) — Л. Функции ф и д возрастающие, и 1пп 4(М) = 1пп д(Х) = О.
ооп е елим нк ии и д полагая О = д О = О. Имеем 1" ~г Я„(~; х) У(х) = — у(1)Р„(1) й + <р(1)Р„(1) й. (4.7) о я Положим | у(~)Р„(~) й = К(х, т). т Следовательно,мы получаем,что имеет место равенство T Я„(|'; х) — Дх) = 4~(1)Р„(1) й — д(1)Р„($) й + В (х, т). (4.8) а о Применим лемму 4.2, полагая в ней ~т = ф, а затем н = . р= д.
В езультате получим следующие неравенства: | т Ь(~) Р„(~) й о т д(~)Р„(~) й о < 214(т), < 2йд(т), из функций д(х+1) — Ь(х — 1) — У(х) и Ь(х+1) — д(х — 1)+Дх) является возрастающей функцией переменной 1. Из равенства (4.6) следует, что 3 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 243 где Ь < оо — постоянная леммы 4.1.
Из полученных неравенств и ра- венства (4.8) вытекает, что [Я„(~; х) — г(х)[ < 2ЪЯт) + 2йб(т) + К(х, т). Зададим произвольно е > О. Так как 2Ь[ф(г) + 0(г)] — О при е г О, то найдется значение г б (О,я) такое, что 2Ь[ф(г) + д(т)] < —. Фиксируем такое значение г.
р(~) Функция — является ограниченной в промежутке [г, я] и имеет ап— 2 в этом промежутке не более чем счетное множество точек разрыва. Отсюда следует, что данная функция абсолютно интеерггруема по промежутку [г, я] и, значит, в силу глеоремы Римана — Лебега величина Я(х,т) = / — зш ~п+ — ) 1<И згп— стремится к нулю при гз ~ оо. Следовательно, найдется номер б такой, е что при всяком п > й выполняется неравенство [В„(х,т)[ < —. При 2 каждом а > гг, очевидно, будем иметь [о„Ц; х) — Дх)[ < е. Так как е > О произвольно, то тем самым установлено, что Я„(~; х)] — г'(х) для данного х при о -+ оо.
Теорема доказана. ° 4.2. ТЕОРЕМА О РАВНОМЕРНОЙ СХО ИМОСТИ РЯ А ФУРЬЕ ЛЯ ФУНК ИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИА ИИ ° Лемма 4.3. Пусть ~ есть непрерывная 2я-периодическая функция и число т таково, что О < т < я. Для произвольного х б К положим я В„(х) = Р„(1)[Дх+ г) — 2Дх)+ Дх — 1)] гП. х Определенная так функция Л„при о ~ оо равномерно сходится к нулю ла множестве К. Доказательство. Воспользуемся результатом леммы 3.3 этой 1 главы. з1ля упрощения записи положим юг = гг + — и ДГ) = [г'(х + г)— 2 — 2~(х) + Дх — ~)].
Пусть ы есть модуль непрерывности функции г" Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье на промежутке [-2я,2я] и Ь = гпах [1'(я)! = []1[[в П „П. Тогда х Е [- ~г,~г] [Яг)! < 4ь для любого 1 Е [О,.г] и функция 2ы(1) является модулем непрерывности ~. 1 Пусть ~р(1) = —. Имеем зш 2 .О (г) ги = 81п №~(1)9Р(1) г1г. т т Полагая в условиях леммы 3.3 1(1) = Я)рЯ, Л = Ф, а = т и Ь = гг, получим, что при Ф > — справедливо неравенство и — т | х В„(1)Я(1)~й 2Мя я ( 2гг 2н+ 1 2 12н+ 1,/ ' (4.9) где М = ][1][ь По,,рр а ыу есть модуль непрерывности функции У. На промежутке [т, — ] функция 1г(М) дифференцируема и непрерывна, причем ее производная в этом промежутке ограничена.
Пусть А(т) есть точная верхняя граница функции у(1) на промежутке [т,т], а В(т) — точная верхняя граница производной [1г'(1)! на том же промежутке [т — ]. Согласно тпеореме Лагранжа о среднем ~ '21 значении для любых 1г, $г Е '[т, — 1 имеем [Р(1г) — ЧФг)! = М'Ы)(1г — Гг)! где С лежит между гг и 1г. Отсюда получаем, что М(11) Ч(1г)! < В(т)]гг 1г! ыуЯ = 2А(т)ш(1) + 4йВ(т)1. Таким образом, заключаем, что ~р имеет модулем непрерывности функцию ы„(1) = В(т)1.
Из леммы 3.2 следует, что функция 1(1) = Я1)~р(1) на промежутке [т, я] имеет модулем непрерывности функцию з 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 245 Подставляя это выражение в формулу для оценки (4.9), получим нера- венство ]В„(х)[ < б„ = + тА(т)ы ~ ( + . (4.10) 4Ьт / 2т '~ 8ЪВ(т)т 2тг+ 1 ~ 2гг + 1( 2п + 1 Величина б„не зависит от х и при и — оо стремится к нулю. Так как функция 1 имеет период, равный 2т, то также и функция В„имеет тот же период. В силу периодичности В„неравенство ]В„(х)] < б„выполняется для всех х Е К.
Отсюда ]]В„][с гн1 < б„ и, следовательно, величина ][В„]]ь ги1 стремится к нулю при и — оо, т. е. В„=з 0 при гг — оо. Лемма доказана. ° ° Теорема 4.3. Пусть г: К вЂ” К есть 2т-периодическая функция, непрерывная в каждой точке х Е К. Тогда если г' является функцией ограниченной вариации на промежутке [ — т, т], то ряд Фурье функции 1" сходится к ней равномерно на множестве К. Доказательство. Пусть функция г удовлетворяет условиям теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
