1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Положим т = —. [!' Тогда (1,т) = 1. В интеграле произведем замену переменной интегрирования, полагая х = у — лт. Получим, очевидно, Дг) = — е'~*л~ [1(х) — Дх + лт) )ах. 2,/ (5.7) Предположим, что [г'! > л. Подынтегральное выражение в правой части (5.7) обращается в нуль, если [х! > Х, и [х + лт! > Х. Ввиду неравенства [х + лт! > [х! — [лт! > [х! — 1 это условие заведомо будет выполнено, если [х! > 1+1.
Пля всех х Е К" имеем [ед*гб[ц(х) — дх+лт))! = щх) — дх+ лт)! < ьг — . (5.8) 'з.[1[Г ' 5.2. ПРАВИЛО ОБРА ЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Во многих случаях важно уметь находить функцию по ее преобразованию Фурье. Ниже приводится теорема об определении функции по ее преобразованию Фурье для случая функций одной переменной. (Существует аналог этой теоремы для функций гз переменных для произвольного и. При этом доказательство основано на аналогичных соображениях, но технически оказывается более громоздким.) Итак, если [1! > л, то подынтегральная функция в интеграле (5.8) обращается в нуль при [х! > 7, + 1 и по абсолютной величине не превосходит ы — . Отсюда в силу оценок для интеграла, полученных Лг выше, вытекает неравенство (5.5).
Теорема доказана. ° Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 268 Пусть дана функция 1: К -+ К. Напомним, что согласно определению, данному в З 3 этой главы, функция 1 удовлетворяет условию Дини в точке хо Е К, если существует 6 > О такое, что функция Дхо + () — 2У(хо) + У(хо — () интегрируема в промежутке [О, 6). ° Теорема $.2 (правило обращения преобразования Фурье).
Пусть 1': К -+ К есть произвольная интегрируемая в смысле Лебега функция на множестве К, (о — преобразование Фурье функции 1'. Тогда если ф нкция 1 удовлетворяет условию Дони в точке хе Е К, то имеет место У равенство т )(хо) = Бт — 1(()е '*' М. т 2ту -т Доказательство. Пусть функция 1 удовлетворяет условиям теоремы. По определению, имеем 1(() = 1(х)е'*' ~(х.
Подынтегральная функция в последнем интеграле мажорируется неотрицательной интегрируемой функцией ~Дх)(. Отсюда следует, что интеграл, определяющий функцию г, сходится равномерно при г Е К. Поэтому в выражении т Т оо я)е — ~хо! г(х ~(х)е~(~ — хо 2я,/ 2я ./ -т -т можно изменить порядок интегрирования. В результате получим т оо т 1Яе-'хо <1о — ((х) ез(х-хо)1 (( 2я „( -т — оо -т Внутренний интеграл здесь равен зь е1(х-хо)т е — ((х — хо)т 2 з1п(х хо)Т о (х — хо)1 х — хо 269 З 5.
Преобразование Фурье и мы, следовательно, получаем,что т ОО 1 Г а1п(х — хо)Т Г(1)е '*'" й = — / Дх) Нх. и х — хо Интеграл справа преобразуем, произведя замену переменнои по фор- муле х — хо —— г. Это приводит к равенству т СО | 1 а1п Тз ГЯе '*"й = — / Г[хо+ г) ~Гз. Интеграл справа разобьем на два: один — в пределах от — со до О, второй — с пределами интегрирования О и оо. В первом интеграле заменим переменную интегрирования з на -г. В результате получим равенство т 0О е е 1 ззп Тз Г(1)е '*" й = — / [Дхо + г) + Дхо — з)] Нг.
и 3 -т о Имеем равенство 1 Г б!пТЕ Дхо) = — / 2У(хо) о Вычитая данное равенство почленно из предыдущего, получим | .|(~)е-'*" й — Дхо) = -т 1 7,Г[хо + г) — 2У(хо) + У(хо — з) я,Г З о Теорема будет доказана, если мы установим, что интеграл в правои части последнего равенства стремится к нулю при Т вЂ” оо. Зля этой цели мы представим этот интеграл как сумму трех интегралов, для каждого из которых будет установлено, что при Т вЂ” оо он стремится к нулю. 270 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Выполнение условия Дини в точке хо означает, что функция Нха + а) — 2Ихо) + Яхо — а) переменной а интегрируема в промежутке [О, б), где б > О.
На основании теоремы Римаха — Лебега отсюда следует, что 77(Т) = У(хо + а) — 21(хо) + У(хо — «) яп ТасЬ о стремится к нулю при Т -~ оо. Далее, справедливо равенство | яп Та [Дхо + а) — 2~(хо) + У(хо — а)[ ~а = У(Т) — %(Т), где 1 г1п Та ! Б1па УУ(Т) = 2Дхо) / — (Ь = 2Дхо) / — сЬ. Ю тг Для всякого а > б имеем ! """"*' ' <-'ил*+ )[+[и —.)и а Отсюда следует, что функция У(хо + а) + У(хо — а) интегрируема по промежутку [б,оо) и, значит, в силу теоремы Римана — Лебега величина У(Т) стремится к нулю при Т оо.
Гяпа Так как интеграл / — На является сходяшимся, то интеграл ОО о | гш — сЬ стремится к нулю при Т вЂ” + оо. Тб 271 З 5. Преобразование Фурье Таким образом, мы получаем, что при Т вЂ” оо каждая из величин ЩТ), 1Г(Т) и %(Т) стремится к нулю при Т вЂ” со. Имеет место равенство 1 Дхо+ в) — 2Дхо)+ Дх~ в~ в1пТя,1в = 0(Т) +1Г(Т) — %(Т о Из доказанного поэтому вытекает, что если функция Г удовлетворяет всем условиям теоремы, то Г(хо) = йп1 — / Г(1)е 'хо'<И 1 Г- т 2я,/ -Т Теорема доказана.
° 5.3. ИНЪЕКТИВНОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ НА Ь К Здесь будет доказано, что интегрируемая функция в вя однозначно определяется своим преобразованием Фурье. С елаем некото ые и ва ительные з а м е ч а н и я. 1. Как было показано выше, интеграл вшх сходится и значение его равно я Пля произвольного 1 > О положим Г вшх Ф(Л) = ~ — Ых. — А Функция Ф, определенная так на промежутке [О, оо), непрерывна и имеет конечный (равный л) предел при Л вЂ” оо. Отсюда вытекает, что функция Ф является ограниченной. Пусть У < оо таково, что 272 Гл. 14.
Ряды Фурье и преобразование Фурье для любого А > О. Рассмотрим интеграл л х Бш цх (5.10) Произведя замену переменной интегрирования ~и~х = 1, после очевид- ных преобразований получим Нх = ~Фци(А). (5.11) <М, где М есть постоянная неравенства (5.9), каковы бы ни были и Е К иЛ>О. 2. Далее нам понадобится одно простое замечание, касающееся измеримых функций в К. ° Лемма 6.1. Для всякой всюду конечной измеримой функции | на множестве К функция х ~ зяп 1(х) измерима.
Яоказательство, Для произвольного п Е Х определим функцию ~т„(у), полагая — 1 для -Ь) = График функции п„представлен на рис. 3. В частности, отсюда вытекает, что | з1п их х л пу при 1 при 1 У< п' 3 5. Преобразование Фурье 273 Рис. 3 Функция о„, очевидно, является непрерывной, и справедливо следующее соотношение: -1 для у(0, 0 при у=О, 1 при у>0. 1пп о„(у) = Это означает, что <т„(у) -+ вяп у при п -+ оо для любого у Е И. Пусть г: И -~ И есть произвольная измеримая функция.
Тогда согласно теореме 5.12 главы 13 функция в„~Дж)1 измерима. При и — оо имеем <т„(Дя)] — + вяп Дя) для любого я Е К. Функция вяп Дт), таким образом, есть предел последовательности измеримых функций, и, следовательно, в силу теоремы 5.4 главы 13 эта функция измерима. Лемма доказана. ° ° Теорема 5,3. Пусть 1 есть интегрируемая функция в К. Тогда если преобразование Фурье функции 1" тождественно равно нулю, то Ях) = 0 для почти всех х Е К. Доказательство.
Пусть функция г" удовлетворяет всем условиям теоремы. Согласно предположению имеем Дя)е' * пя = 0 (5.12) для всех 1 Е И. Зададим произвольно полуинтервал а = [а,Ь) С К, енв сна и пусть <р(г) =, есть преобразование Фурье индикатора от- Й резка. Согласно теореме 5.2 для любого я, не совпадающего ни с одной Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 274 из точек а и 6, будем иметь равенство л х (х) = 1пп — ср(Х)е '*'й. л- 2ху -л (5.13) Заметим, что л А 1 Г сов1(Ь вЂ” х) — сов1(а — х) ~р(г)е '*'й = — / й+ 1 ./ -л -л л + й. | вш 1(6 — х) — вш 1(а — х) -л Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, так как подынтегральная функция в нем н е ч е т н а, и, стало быть, л л Г вш1(Ь вЂ” х) — кйп г(а — х) Х(Л,х) = у(1)е **'й = / й. -л -л л со |~ 1 н Дх)е"*~р(8) ~Ь й.
(5.14) Абсолютная величина подынтегральной функции в (5.14) равна ~Дх)~~~р(~)!. Из теоремы Тонелли следует, что последняя функция интегрируема по множеству точек (х,г) Е К таких, что х Е К, а1 Е ~ — Л, 1. г К 1 ~ Л Л1. Отсюда вытекает, что функция дх)еп*15(8) интегрируема по множеству К х [-Л, Л]. Применяя тиеорему Фубини, получим, что при каждом Л > О имеет место равенство ОО А О = Г(х) еп*~р(8) й 4х.
ОО л (5.15) В силу неравенства (5.9) отсюда мы получаем, что /Г(Л, х)/ ( 2М для любых х Е К и Л > О. Умножим левую часть равенства (5.12) на ср(1). (Напомним, что если в — комплексное число то й есть сопряженное ему число.) Функг ция у(в)еп* непрерывна и, следовательно, измерима в К . Функция (х, в) ~-+ Дх) измерима. Рассмотрим интеграл з 5.
Преобразование Фурье 275 Внутренний интеграл здесь равен 1(Л,х). Для х, отличного от а и 6, при Л -+ оо имеем, что 1(Л, х) стремится к пределу, равному нулю, если х ф [а, Ь], и равному единице, если х Е (а, Ь). Для всех х Е К и Л ) О имеем ~1(Л,х)У(х)! < 2М(Дх)). В силу теоремы Лебега о предельном переходе из доказанного следует,что О = йгп Ях)1(Л,х)дх = Дх)т (х)Нх. Из доказанного вытекает, что для всякой ступенчатой функции а имеет место равенство Дх)<р(х) дх = О.
Согласно лемме 5.1 функция зйп Дх) измерима. Значит, найдется последовательность ступенчатых функций (у„)„ен такая, что у„(х)— -+ зйп 1(х) для почти всех х Е К. Положим у„(х) = тах(-1, ~р„(х)). Функция у„, очевидно, является ступенчатой, и при и — оо для всякого х, для которого зйп1(х) = Ппз ~р„(х), также и Бзп у„(х) = гпах( — 1,зал 1(х)) = зал 1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
