1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Х,, Тогда для всякой кососнмметрической лолилинейной функции Г сте- пени й имеет место равенство — пндз, "дь пм и 7 з<й <дг«"'и <и (1.7) (1.8) Г,„... = Г(и,„п;„..., пь). 3 а м е ч а н и е. Равенство (1.7) называется каноническим представлением кососильметрическвй полилинейной функции Г относительно базиса (пы пз,..., и„) пространства Х. Доказательство. Пусть о: 1 Е 1ь о; Е 4 есть произвольная перестановка порядка к. Предположим, что о есть суперпозиция Ф транспозиций. Применение транспозиции к какой-либо последовательности векторов (Уы Уз,..., Уь) сводится к тому,что два члена последовательности меняются местами, а остальные остаются неизменными. Отсюда вытекает, что последовательность (ХыХз,...,Хь) может быть преобразована в последовательность (Х „Х „...,Х „) в 1У шагов, на каждом из которых два члена последовательности меняются местами.
При каждом таком преобразовании последовательности аргументов функции Г значение функции умножается на — 1, и в результате мы получаем Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 286 Доказательство. Пусть Г есть кососимметрическая полилинейная функция в векторном пространстве Х и иы иг,..., и„— произвольный базис пространства Х. Рассмотрим представление (1.2) полилинейной функции Г. Согласно (1.2) для любых векторов ХыХг,...,Хь пространства Х выполняется равенство и а и Г(Хы Хг,..., Хь) = ~~) ~~т ~~) Г,т Хгтт Хг ...Хьтт, (1.9) таьп тт=г й=г где Г,„-...
= Г(п „и „..., ц „). Преобразуем равенство (1.9), используя тот факт, что рассматриваемая полилинейная функция Г является кососимметрической. Прежде всего заметим, что те слагаемые в правой части равенства (1.9), для которых среди индексов ты тг,..., ть есть одинаковые, равны нулю. Зададим произвольно набор индексов ты 1г,..., ц, такой, что 1 < гг < 1г « 1ь < и, и рассмотрим сумму тех слагаемых в сумме (1.9), для которых набор индексов (уыуг,..., гь) есть перестановка последовательности индексов (тыгг,...,гь), т. е. г1 — — 1,, зг = 1 „...,уь = г „, где г а; есть перестановка порядка й.
Согласно лемме 1.2 имеем Г... = Г(п;.,и;,...,и; ) = = ~т(а)Г(и;„и;„..., ц;,) = сг(а)Г;„, Отсюда заключаем, что сумма тех слагаемых в правой части равенства (1.9), для которых набор индексов (уыуг,..., гь) является перестановкой набора (гы1г,...,1ь), равна выражению Г;„,.я, ~) ~т(а)Хм„,Хг',...Хы а Сумма справа есть определитель Х11 Хг11 = и" "'" *' (Хд, Хг,..., Хь), з 1. Полилинейные функции и поливекторы 287 где и""'" " есть кососимметрическая функция, определенная равен- ством (1.1). В результате получаем Г(Х,Х,...,Х ) = Г;; „,; и о "' ~ (Хы Хг,..., Хь), (1.10) 1<11<ю2«" ч, <и где суммирование выполняется по множеству всех наборов индексов гыгг, °,гь удовлетворяюптих условию 1 < 11 < 1з «, 1ь < и. Векторы Хы Хз,..., Хь взяты произвольно, и мы, следовательно, получаем, что всякая кососимметрическая функция Г степени Й может быть представлена в виде Г ~~) Г...
пп ~2 ",ч 012..Л~ 1йп<м« и йа Теорема доказана. ° ° Лемма 1.3. Пусть Г есть кососимметрнческая полилинейная функция степени к. Тогда если векторы ХыХз,...,Хь линейно зависимы, то имеет место равенство Г(ХыХз,...,Хь) = О. Доказательство. Пусть Г есть полилинейная кососимметрическан функция степени и.
Предположим, что векторы ХыХз,...,Хь линейно зависимы. Тогда один из них может быть представлен как линейная комбинация остальных. Для определенности предположим, что вектор Хз является линейной комбинацией векторов Хз,...,Хы Х1 — — ЛзХз+ +ЛьХь. В силу линейности функции Г по первому аргументу отсюда вытекает, что Г(Хы Хз,..., Хь) = ЛзГ(Хз, Хз,..., Хь)+ . + ЛьГ(Хю Хз,..., Хь). Правая часть этого равенства равна нулю, так как каждое слагаемое справа содержит под знаком Г два одинаковых аргумента.
Следовательно, Г(ХыХз,...,Хь) = 0 для данных векторов Хы Хз,..., Хы Лемма доказана. ° ° Лемма 1.4. Пусть Г есть кососимметрическая полилинейная функция степени й. Предположим, что системы векторов Х = (ХыХз,...,Хь) и Ъ = (УыУз,...,Уь) таковы, что при каждом г' = 1, 2,..., й выполняется равенство ь У1=~~) а; Х, 288 Гл. 15.
Интегральное исчисление на многообразиях и пусть А есть 1с х Ь-матрица (а;,.); ., з ы Тогда имеет место равенство Г(У~, Уз,..., Уь) = (с1е1 А)Р(Хы Хз,..., Хь). (1.11) Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Если векторы Хм Хз,...,Хь линейно зависимы, то они принадлежат некоторому (й — 1)-мерному подпространству 9 пространства ъ. Очевицно, тогда и векторы Уы Уз,...,Уь принадлежат тому же подпространству и, следовательно, они линейно зависимы. Обе части равенства (1.11) в силу леммы 1.3 в этом случае обращаются в нуль и, стало быть, в этом случае равенство (1.11) верно. Предположим, что векторы ХОХз,...,Хь линейно независимы. В этом случае в Х существует базис ц;, 1 = 1,2,...,и, такой, что Х; = и; для г = 1,2,...,/с.
Координаты каждого вектора У; относительно этого базиса равны а;1 при з' = 1,2,...,й и равны нулю при 1 > 1с. Отсюда вытекает, что выражение и"" "" (Уы Уз,..., Уь) (1.12) обращается в нуль, если хотя бы один из индексов 1ы 1з,..., 1'ь больше к, ибо в этом случае в определителе, которому равна величина (1.12), все элементы, стоящие в одном из его столбцов, будут равны нулю. Из доказанного вытекает, что для данных векторов Ум Уз,..., Уь величина цй"" ~'(УОУз,...,Уь) может быть отлична от нуля в единственном случае, а именно, только когда з1 — — 1, зз — — 2,..., зь = й. Мы получаем, следовательно, ЦУыУз1 ° .
~ Уь) = г1,2,...,ьц ' ' ' (Ум Уз~,Уь). Осталось заметить, что и'з' 'ь(УОУз,...,Уь) = с1е1А, а Гз з = Е(Хм Хз,..., Хь). Лемма доказана. ° 1.3. ПОНЯТИь ЛОЛИВККТОРА. ИНТКГРИРОВАНИь ПО ь.-МЕРНОЙ ПЛОСКОСТИ П ив ем некото ые пост оения геомет ического ха акте а. Далее Й означает целое число такое, что 1 < к < п. Будем называть Ы-репером в пространстве Е" всякую упорядоченную систему (Хы Хз,..., Хь) векторов пространства И". Будем говорить, что 1с-репер является выролсденным, если векторы ХОХз,...,Хь линейно зависимы. Если векторы ХОХз,...,Хь линейно независимы, то к-репер называется невырождениым. з 1.
Полилинейные функции и лоливекторы 289 Пусть Х = (Хг, Хг,..., Хь) есть произвольный невырожденный й-репер в пространстве К". Множество всех векторов Х, которые являются линейными комбинациями векторов Хг, Хг,...,Хь, представляет собой некоторое Й-мерное надпространство Р пространства К". Будем называть Р плоскостью данноео 'к-репера. Будем говорить, что lс-репер я = (1'г,Уг, . г'ь) подобен к-реперу Х = (Х„Х„...,Х,), если существует квадратная матрица А=(а; );.— цг поряцка Й, определитель которой отличен от нуля, и такая, что для всякого 1 = 1,2,...,к выполняется равенство (1.18) У;= ~) а,Х.
Если й-реперы Х и '1с таковы, что выполняются равенства [1.2), то мы будем писать я' = АХ. Обозначим символом Еь единичную матрицу порядка й. Очевидно, с1е1 Еь = 1, и для всякого 1с-репера Х имеем Х = ЕьХ. Если я' = АХ, то, в свою очередь, Х = А г'я'. Если 1с = АХ, а Е = В1~, то имеет место равенство Е = [ВА)Х. Йз сказанного следует, что отношения подобия для к-реперов, введенное описанным здесь способом, рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пусть Х и У вЂ” два невырожденных й-репера.
Будем говорить, что к-репер я' эквивалентен lс-реперу Х, и писать я Х, если я' = АХ, где к х и — матрица А такова, что ее определитель с1е1 А = 1. Условия рефлексивности, симметричности и транзитивности, очевидно, здесь выполняются, так что применение термина «эквивалентность» для определенного отношения между Й-реперами законно. Множество всех невырожденных к-реперов распадается на классы эквивалентных к-реперов. Каждый такой класс мы будем называть 'к-вектором в пространстве К". Если Х = (Хг,Хг,...,Хь) есть не- вырожденный 1с-репер в пространстве К", то Х определяет й-вектор, который мы будем обозначать одним из символов [Х] или [Хг, Хг,..., Хь). Гл.
15. Интегральное исчисление на многообразиях 290 Всякий 1с-вектор в пространстве К" мы будем называть также 1с-мерным поливектором. Пусть ц = (и„из,..., иь) есть невырожденный к-репер в й-мерной плоскости Р. Говорят, что ц есть ортогональный»с-репер, если векторы и; взаимно ортогональны, т. е. если (и;,и1) = 0 для любых г, с = 1,2,...,1с таких, что 1 ~ 1'. Ортогональный й-репер называется ортонормальным, если длины составляющих его векторов равны единице. Во всяком 1с-мерном подпространстве Р пространства К" существует ортонормальный репер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
