1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Он может быть получен из произвольного й-репера ц применением так называемого процесса ортогоналиэации Грома — Шмидта, описание которого читатель найдет в любом руководстве по линейной алгебре. Пусть Р есть й-мерное надпространство пространства К" и и= (и~,из,...,иь) — невырожденный й-репер, лежащий в плоскости Р. Всякий вектор Х Е Р может быть представлен, и притом единственным образом, в виде Х = 1зиз + 1зиз+ +1ьию Положим К (Х) = (1~,1з,...,1ь). Очевидно, Х»-» К (Х) Е К~ есть биективное отображение плоскости Р в К".
Это отображение называется линейной системой координат в плоскости Р, определенной И-репером ц = (иыиз,...,иь). Вектор 1 = К„(Х) Е И" будем называть координатным вектором точки Х в данной линейной системе координат. Символом 1„будем обозначать обратное отображение К ~. Лля 1 = (1з 1з 1ь) Е И" имеем 1 (1) =1зи~ +1зиз+ . +1ьиы Предположим, что задана функция 1: Р— К. Тогда в К~ определена функция д(1) = ~[1„(1)].
Будем говорить, что д есть представление функции 1 в линейной системе координат, определенной Й-репером и. Пусть ц и ч — произвольные невырожденные 1с-реперы в 1с-мерной плоскости Р пространства К". Предположим, что ч = Ац, где А = = (а;1);,1 — зд,„.,ь матрица А невырожденная, т. е. де1 А ф О. На плоскости Р мы получаем две линейные системы координат. Одна определяется 1с-репером и, другая — к-репером ч.
З 1. Полилинейиые функции и лоливекторы 291 Выясним как кое ипаты и оизвольной точки в о ной из этих гой системе систем кое инат вы ажаются че ез ее кое ипаты в «ыищаву Пу* =1„„...,щ) =1„„....~. И равенства 1 = 1,2,...,/с. Пусть Х Е Р. Имеем Х=~~ зи;, Х= ~ 1;и;. Пусть г = (гмяз,...,яь) б К = К„(Х) и $ = (11,1з,...,1ь) Е Е К" = К„(Х). Подставляя выражения для векторов еч через векторы и, получим Меняя в этом равенстве порядок суммирования, найдем, что Отсюда получаем и, значит, 1 = А" з, где, как обычно, А" есть транспонированная матрица А. Заметим, что 1 = К„(Х) и г = К,(Х), и, таким образом, равенство 1 = А'з может быть представлено в виде К„(Х) = А" К„(Х).
(1.14) Линейная система координат в й-мерной плоскости Р называется ортлонор.иальиой, если она порождается некоторым ортонормальным к-репером п. Пусть и = (и1,из,...,иь) есть ортонормальный репер в плоскости Р. Покажем, что в этом случае скалярное произведение векторов выражается через координаты векторов в системе координат, определенной данным репером, по тем же формулам, что и в случае векторов в пространстве К . 292 Гл.
15. Интегральное исчисление на многообразиях Действительно, пусть Х=~~~ ~;и;, У= ~~ еди;. Отсюда в силу билинейности скалярного произведения получаем, что В силу ортонормальности й-репера и имеем 1 при г = 7, О, если г фу. Отсюда следует, что Иначе говоря, мы получаем, что если 1 = К„(Х) и я = К (У), то (Х,У) = (1,з) = (К„(Х),К„(У)). Пусть и и ч суть произвольные ортонормальные реперы в плоскости Р. Имеем и = Ан.
Покажем, что матрица А является ортогональной. Пусть А = (а;,);,-1з ь и и = (и„из,...,иь), а и = = (и1,из,..., иь). Имеем (1.15) 1= 1,2,...,й. Пусть вектор а; = (ан, ад,..., агь) есты-я строка матрицы А. Вектор а; Е И", как следует из равенства (1.15), есть координатный вектор вектора о;. Так как и есть ортонормальный репер в плоскости Р, то для любых ~, у = 1,2,...,й имеет место равенство (а;,а,) = (и;,и ). Отсюда следует, что векторы а; взаимно ортогональны и длина каждого из них равна единице, и, значит, матрица А ортогональная.
Будем говорить, что й-вектор является единичным, если он порождается некоторым ортонормальным Й-репером. Пусть Х есть произвольный невырожденный й-репер в пространстве К", Р— плоскость этого й-репера. В плоскости Р построим ортонормальный й-репер и. Имеем Х = Ап. Величину ~де~А~ будем 293 'з 1. Полнлннейлые функции и лоливекторы называть абеолсотной величиной И-вектора [ХыХг,...,Хь] и обозначать одним из символов ][Хм Хг,..., Хь]] или ][Х]]. Найдем явное представление для абсолютной величины поливектора. Пусть Р есть 1е-мерное подпространство пространства К" и Х = = (ХыХг,...,Хь) — невырожденный се-репер в плоскости Р. Пусть и = (им иг,..., иь) есть ортонормальный репер в плоскости Р. Тогда имеем Х = Ап и согласно данному выше определению ][Х]] = ] с1е1 А].
Определим некоторую функцию 21е аргументов Л(Хм Хг,..., Хы Уы Уг,..., Уь ), полагая (Х„У) (Х,У) ... (Х„У) (Хг, Уг) (Хг1Уг) .. (Хг, Уь) с)с(Хг,Х,...,Х,У,У,...,У ) = (Х,У) (Х,Уг) ... (Х„,У ) В силу известных свойств определителей функция Ь является кососимметрической относительно У1, Уг,..., Уь. Пусть (Уы Уг,..., Уь) = Ъ' = Вп.
Тогда в силу леммы 1.4 имеем Ь(Хм Хг,, Хы Ум Уг,, Уь) = с1ег ВЬ(Хы Хг,..., Хы иг, иг,..., иь). Функция Ь(Хм Хг,..., Хы им иг,..., иь) переменных ХмХг,...,Хь является кососимметрической полилиней- ной функцией. В силу леммы 1.4 из соотношения [Хг,Хг,...,Хь) = Х = Ап поэтому следует равенство Ь(ХмХг,...,Хс„им из,...,иь) = с(е1 АЬ(и„иг,..., иы им иг,..., иь). В силу ортонормальности системы векторов иы иг,..., иь величина Ь(им иг,..., иы им иг,..., иь) = 1, и мы получаем, таким образом, что если Х = Ап и Ъ' = Вп, где Х = (Хг, Хг,..., Хд) и Ъ' = (Уы Уг,, Уь ) то имеет место равенство с1с(Хг, Хг,..., Хс„Уы Уг,..., Уь ) = с1е1 А с1е1 В.
В частности, получаем отсюда ][Х]]г = (с1е$А) = Ь(Хг Хг, ХыХмХг,,Хь). Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 294 Выписывая явно выражение для последней величины, получим (х,х ) (х,х ) ... (Х,х ) (Хю Х~) (Хз, Хз) ... (Хг, Хь) ~[ХЯ' = (Хы Хз) (Хы Хз) ... (Хы Хь) Понятия интеграла интегрируемой функции и меры множества, изучаемые в главе 13, могут быть определены также и для функций, определенных на й-мерных подпространствах пространства К". При этом нет необходимости повторять все построения, выполненные в главе 13 для этого случая.
Теория интеграла для функций, определенных на подпространствах К", может быть получена формальным переносом теории интеграла в пространстве К~. Пусть Р есть произвольное й-мерное подпространство К", и и ч— невырожденные й-реперы в плоскости Р. Эти реперы определяют в Р линейные системы координат. Пусть ч = Ап, где А есть невырожденная Й х Й-матрица.
Определены биективные отображения 1„: Кь — Р и 1„: Кь — Р. Для произвольной функции 1: Р— К положим 1„*1 = 1" о 1„ и 1,.1 = 1 о 1„. Будем говорить, что функции 1„" 1 и 1„"1 есть представления функции в линейных системах координат, определяемых Й-реперами и и ч соответственно. Предположим,что точки ~,я Е К таковы, что ь 1,(1) = 1„(я) = Х. В этом случае ~ есть координатный вектор точки Х в системе координат с базисом и, а я — координатный вектор Х в системе, определенной посредством й-репера ч. Как показано выше, имеет место равенство 1 = А"я. Имеем 1„*У(~) = 1(Х) и 1„*1(я) = 1(Х), и, стало быть, имеет место равенство 1„'1(1) = 1„*1(я). Принимая во внимание представление вектора 1 через вектор я, получаем равенство (1.16) 1„' 1(г) = 1,*.
1(А*я). Будем говорить, что функция 1: Р— К измерима, если для некоторого невырожденного к-репера и в плоскости Р функция 1„'~ измерима в пространстве К . Будем говорить, что функция 1 интезрируема по плоскости Р, если функция 1„'1 интегрируема в пространстве К~. В силу равенства (1.16) свойство функции 1: Р— К, очевидно, не зависит от выбора й-репера и, определяющего линейную систему координат в плоскости Р.
295 З 1. Лолилипейпые функции н поливекторы Множество Е С Р будем называть измеримым, если множество К (Е) = Х„з(Е) для некоторого к-репера ц является измеримым. Нетрудно видеть, что это равносильно следующему условию: индикатор множества Е па плоскости Р есть измеримая функция. Чтобы определить интеграл функции 1 по плоскости Р, зададим в Р линейную ортогональную систему координат, определяемую ортонормальным й-репером и. Пусть Х: Р— К есть интегрируемая функция.
Величина 1„* 1(1) аг (1.17) и" называется интегралом от функции 1 но плоскости Р и обозначается символом 1(Х) с~ив(Х). Р Данное определение корректно в силу того, что интеграл (1.17) не зависит от выбора ортонормального й-репера ц. Действительно, пусть ч — произвольный другой ортонормальный Й-репер в плоскости Р. Тогда будем иметь 1„*1(г) = 1*.1(А*г). Применяя формулу замены переменнььх в кратном интеграле (см. главу 13), получим | 1иЯ й = Ха(А*г)! йе1А) сЬ = ~ с1е1А! 1,*,1(г) йг. Ф н~ нь Матрица А ортогональная, и, значит, модуль ее определителя равен единице. Отсюда вытекает, что | 1„(1) й = 1„*1(г) ~Ь. нь нь Этим, очевидно, доказана независимость величины интеграла функции Х по плоскости Р от выбора ортонормального репера и.
Установим некото ю ха акте истик кососиммет ических поли- линейных нк ий. Полилинейная функция Р(ХыХз,...,Хь) степени к называется внешней формой степени Й, если она удовлетворяет следующему условию: если к-реперы Х = (ХыХз,..., Хь) и я = (Уы Уз,..., Уь) эквивалентны, то имеет место равенство Р(ХыХз,...,Хь) = Р(УыУз,...,Уь). Справедливо следующее утверждение. ° Теорема 1.2. Для того чтобы попилипейпая функции Г степени й была внешней формой, необходимо и достаточно, чтобы опа была кососимме три чна.
29б Гл. 15. Интег альное исчисление на многооб азиях Доказательство. Докажем сначала н е о б х о д и м о с т ь. Зададим произвольно векторы ХмХз,..., Хь пространства Х. Выберем произвольно номера 1 и 1' такие, что г ~ у, и пусть Ъ" = (Уз, Уз,..., Уь) есть й-репер, определенный следующим образом. Если з ~ г и з ф з, то У, = Х,. Далее, У; = — Х, а У = Х;. Данный й-репер получен из й-репера Х перестановкой векторов Х, и Х, и умножением вектора Х, на — 1. Имеем Ъ' = АХ, где матрица А получается из единичной матрицы Еь порядка и перестановкой ее столбцов с номерами г и 7' и последующим умножением элементов одного столбца на — 1.
Определитель матрицы А в данном случае, очевидно, равен единице. Отсюда следует, что данные Й-реперы эквивалентны. Выпишем значения функции Г для систем векторов Х1 Хз ° ° ° Хь и У1 уз ° уы Приравнивая полученные значения, будем иметь равенство Г(. ° . Хн... Х' ° ° ° ) — Г( ° ° ° Х' ° ° Х' ° ° ° ) ° (Простоты ради предполагается, что 1 ( ~, и совпадающие члены в выражениях под знаком Г справа и слева не выписываются.) В силу линейности Г по каждому аргументу мы получаем отсюда, что Г(...,— Х,...,Х;,...) = — Г(...,Х,...,Х;,...).
Тем самым установлено, что полилинейная функция Г кососимметрична. Необходимость условия теоремы, таким образом, доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь условия теоремы является простым следствием леммы 1.3. Предположим, что й-реперы Ъ = (Уз,Уз,...,Уь) и Х = (Х>,Хз,...,Хь) эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
