1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Каждый из них получается из последовательности (1,2,...,и) вычеркиванием какого-либо одного ее члена. Обозначим символом е, набор индексов, получаемый вычеркиванием числа 1 из последовательности (1,2,..., и). Каноническое представление внешней дифференциальной формы ы спзепени и — 1 имеет вид ы(х) = ~~ ы,,(х)ах". в=1 злее использ ются еле ю е обозначения. Для произвольной формы ш степени и — 1 полагаем ю;(х) = ( — 1)' ~ы,, Тогда каноническое предсгпавление внешней дифференциальной формы ы(х) принимает вид ы(х) = ~~~ ( — 1)' 'ац(х)йх". В=1 (Целесообразность таких обозначений будет видна из дальнейшего.) В 2.
Исчисление внешних дифференциальных форм 301 2.2. УМНОЖЕНИЕ ВНЕШНИХ ИФФЕРЕН ИАЛЬНЫХ ФОРМ Пусть ы и  — произвольные внешние дифференциальные формы степеней т и з соответственно, и(х) = ~> и11х)дх~, 81х) = ) В1(,х)дх 1Е5„' ХЕ5„* — их канонические представления. Внешним произведением дифференциальных форм 1о и В называется внешняя дифференциальная форма Ф степени т + з, определенная равенством 155„' ЗЕ5„' Внешнее произведение дифференциальных форм ьо и В обозначается символом ы Л В. Формально внешнее произведение форм ы и В получается, если их канонические представления перемножить как обычные многочлены, полагая произведение дхг и дхЗ равным дх11 З1 для любых 1, 1. Напомним, что для 1 = (11,11,...,1,) и,У = 01,11,...,1,) символ дх11 ~1 означает внешнюю дифференциальную форму лх~ Дхм лх~ 11х1ьдхзь лх1 Рассмот им п и м е ы. Пример 1. Пусть даны внешние формы первой степени 1о п ь = ~, 1о;дх1 и В = ~; В1дх'.
Тогда, по определению, п и Л В = ~ "Я ш1В,дх* Л дх . 1=1 1=1 При 1 = 1 имеем ох' л ох1 = 0 и, следовательно, Л В = ~~ 1ФНВ,дх1 Л дх1 + ;В1дх1 Л дх'), 1<1<1<о где суммирование ведется по множеству всех пар (1,1) таких, что 1 < 1, При 1 < 1 имеем ох1 Л ох' = — ох1Л дх1 и окончательно получаем и Л В = ~ (1о1В1 — ы;В;)Йх' Л дх1. 1(ю(1(ь 302 Гл. 15.
Интегральное исчисление на многообразиях Лример 2. Пусть В = 2, В Их1 есть внешняя дифференциальная 1=1 форма первой степени, ы — внешняя дифференциальная форма степени и — 1. Запишем каноническое представление формы ы в виде ы(х) = ~( — 1)' 1и;(х)сЬ", ~=1 где е; Е Я„" ~ означает набор индексов, получаемый вычеркиванием числа зиз последовательности (1,2,...,п). На" ем внешнее п оизв ение В Л ы. Если г ~ з, то Вхз Л Вх" = О, так как в этом случае набор индексов Ц, е;) содержит два одинаковых члена. Поэтому произведение В,дхз на 1-е слагаемое в выражении для внешней дифференциальной формы ы при г ф у' обращается в нуль. Следовательно, мы получаем и В Л ы = ~~ ( — 1)' 'м;(х)В;дх' Л дх'*, ~=1 Имеем Вх' Л Ых' = ( — 1)' 'Вх дх ...
х„. В результате получаем ВЛьз = ~~ ы;(х)В; Вх Вх ...Вх". в=1 Отметим некого ые с в о й с т в а опе ации внешнего множе- ния непос ственно вытекаю ие из оп еления. ь Предложение 2.1. Для любых внешних дифференциальных форм ыь, й = 1,2,...,т, степени г и любой внешней дифференциальной формы В степени я выполняется равенство (ы1 + мг + + ьз„~) Л В = ыз Л В + ыз Л В + . + ьз Л В.
Аналогично, для всякой внешней формы ы степени т и любых внешних дифференциальных форм Вь, й = 1,2,...,т, степени з выполняется равенство ыЛ(В1+Вз+ ° ° ° +В )=иЛВз+ыЛВз+ ° ° +ыЛВ 303 3 2. Исчисление внешних дифференциальных форм Данное предложение непосредственно вытекает из определения операции умножения внешних дифференциальных форм. Ф ф Предложение 2.2. 11усть даны вещественная функция о н внешние дифференциальные формы ы и О. Тогда имеют место равенства (аы) Л 0 = ы Л (ад) = а(ы Л 0). Доказательство непосредственно следует из определения умножения внешних дифференциальных форм.
Ф ф Предложение 2.2. Пусть даны внешние дифференциальные формы ь» и О, оеб(ь») = »с, оеб(0) = 1. Тогда имеет место равенство (2.4) ыЛО=( — 1) ОЛь». Действительно, согласно определению имеем ЛО= '„> ~ .,0,4т1"1, ОЛы= "~ ,"1 .,0,4т1"1. Доказательство сводится к установлению того, что для любых 1 Е я~ и Х Е я~ выполняется равенство Ыт1т ~1 = ( — 1)~~ат1~~1. Последовательно меняя в (Х, Х) = (гы 1з,..., гь, 1ы зз,..., з») индекс зз местами с индексом, стоящим от него слева, после Й транспозиций получим набор индексов (1ы гм1з,...,1ь, уз,..., з»), который отличается от (1, Х) тем, что зз занимает в нем первое место, весь блок индексов 1 сдвинут на одно место вправо, а остальные индексы остаются на своих местах.
Проделав ту же процедуру с индексом уз, после к транспозиций полУчим набоР индексов, в котоРом два пеРвых места занимают зз и 1з, блок индексов 1 сдвинут вправо на два места, а остальные индексы остаются на своих прежних местах. Проделав то же построение 1 раз, в итоге получим, очевидно, набор индексов (Х, 1). При этом всего будет выполнено И транспозиций. Таким образом, набор индексов (Х,,Х) превращается в (1,1) за Ы транспозиций. Отсюда следует, что дт1~ ~1 = ( — 1)ыах1т~1, и тем самым справедливость равенства (2.4) установлена.
Предложение доказано. в ф Предложение 2.4. Операция умножения внешних дифференциальных форм ассоциативна, т. е. для любых трех внешних дифференциальных форм ы, О и ф имеет место равенство (ы Л 0) Л ф = а» Л (О Л ф). (2.5) Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 304 Действительно, пусть ш = ~ мгйх, 0 = ,'~ ртах, 4 = ,'~, 4кйх~ КЕ5 те 5'„ ГЕ 5„' суть канонические представления данных внешних форм. Согласно определению внешнего произведения дифференциальных форм имеем Лр= ~~~ ~~» ш О Ы 1дт1, ге5„' те5„' В Л ф = ') ~' В,4К 1х1'К1.
те5~ ке5„ В силу предложений 2.1 и 2.2 отсюда следует, что (м Л В) Л ф = ~~~ ~~~ ~~ ыгВтфкйхХД~1 Л Йх ГЕ5„" тЕ5~ КЕ5„ Вычисляя аналогичным образом произведение ш Л (д Л ~), получим шЛ(ВЛ~) = З ') ~ игйт4ках'Лйх1~к1. ге5~' те5~ ке5„ Доказываемое свойство внешнего умножения будет установлено, если мы покажем, что Их<г ~1 Л Ихк = Ихг Л Их< ~'к1 для любых 1, 1, К.
В связи с этим заметим сл ю ее. Пусть Р и ч' — произвольные наборы индексов, принадлежащие $'„и $'„соответственно. Тогда определены внешние дифференциальные формы Нхр и Ых~. Покажем, что произведение этих внешних форм можно вычислять по том же и авил, что и в случае, когда Р Е Я„", а Ч б Я„', т. е.
Ых Л Нх~ = Их1 '~1. (2.6) Действительно, если среди индексов, входящих в Р, есть одинаковые, то Нх = О. В этом случае, как очевидно, также и Их1' ~~ = О. В то же время Ихр Л Их~ = О. Таким образом, для данных Р и Ч равенство (2.6) верно. Точно так же убеждаемся в справедливости равенства (2.6) в случае, если среди индексов, составляющих Я, есть одинаковые. Предположим, что Р = (РыРз,...,Р,), Я = (ды оз,..., д,), где Р; ~ Р пРи ~ ~ 1 и точно так же оь ~ щ при х у~ 1.
Пусть наборы индексов Р' Е о„" з 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 305 и Я' Е Я„* являются перестановками Р и Я. Предположим, что Р' получается из Р посредством т«транспозиций, а Я' получено из ч' тз транспозициями. Тогда ах" = ( — 1) 'ах~', ах'~ = ( — 1) 'ахО . Согласно определению внешнего произведения имеем й*рЛйхС' = (-1) + Ч*<" ~'>. Заметим, что набор индексов (Р, 9) получается из (Р', Я') т«+ тз транспозициями и, значит, ах1Р'©~ = ( — 1) '+ 'Их1~ 'с1 ~ = ах Л йх~, что и требовалось доказать. В силу сказанного получаем, что для любых 1,,7 и К имеет место равенство йх1 "> Л йхн = йх' Л ах~'и> = ах~ "н~. Предложение доказано.
ф в Предложение 2.б. Пусть даны внешние дифференциальные формы первой степени Л;, 1 = 1, 2,..., т, где 1 < г < п, Л;(х) = ~ Л; «,(х)Нх»' »;=1 л,(х,) л,(х ) л (х„) Лз(Х1) Лз(хз) Лз(х„) (2.7) л(х„х,...,х,) = л,(х,) л„(х ) . л,(х,) Обозначим правую часть равенства (2.7) символом Л(хнхыХз,...,Х ). Требуется доказать,что Л(х)(Хыхз,...,Х,) = Л(х)(ХмХз,...,Х,) (2.8) при каждом1 = 1,2,...,г, и пусть Л(х) = Лд(х)ЛЛз(х)Л..ЛЛ,(х). Тог- да для любых векторов Хы Хз,...,Х, в пространстве К" выполняется равенство 306 Гл.
15. Интегральное исчисление на многообразиях для любых векторов Хы Хз,..., Х„. В силу известных свойств определителя Л(хнХ1,Хз,...,х,) есть кососимметрическая полилинейная функция степени г переменных ХыХз,...,Х,. Пусть Л(х) есть матрица, образованная коэффициентами внешних форм Л;, г = 1, 2,..., г, Лы(х) Лзз(х) Лз„(х) Лз«(х) Лаз(х) . Лз (х) Л(х) = Лт«(х) Лтз(х) ' ' ' Л~а(х) Из свойств произведения внешних форм, установленных выше, следует, что и а и Л = ~ ~ь ° ) Л «,(х)Лз «,(х)... Лг «,(х)дх~'дх~'... Йх~" . (2.9) «1 — — ««~=« «,=1 Слагаемые в сумме справа, в которых по крайней мере два индекса й; совпадают, обращаются в нуль. Пусть 2 Лг(х)дх есть каноническое представление формы Л(х).
ген„" Для всякого 1 = («ы «з,..., г„), где 1 < ««< «з « г„< п, имеем Лг(х) = Л(х)(е;„е;„...,е,,). Зададим произвольно Х = («д,гз,...,«,) Е Я„'. Тогда слагаемое Лг(х)дхг канонического предсгоавления внешней формы Л равно, как очевидно, с у м м е всех тех выражений в правой части (2.9), для которых набор индексов К = (Йыйз,...,/с,) является перестановкой набора Х, т. е. йз — — «„,, аз — — з,„„..., а,. = « „, где о Е Р .
Для всякой перестановки а Е Р, имеем дхю 1дхв «дх1,~, о1о)ах11ох1Р дхо — о~о)дхг Отсюда следует, что «,~,и,' = ( т' ( р,„. (*р,,;.,~*~ ..~„;. ~+*'. аЕР, з 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 307 где суммирование ведется по множеству всех перестановок а б Р,. Сумма справа есть определитель Л„,(х) Л2;,(х) .. Лд;,(х) Лзй(х) Л2гэ(х) ' Л22„(Х) (2.10) Л„,(х) Л„-,(х) . Л„(х) При каждому = 1,2,...,т имеем Лы„(х) = Ль(х)(еч). Отсюда ясно, что величина Л(е;„е;„..., е; ) равна тому же опрецелителю (2.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
