1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Так как А' С А, то ограничение ~ на А' есть функция класса Я" и, следовательно, функция ~ имеет в каждой точке множества А' все частные производные порядка не выше г, причем эти производные на множестве А' непрерывны. Возьмем произвольно точку р Е А. В силу регулярности А точка р является предельной для множества А'. Согласно определению функций класса У" существуют окрестность У = В(р,6) точки р и функция 1*: У вЂ” К такие, что )' принадлежит классу и"' и 1'*(х) = Дх) для всех х Е У ПА. В каждой точке х Е А' для всякого к-мерного мультииндекса о такого, что ~а~ < г, определена частная производная Р ~(х).
Функции ~ и ~" на множестве У П А' совпадают. Множество У П А' открытое, и, значит, .Р" Дх) = Р" ~*(х) для всех х Е У П А'. Функция Р ~' непрерывна. Пусть (х„),ен — произвольная последовательность точек множества А', сходящаяся к произвольной точке з 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразнях 325 х й А П У. Так как У есть открытое множество, то найдется номер й такой, что при всяком н > й точка х„ принадлежит окрестности У точки р. В силу непрерывности функции Р 1* существует предел йш Р ~'(х„) = Р")'(х). При и > й справедливо равенство х сю Р 7*(х„) = Р 1(х„). Отсюда, в частности, вытекает, что в рассматриваемом случае существует также и предел Бт Р ~(х„) = 1пп Р" ~'*(х„) = Р"~*(х). Из доказанного в силу критерия Гейне существования предела следует, что для всякой точки х Е У,П А для любого й-мерного мультииндекса а, удовлетворяющего условию ~а~ < г, существует предел йш Р" Д1).
Значение этого предела равно Р 7" (х). 1 хАЕА' В частности, существует предел 1пп Р" 7(х). Этот предел бух р,хЕА' дем считать значением производной Р г в точке р множества А и обозначать символом Р 7(р). Из проделанного выше построения следует, что всякая точка р Е А имеет окрестность У = В(р,б) такую, что во всех точках множества УПА имеет место равенство Р 1(х) = 7" (х), где г" = Р" 1"* есть функция, непрерывная в точке р. Отсюда вытекает, что функция Р 1 непрерывна в точке р.
Точка р б А взята произвольно, и, следовательно, мы получаем, что функция Р 1, где ~а~ < г, непрерывна в каждой точке множества А. Пусть А есть регулярное множество в пространстве К" и ~: А— К" — отображение класса и", где г > 1. Тогда для всякой точки д7" 1 б А определены векторы — (1), 1 = 1,2,..., Iе. Это позволяет для всякого а б А определить линейное отображение 4(а;5): 6 = (61 Ьз, бе)" „р, у(1)lь1 д1 1=1 которое мы будем называть дифференциалом огпображеиин 7' в точке о. Мы будем применять в этом случае те же обозначения для дифференциала, что и в главе 7.
Если ~ есть отображение класса Я" множества А, регулярного в К~, причем г > 1, то для всякой точки р Е А справедливо соотношение (3.1) 326 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях где а(1) — 0 при ~ -+ р. Действительно, условие 1' Е Ж" в данном случае согласно определению означает, что существуют окрестность У = В(а,о) точки а и функция ~*: У вЂ” К" класса и" такие, что 1'*(1) = Щ для всех 1 ~ У П А. В силу известных свойств функций класса ~и:", определенных на открытых множествах (глава 7), для всякой точки р б У справедливо соотношение ~*Я = ~*(р) + ф*(р;1 — р) + а(1, р)р — р(, . (3.2) где а(1,р) — 0 при 1 — р. Для случая, когда ~ Е А, имеем равенство д7"" ~*($) = 1(1), а производные — (р) совпадают с соответствующими д1; производными функции ~.
Это означает, что если р е А, то ф'*(р; Ь) = = ф(р; Ь), какова бы ни была функция Х" Е 'и'", определенная на окрестности У точки р и такая, что 7'"(х) = Дх) для всех х Е У ПА. (Напомним, что множество А предполагается регулярным.) 3.2. ПОНЯТИЕ ЛИФФЕОМОРФИЗМА Пусть дано множество А с К". Отображение ~: А — К называется диффеоморфизмом класса и", если оно удовлетворяет следующим условиям. 1) Отображение ( взаимно однозначно и принадлежит классу в" для некоторого т > 1.
2) Пусть В = ((А). Тогда обратное отображение ~ 1:  — + Кь принадлежит тому же классу гладкости и"', что и отображение ~. В дальнейшем, говоря о диффеоморфизмах, в тех случаях, когда это не может привести к недоразумению, мы, как правило, не будем специально указывать, какому именно классу и" принадлежит рассматриваемый диффеоморфизм.
Если 7": А — К есть диффеоморфизм и В = 7"(А), то будем говорить, что множество В диффеоморфно А. При этом если ~ есть диффеоморфизм класса и", то будем говорить, что множество В днффеоморфно мнохсеству А в классе и"". ° ' Пусть даны множество А С 'Кь и диффеоморфизм ~: А — К™ класса в'.
Пусть В = 1(А). Отображение ~ взаимно однозначно, и согласно определению отображение ( ~ принадлежит классу и ". Отображение, обратное к 7" ', есть ~ и, следовательно, принадлежит классу М". з 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 327 Таким образом, мы получаем, что отображение 1 ~:  — К" улов*у у 1) 2) ермо изм того же класса М" что и отоб ажение Отметим некого ые п остейшие с в о й с т в а ди ермо из- мов непос е ственно вытекаю ие из оп е еления. Тождественное отображение множества А С К" удовлетворяет условиям 1) и 2) данного выше определения для любого т > 0 и, следовательно, представляет собой диффеоморфизм класса и " для любого т.
Пусть даны множество А С К" и отображение 7: А — К™ представляет собой диффеоморфизм класса М'". Тогда для всякого множества Е С А ограничение отображения 7' на множестве Е также есть диффеоморфизм класса Я". Пусть даны множества А С К~, В С Кь и С С К". Предположим, что множество А диффеоморфно в М множеству В, а В диффеоморфно в и" множеству С. Пусть дан диффеоморфизм У: А — К класса и"", и пусть В = = ДА). Предположим, что отображение д:  — К" также представляет собой диффеоморфизм класса и '.
Тогда отображение Ь = до1 есть диффеоморфизм класса вт. Действительно, каждое из отображений 1 и д взаимно однозначно. Отсюда следует, что отображение 6 взаимно однозначно. При этом й(А) = д[1'(А)] = д(В). Отображения 1 и д принадлежат классу и'". В силу теоремы 3.1 это позволяет заключить, что 6 принадлежит классу и". Положим Ь(А) = С, С = д(В). Так как каждое из отображений 7" и д есть диффеоморфизм, то отображения 7" 1 и д ' принадлежат классу Ж'.
Очевидно, имеем й ' = 7" ' о д ~. Применяя теорему 3.1, отсюда получаем, что отображение Ь ~ также принадлежит классу М". Таким образом, доказано, что 6 есть диффеоморфизм. Из доказанного, в частности, вытекает, что введенное здесь отношение диффеоморфности для множеств в евклидовых пространствах рефлексивно, симметрично и транзитивно. Всякое множество в пространстве Кь диффеоморфно самому себе.
Если А С К~ диффеоморфно В С К, то, в свою очередь, В диффеоморфно А. Если множество А С Кь диффеоморфно В С К, В диффеоморфно С С К", то А диффеоморфно С. Докажем предложение, которое в случаях, важных для нас, позволяет устанавливать, что некоторое отображение есть диффеоморфизм. 328 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях ° Теорема 3.2. Пусть А есть регулярное множество в простран- стве КЬ, ~р: А — К" — отобрансенне класса Ъ'" и В = у(А). Предполо- жим, что р удовлетворяет следующим условиям: 1) у взаимно однозначно и обратное отображение у 1:  — К" непрерывно; дд 2) в каждой точке ~ Е А векторы — (1), г = 1,2,...,а, линейно д1; независимы. Тогда р есть диффеоморфизм класса и ". Доказательство.
Предположим, что отображение у удовлетво- ряет всем условиям теоремы. Положим ф = ~р ~. Теорема будет дока- зана, если мы покажем, что ф есть отображение класса в'". Возьмем произвольно точку о б В. Пусть р = ф(д). Тогда р Е А и у(р) = о. По условию, у принадлежит классу М". Это согласно определению означает, что найдутся окрестность У = В(р, бз ) точки р и отображение у*: У вЂ” ~ К" класса и" такие, что у*(1) = ~р(1) для всех 1 е А г1 У.
Так д~Р как множество А регулярно, то производные — (~) определены для всех д1; дзР 1 Е А. Функции — непрерывны на множестве А. Множество А' й У д1, открытое, и так как функции у и у на нем совпадают, то для всякого дф дф* 1 Е А' й У имеет место равенство — (1) = — (1). Эти производные д1, д1; представляют собой функции, непрерывные на множестве А Г1 У, отку- да следует, что они совпадают во всех точках 1 Е А П У. ду' ду В частности, — (р) = — (р) при каждом г' = 1,2,...,к. Имеем д1; д1; ~1 = ~о(р) = ~р*(р).
Согласно второй теореме о выпрямлении (глава 10, теорема 3.3) можно указать числа б > О, е > 0 и отображение Г: Ъ'— К" класса и ", определенное в окрестности $' = В(д,е1) точки о = = р'(р) Е К", такие, что 0 < б < бз и выполнены следующие условия. Для всякого 1, достаточно близкого к точке р, а именно, для любого, которое удовлетворяет неравенству ]г — р~ < 6 при и = Й,,выполняется равенство У[у*(~)] = 1, а если п > 1с, то Р[у*(1)] = (1,0). (Простран- ство К" в последнем случае рассматривается как декартово произведе- ние Кь х К, где т = и — и) Иначе говоря, если ~ Е А и ]1 — р] < 6, то 1-я компонента вектора К[у*(1)] равна г-й компоненте вектора 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
