1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Напомним (см. 31 главы 9), что множество О С А называется открытым относительно А, если С есть открытое множество пространства (А, р) — надпространства 1Х, р). Пусть А — множество в метрическом пространстве 1Х, р). Как показано в главе 9 (см. п. 1.4.2), множество О С А является открытым относительно А в том и только в том случае, если О допускает представление 0 = А П У, где У есть открытое множество пространства (Х, р). Пусть х — произвольная точка множества А С Х. Окрестностью точки х в множестве А будем называть всякое множество С С А, открытое относительно А и такое, что х б О.
Множество М в пространстве К" называется И-мерным многообразием класса и", если для всякой точки х е М существует окрестность Г точки х в множестве М, которая является Й-ячейкой класса М'". В данном определении не исключаются случаи, когда й = 1 и й = п. В случае й = и будем называть к-мерное многообразие класса М" также областью класса У~ в пространстве И". Если й = 1, то 1с-мерное многообразие класса в" называется кривой класса и".
В случае 1 < к < и всякое 1с-мерное подмногообразие Г класса и" пространства К" будем называть также И-мерной поверхностью класса и'" в пространстве И". Отметим еще, что (п — 1)-мерное подмногообразие пространства К" называется гиперповерхностью. 3.3.4.
Пусть М есть к-мерное многообразие класса Ж", а множество Г, открытое относительно М, является Й-ячейкой класса и ". Всякая параметризация ~р: Р— Г к-ячейки Г называется локальной параметризаиией данного многообразия. Слово «локальная» в наименовании параметризации в дальнейшем, как правило, опускается. Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 334 Отображение, о б р а т н о е к гр, называется локальной системой координат или картой мноеообразия М.
Пусть х — произвольная точка множества Г. Тогда будем говорить, что гр: Р— Г есть параметризация окрестности Г точки х в многообразии М. Отображение Ф = р ' в этом случае будем называть системой координат или картой, определенной на окрестности Г тонки х. Пусть гр: Р— М и ф: Я вЂ” М вЂ” произвольные локальные параметризации многообразия М. Параметризации гр и юг называются перекрываюи4имися, если множества Г = гр(Р) и С = фЩ) имеют общие точки. Пусть гр: Р— М и гр: Я вЂ” М есть перекрывающиеся параметризации 1с-мерного многообразия М, Г = гр(Р) и С = фЩ).
Множества Г и С открытые относительно М, и, значит, их пересечение Н = Г П С также есть множество, открытое относительно М. Положим Я = гр '(Н) и Т = ггг '(Н). В силу непрерывности отображений гр и ф множество Я является открытым относительно Р, Т есть множество, открытое относительно Я. Согласно лемме 3.1 каждое из множеств Я и Т является регулярным в пространстве К~.
Определим отображения т = ф ~ о р и о = ьо ' о ф. Так как Я = гр з(Н) и Т = Ф '(Н), то гр отображает Я на Н, ф ' отображает Н на Т. Отсюда следует, что т взаимно однозначно отображает множество Я на Т. Аналогично устанавливается, что и взаимно однозначно отображает Т на 5. При этом о = т ~ и т = гг ~. Каждое из отображений гр и гр ' есть диф$еоморфизм класса и '. Отсюда следует, что отображения т и гг = т также являются диффеоморфизмами класса в ".
Отображения т и гг называются функциями перехода для локальных параметризацийгр и юг многообразия М или, иначе, для локальных систем координат гр г и гр Так как множества Я и Т регулярны, то во всех точках множества Я определены частные производные функции т и в каждой точке и множества Т определены частные производные отображения сг. Пусть о' есть отображение класса Я", определенное на окрестности У точки 1о Е Т и совпадающее с а на Т П У. Тогда согласно лемме 3.2 для всех 1 Е Я таких, что т(ь') Е У, выполняется равенство до*[т(ь)] о г1т(ь) = 1г1ьь, где 1с1ь означает тождественное отображение пространсгпва К .
При 1 Е Я точка и = г(г) Е Т, и, значит, для этой точки дгг" [т(х)] = г1гг[т(х)]. В силу этого равенства окончательно получаем для и = т(ь') до(и) о Ыт(1) = 1г1ь, с~т(1) о до(и) = Ыь. (3.4) 3.3.5. Пусть 3(1,т) означает якобиан отображения т в точке 1 Е Я, т. е. определитель линейного отображения г1т(1), з(и,о) — якобиан отображения о в точке и = хЯ.
Тогда из равенства (3.4) вытекает, что (3.5) ,У(1, т),Ци, сг) = 1. Отсюда, в частности, следует, что нкобианы отображений т и о всюду отличны от нуля. З 3. Дополнительные сведения о гладких лодмногообразиях 335 3.4. ПОНЯТИЕ КРАЯ МНОГООБРАЗИЯ 3.4.1. Для произвольного подмногообразия пространства К" может быть определено некоторое его подмножество, называемое краем многообразия.
Это определение опирается на следующее утверждение. ° Лемма З.З. Пусть М есть й-мерное многообразие класса Ъ" в пространстве К", уг .' Р1 — М и ~рг. Рг — М вЂ” две допустимые параметризации многообразия М. Предположим, что данные лараметризации являются перекрывающимися, и пусть | Е Р1 и и Е Рг таковы, что уг(1г) = уг(и). Тогда если 1 есть внутренняя точка Рг, то и является внутренней точкой Рг. Верно и обратное: если известно, что и есть внутренняя точка Рг, то можно утверждать, что также 1 есть внутренняя точка Рг.
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Пусть Гг = МРг), Гг = ~рг(Рг). Множества Гг и Гг являются открытыми относительно М. ПУсть Н = Г1 П Гг, Вг — — Р 1(Х), Хг = У г(Н). Множества зг и зг являются открытыми относительно Р, и Рг соответственно. Пусть т, = рг о ьг1 и тг — — у, о уг — функции перехода для -1 -1 данных параметризаций. Тогда тг = т1 ' и каждое из отображений тг и тг представляет собой диффеоморфизм.
Пусть точки 1 Е Рг и и Е Рг таковы, что ьгг(1) = рг(и). Предположим, что 1 есть внутренняя точка стандартной области Р,. Множество Нг является открытым относительно Ры 1 Е Вы и, значит, найдется 6г > 0 такое, что всякая точка 1' Е Ры для которой ~1' — 1~ < 6ы принадлежит Нм Так как 1 есть внутренняя точка Ры то найдется 6г > 0 такое, что шар В(1,6г) пространства К" содержится в Рм Пусть 6 = гшп(6ы6г). Тогда шар В(1,6) содержится в Р1 и ~1' — Ф~ < 6г для всякой точки г' Е В(1, 6). Отсюда следует, что шар В(1, 6) содержится в Нг. Отображение т, взаимно однозначно и преобразует шар В(1, 6) в некоторое подмножество Нг.
Так как якобиан отображения гг всюду отличен от нуля, то по теореме о локальном диффеоморфизме (глава 10), образ шара В(1,6) относительно этого отображения есть открытое множество в К~. Отсюда, в частности, следует, что точка и = т1(1) Е тг'1В(1,6)] С Яг является внутренней точкой стандартной области Рг. Так как 1 и и входят в условие леммы равноправным образом, то, меняя в проделанных рассуждениях местами точки 1 и и, точно так 336 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях же получим, что если и есть внутренняя точка оз С Рз, то 1 есть внутренняя точка множества Яз С Рз. Лемма доказана. ° Следствие.
Пусть у1 . 'Р| — М и уз . 'Рз — М вЂ” две перекрывающиеся параметризации и-мерного многообразия М класса и ', и пусть точки г Е Р1 и и Е Рз таковы, что р1(1) = р(и). Тогда если одна из точек 1 и и является краевой точкой соответствующей стандартной области, то и другая является таковой. Пействительно, предположим, что точка 1 Е Рз краевая.
Тогда в силу леммы 3.3 точка и не может быть внутренней точкой Рз, ибо в противном случае ~ было бы внутренней точкой Р,. Аналогично заключаем, что если и Е дРз, то 1 не может быть внутренней точкой Р,. Таким образом, мы получаем, что 1 Е дР1 «» и Е дРз.
Следствие доказано. Предположим, что М есть 1«-мерное многообразие класса в"' в пространстве К". Точка х многообразия М называется краевой точкой данного многообразия, если с у щ е с т в у е т параметризация у: Р— М многообразия М такая, что стандартная область Р есть полуинтервал, причем х = у(~), где 1 Е дР. Следствие леммы 3.3 позволяет заключить, что если х есть краевая точка многообразия М, то для любой другой параметризации у': Ц— — ~ М многообразия М такой, что х = ф(и) для некоторого и Е Я, область определения этой параметризации Я является полуинтервалом, причем и Е дЯ.
3.4.2. Совокупность всех краевых точек многообразия М называется его краем и обозначается символом дМ. Многообразие М, в частности, может вообще не иметь краевых точек. В этом случае, естественно, дМ = О. Всякая точка многообразия М, не являющаяся его краевой точкой, называется внутренней точкой. Совокупность всех внутренних точек многообразия М будем обозначать символом Внт(М). Чтобы избежать расхождения с прежними определениями, слова «внутренняя точка многообразия» следует понимать как единый термин, так что выражения «внутренняя точка многообразия М» и «внутренняя точка множества М» означают разные понятия.
Выполним е е некото ые пост оения кото ые позволят стано- вить чтб п е ставляет собой к ай многооб азия. Пусть М есть к-мерное многообразие класса в" в пространстве К", причем 2 < к < и. Предположим, что М имеет краевые точки. Выберем произвольно точку х Е дМ,и пусть у: Р— М есть локальная з 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 337 параметризация многообразия М такая, что х = »р(1) для некоторого 1 Е Р. Так как х есть краевая точка многообразия М, то стандартная Ь-мерная область Р представляет собой полуинтервал, причем 1 Е дР. Пусть Р = (аыЬ») х (аз,бз) х х (аыбь). Согласно определению дР есть совокупность всех тех точек 1 Е Р, у которых первая компонента равна Ьз.
Так как, по условию, й > 2, то определен (Й вЂ” 1)-мерный интервал доР = (аз» Ьз) х ° ° х (аь» Ьь). Имеем отображения ,з: (1з,...,1ь) Е доР ~ †» (Ьз,1з,...,1ь) Е дР, р: (Ь1,1з, . ~ь) Е дР »-» (1з,...,~ь) Е доР. Отображения з и р взаимно однозначны и принадлежат классу и' ', каково бы ни было г > 1. При этом у' отображает доР на дР и р является обратным к з'. Это означает, что з есть диффеоморфизм класса и'", каково бы ни было г > О. Отсюда следует, что отображение б»р = и» о з есть диффеоморфизм (й — 1)-мерного интервала доР в М. При этом так как 7' отображает доР на дР, то б»р(доР) = »р(дР). Все точки множества»р(дР) являются краевыми точками многообразия М. Покажем, что множество у(дР) является открытым относительно дМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
