1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 58
Текст из файла (страница 58)
дополнительные сведения о гладких подмногообразиях пространства К" В параграфах 1 и 2 этой главы было введено понятие внешней дифференциальной формы. Здесь будет описан другой основной объект, с которым мы будем иметь дело в этой главе, — понятие дифференцируемого подмногообразия пространства К". Материал этого параграфа частично повторяет, что ух<е было изноя<ело в главе 10. Наличие повторов вызвано, прежде всего, желанием сосредоточить весь материал, относящийся к изучаемой теме, в одном месте, что должно облегчить труд читателя.
Здесь рассматриваются такя<е вопросы, касающиеся теории многообразий, не рассматривавшиеся в главе 10. Далее определяется понятие отобрал<ения класса <а'~ для случая отображений, имеющих областью определения произвольное подмнох<ество пространства К", вводится понятие диффеоморфизма для таких множеств и устанавливаются простейшие свойства диффеоморфизмов.
Особо выделяется класс множеств, для которых понятие производной ьЗ З для функции класса Ж~, определенной на данном множестве, может быть определено единственным образом. Здесь определяются понятия гладкого ~-мерного многообразия, а также края многообразия и касательной к-мерной плоскости в точке многообразия. Определяется понятие локальной системы координат или карты многообразия.
Доказывается теорема о функциях перехода для ра личных систем координат. Вводится понятие ориентированного многообразия. з 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразнях 321 3.1. Отоврлжения кллссл в'" с произвольной овллстью ОЛРе еления Понятие функции класса М", имеющей областью определения некоторое подмножество пространства К", было определено только для случал, когда это подмножество открыто. Оказывается полезным определить данное понятие в более общей ситуации. Пусть С есть открытое множество в пространстве К~. Напомним, что тогда ~: С вЂ” К" называется отображением класса и", где т > 0 — целое число, если функция ~ имеет в С все частные производные порядка не выше г, причем каждая из этих производных непрерывна на множестве 6.
Пусть А есть произвольное множество в Кь. Будем говорить, что отображение ~: А — К" принадлежит классу М"', если для всякой точки р б А можно указать окрестность 0 = В(р, б) этой точки и функцию ~": У вЂ” К", принадлежащую классу М'" и такую, что у*(з) = Дх) для всех я б А й У.
Пусть 6 есть открытое множество в К~. Тогда всякая функция ~: 0 — К", принадлежащая классу и=" в смысле прежнего определения, удовлетворяет всем условиям нового определения класса М". Действительно, в этом случае для произвольной точки р б 0 в качестве У мы можем, очевидно, взять шар В(р, 6) такой, что 0 Э В(р, 6), и положить У*( ) = У(*) Справедливо и обратное: если множество С открытое и функция У принадлежит классу У' в смысле данного здесь нового определения, то у будет удовлетворять всем условиям прежнего определения функций класса Ж". Таким образом, в случае, если множество А С К~ открытое, данное здесь определение принадлежности функции У: А — К" классу и" равносильно прежнему. Пусть дано множество А С Кь, причем А ф З.
Тогда если функция У: А — К" принадлежит классу М'", то для всякого множества Е С А ограничение функции у на множестве Е, очевидно, также есть функция класса и'". Отметим некото ые с в о й с т в а отоб ажений класса в" непо- с ственно вытекаю ие из оп еления. ° Теорема 3.1. Пусть даны множество А С К™ н В С Кь н отображения ~: А — Кь и д:  — К".
Тогда если ДА) С В и каждое нз отображений У н д принадлежит классу М ', го суперпозиция до 1 также есть отображение класса М'". 322 Гл. 25. Интегральное исчисление на многообразиях Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Возьмем произвольно точку р Е А. Пусть д = Др). Так как д принадлежит классу дв", то согласно данному выше определению найдутся окрестность В' = В(д,е) точки д и отображение д*: ~' К", принадлежащее классу и"", такое, что д"(у) = д(у) для всех у Е Ъ' П В. Так как ~ принадлежит классу 1в'", то найдутся число б1 > О и функция У' Е в", определенная в окрестности Уз — — В(р,бз) точки р и такая, что ~*(х) = Дх) для всех х Е Пз П А.
Пусть б > О таково, что б < бы и для всякого х Е К~ из неравенства ]х — р] < б следует, что ]~*(х) — )[р)[ = ]~ (х) — д[ < е. Для всякого х Е П = В(р.б) определена величина д'[~ (х)]. Функция 6* = д" о ~* принадлежит классу и'". Если х Е О' П А, то ~*(х) = Дх), и, значит, для этого х точка у = У(х) Е В. Отсюда вытекает, что для данного х имеет место равенство Ь'(х) = д'(У) = д(У) = дУ(х)]' Мы получаем, таким образом, что для всякой точки х Е А можно указать окрестность П = В(р,б) этой точки и функцию Ь*: У вЂ” К", принадлежащую классу Ъ ' и такую, что 6'(х) = д[Дх)] для всех х Е Е О'ПА.
Так как точка р Е А была выбрана произвольно, то тем самым установлено, что отображение д о г'; А — р К" принадлежит классу и .. Теорема доказана. ° ~ВД . «д А р р Вд р но и функция ~: А — К" принадлежит классу Ж", то, вообще говоря, частные производные для этой функции не могут быть определены. Пусть, например, и = 2 и множество А есть прямая, состоящая из всех точек х = (х,у) таких, что х = у. Функция г": А — К, определенная условием Г"[х) = х = у для произвольной точки х = (х, у) Е А, принадлежит классу Я" при любом г.
Действительно, каждая из функций д(х, у) = х и 6(х, у) = у представляет собой продолжение функции ~ на Кз, которое есть функция дд дй класса Ж' при любом г. Имеем — (х,у) = 1, — (х, у) = О. В силу сказанного становится непонятным, какое конкретное зиад~ чение нужно приписать производной — (х, у): следует ли считать ее дх равной единице в каждой точке множества А или же эту производную мы должны считать тождественно равной нулю? В °,~, д Д~~, .д частной производной функции класса Я'" определяется однозначно, хотя область определения функции и не является открытым множеством в пространстве К для какого-либо конкретного значения т.
Рассмотрим этот случай. Предварительно сделаем некоторые общие замечания. З 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 323 Пусть А есть произвольное непустое множество в метрическом пространстве (М, р). Точка х множества А называется внутренней точкой А, если существует 6 > О такое, что шар В(х, б) С А.
Совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью или открытььн ядрон множества А и обозначается символом А'. Открытое ядро всякого множества А в метрическом пространстве (М,р) есть открытое множество. Действительно, если множество А вообще не имеет внутренних точек, то множество А' пусто и, следовательно, в этом случае А' есть открытое множество. Предположим, что множество А' непусто. Пусть х есть произвольная точка множества А'. Тогда согласно определению найдется 6 > О такое, что В(х, 6) С А. Все точки шара В(х, б) являются его внутренними точками, и так как В(х,б) С А, то каждая точка данного шара является внутренней также и для множества А. Это означает, что В(х,б) С А' и, следовательно,х есть внутренняя точка множества А'.
Так как точка х Е А' взята произвольно, то тем самым доказано, что множество А' открытое. Пусть А и  — произвольные множества в метрическом пространстве (М, р), причем В С А. Говорят, что множество В всюду плотно в множестве А, если для всякой точки х Е А по любому е > О можно указать точку у б В такую, что р(х, у) < е. Пусть дано непустое множество А в пространстве Е".
Множество А назовем регулярнььн, если его внутренность всюду плотна в А. Пусть А есть произвольное множество в метрическом пространстве (М, р). Напомним, что множество С С А называется открытым относительно А, если 0 есть открытое множество пространства (А, р)— подпространства (М,р). Как было показано в свое время (глава 9, п.
1А.2), множество 0 С А является открытым относительно А в том и только в том случае, если О допускает представление б = А П У, где У есть открытое множество пространства (Х, р). Далее будет полезно следующее утверждение. ° Лемма 3.1. Если множество А в метрическом пространстве ( М, р) регулярно, то всякое непустое множество Е С А, открытое относительно А, также является регулярным.
Доказательство. Пусть А есть регулярное множество в метрическом пространстве (М,р) и множество Е С А является открытым относительно А. Возьмем произвольно точку х Е Е. Так как множество Е является открытыл относительно А, то найдется 6 > О такое, что всякая точка х' Е А, для которой р(х', х) < Б, принадлежит Е. Ел. 15.
Интегральное исчисление на многообразиях 324 Так как множество А регулярно, то х является пределом некоторой последовательности (х„)„ен внутренних точек множества А. Согласно определению понятия предела последовательности точек метрического пространства Я 1 главы 9) найдется номер и такой, что для всех и > и выполняется неравенство р(х„, х) < 6, т. е. х„Е Е для всех и > р. При и > и точка х„является внутренней точкой множества .Е. Пействительно, возьмем произвольно номер и > и. Так как х, есть внутренняя точка А, то найдется ез > О такое, что В(х„,е1) с А. Положим ез — — 6 — р(х„, х).
Очевидно, ея > О. Пусть е > О есть наименьшее из чисел е1 и ез. Тогда если р(х',х„) < е, то х' е В(х„е1) с А, поскольку е < еы Значит, х' е А'. В то же время имеем е < ез и, следовательно, р(х',х) < р(хх',х„) + р(х„, х) < ея + р(х„, х) = 6, и потому х' Е Е. Мы видим, что все точки шара В(х„, е) принадлежат множеству Е, т. е. х„есть внутренняя точка множества Е. Полагая у, = хя при и < и и у„= х„при и > и, мы получим последовательность внутренних точек множества Е, имеющую своим пределом точку х.
Поскольку точка х Е Е была взята произвольно, то тем самым установлено, что множество Е регулярно. Лемма доказана. ° Пусть А — регулярное множество в пространстве Кь и ~: А — К есть функция класса и". Тогда ограничение функции 1 на множестве А' принадлежит классу ~и'. Множество А' открытое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
