1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Действительно, пусть Г = »р(Р). Множество Г является открытым относительно М, и, значит, Г = У П М, где У есть открытое множество в пространстве К". Покажем, что б~»р(доР) = ~»р(дР) = дМ О У. (3.6) Действительно, если х Е р(дР), то х Е дМ, и в то же время х Е Г с 1»', т.е.
хбдМПс»'. Обратно, если х Е дМ П У, то х Е М П У = ~»р(Р), и, значит, х = у(г), где 1 Е Р. Так как х есть краевая точка многообразия М, то 1 Е дР и, следовательно, х Е»р(дР). Равенство (3.6) доказано. Таким образом, если 1е > 2, то для всякой краевой точки х й-мерного многообразия М класса У' и любой локальной параметризации р: Р— М определен диффеоморфизм б»р: доР— К" такой, что множество дГ = бр(доР) содержится в дМ и является открытым относительно дМ и точка х Е дГ.
Область определения диффеоморфизма б»р 338 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях в данном случае есть открытая (к — 1)-мерная стандартная область— интервал дв Р. Из доказанного вытекает следующее предложение. ° Теорема 3.3. Пусть М есть к-мерное многообразие класса и' в пространстве К". Предположим, что Ь > 2.
Тогда если М имеет краевые точки, то край многообразия М есть (к — 1)-мерное многообразие «ласса и", не имеющее краевых точек. Последнее утверждение можно представить формулой д(дМ) = И. Доказательство. Действительно, как следует из доказанного выше, для всякой точки х Е дМ существует множество дР, открытое относительно М и являющееся элементарным (к — 1)-мерным многообразием класса 1а'". При этом дР допускает параметризацию, область определения которой есть открытая (к-1)-мерная стандартная область. Для множества дМ, таким образом, выполнены все условия определения (к — 1)-мерного многообразия класса и'". При этом, как следует из сказанного, никакая точка х Е дМ не является краевой точкой дМ, т.
е. дМ не имеет краевых точек. Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Для всякой локальной цараметризации ~р окрестности краевой точки многообразия М определена параметризация бу окрестности этой точки на многообразии дМ. Она получается из у, если компоненте 1з точки 1 = (гз,1з,...,1ь) б Р придать постоянное значение, а именно, положить ее равной наибольшему значению, которое принимает 11. З.б. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО В ТОЧКЕ МНОГООБРАЗИЯ Путем или параметризованной кривой в пространстве К" называется всякое непрерывное отображение х: [а, 61 — К".
Будем говорить, что путь х(г), 1 й [а, 61, лежит в множестве Е С К", если х(1) Е Е для всех 1. Говорят, что путь х: [а, Ь1 — К" исходит из точки р, если х(а) = р. Пусть М есть й-мерное многообразие класса й" в пространстве К." и р есть произвольная точка многообразия М. Вектор 6 Е К" называется касательным вектором многообразия М в точке р, если существует путь х: [а, 6~) — К", лежащий в многообразии М и исходящий из точки р и такой, что 6 = х'(а). Множество всех касательных векторов в точке р многообразия М называется квнтингениией многообразия М в этой точке и обозначается символом Сп$м(р). Следующая теорема дает полный ответ на вопрос о строении контингениии в произвольной точке многообразия М.
З 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 339 ° Теорема 3.4. Пусть М есть Ь-мерное дифференцируемое многообразие класса и ' в пространстве К". Пусть р: Р— К" есть локальная лараметризация многообразия М такая, что р = р(и) для некоторого дф и Е Р, и пусть а; = —, г = 1, 2,..., й. Тогда: д1 1) если р есть внутренняя точка М, то Сигм(р) состоит из всех векторов ~ вида (3.7) где 1ы 1з,..., 1ь — произвольные вещественные числа; 2) если р есть краевая точка М, то Сп1м(р) есть множество всех векторов (', допускающих представление вида (3.7) с коэффициентами 1;, г = 1, 2,..., 1с, удовлетворяющими дополнительно условию 1~ < О. Доказательство. Пусть у: Р— К" есть локальная параметризация многообразия М такая, что р = р(д) для некоторого д Е Р.
Положим Г = ~р(Р), и пусть 4 = ~р ': à — Кь. Отображение ~ есть диффеоморфизм, и, значит, согласно определению диффеоморфизма существуют окрестность |Г точки х и отображение ~*: $~ — К класса в'" такое, что ф" (х) = ф(х) для всех х Е Г П $~. Зададим произвольно касательный вектор ~ многообразия М в точке р, и пусть х: [а,6] — К" есть путь, лежащий на многообразии М и исходящий из точки р такой, что х'(а) = ~. Пусть 0 — открытое множество в К" такое, что Г = Мйб. В силу непрерывности функции х(г) найдется Ьо такое, что а < 6о < Ь, и точка х(1) Е 6 Г1 1г для любого 1 Е [а, Ьо] и, значит, х(1) Е Г й Ъ' для всех 1 Е [а,Ьа].
Простоты ради, будем считать, что х(1) Е Гй $' для всех 1. Этого, очевидно, всегда можно добиться, заменяя в случае необходимости Ь определенным сейчас значением Ьо. При этом предположении х(1) Е $' для всех г Е [а, Б]. Положим у(1) = ф*[х(г)] для 1 Е [а, Ь]. Так как для всех г Е [а,Ь] согласно предположению х(г) Е ГГ1$', то у(1) = 4~[х(1)] Е Р для таких 1. Функциях дифференцируема в точке а,причем х'(а) = ~. Отсюда вытекает, что функция у также дифференцируема для г = а. При этом 1 = у'(а) = ЙЬ'[р;~]. Пусть у;(1), г = 1,2,..., й, есть компоненты вектор-функции у(1), 1;, г = 1, 2,..., й, — компоненты вектора й Имеем, очевидно, 1; = у,'(а). Так как отображение у является обратным к ф, то Эз[у(~)] = х(1) для всех г Е [а,Ь].
Отсюда получаем, что и вектор ~, таким образом, допускает представление требуемого вида. 340 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Рассмотрим случай, когда д Е дР. Пусть Р = (аы 61] х (аз,бз) х х (аы Ьь). (3.8) Тогда имеем у1(а) = 61 и у1(1) < 61 для всех 1 Е [а,Ь]. Мы получили, что функция у1(1) принимает свое наибольшее значение в [а, Ь] при 1 = а и, значит, 11 —— у'(а) < О.
Следовательно, в данном случае коэффициент 11 в равенстве (3.7) неположителен. Таким образом, мы установили, что всякий касательный вектор в точке р = у(д) многообразия М допускает представление вида, указанного в формулировке теоремы. Докажем, что верно о б р а т н о е: всякий вектор б, допускающий представление вида (3.8), причем 11 < 0 в случае р Е дМ, является касательным вектором многообразия М в точке р. Зададим произвольно числа 1;, 1 = 1,2,...,1с.
При этом в случае, если р Е дМ, будем предполагать, что 11 < О. Пусть 1 = (1г,1з,...,1ь). Положим у(1) = д+ П. Тогда найдется Ь > 0 такое, что у(1) Е Р при 1 Е [О,Ь]. Действительно, если д есть внутренняя точка Р, то существует б > 0 такое, что шар В(д, 6) С Р, и любое число Ь > 0 такое, что [1[Ь < 6, удовлетворяет требуемому условию. Предположим, что р Е дМ. В этом случае Р есть Ь-мерный полуинтервал, и согласно предположению 1~ < О. Предположим, что Р определяется равенством (3.8). Положим Р = (ам оо) х (аз,Ьз) х .
х (аь,Ь|). Множество Р открытое и Р С Р. Пусть б > 0 таково, что шар В(ад 6) С С Р. Пусть Ь > 0 выбрано так, что [1[6 < б. Тогда точка у(1) Е Р при 0 < 1 < Ь . Так как у|(1) = 6| + 111, то у(1), очевидно, принадлежит Р для таких 1. Положим х(1) = у[у(1)]. Этим определен некоторыи путь, лежащий на многообразии М и исходящий из точки р = <р(о) = х(0). Имеем ь ь с = х'(0) = байр[а; у'(а)] = ~~ †(д)1; = ~ 1;а;. 1=1 в=1 Так как числа 1; были заданы произвольно, то тем самым теорема доказана.
° з 3. Дополнительные сведения о гладких лодмногообразиях 341 Пусть М есть 1с-мерное многообразие класса и"". Возьмем произвольную точку р Е М. Если р есть внутренняя точка М, то, как следует из теоремы З.З, множество СпФм(р) представляет собой к-мерное надпространство пространства К". Будем называть его касательным пространством многообразия М в точке р и обозначать символом Тм(р). Предположим, что р есть краевая точка М.
В этом случае Сп1м(р) есть образ полупространства К» = (1 = (11,11,...,1») ! 11 < О) пространства К» относительно некоторого линейного отображения Т(1): (61,11,...,1») а ~~1 1;а;, а=1 где а1, аз,..., а» есть система из к линейно независимых векторов пространства К". В дальнейшем мы будем говорить, что в данном случае Сп1м(р) есть касательное полупространство мнвгообразияМ в точке р, обозначая его символом Пм(р). Пусть Š— произвольное подмножество пространства К". Линейной оболочкой множества Е называется множество всех векторов х, каждый из которых может быть представлен как линейная комбинация элементов множества Е. Если М есть к-мерное многообразие в пространстве К" и р Е дМ, то определено множество Пм(р).
Его линейная оболочка есть образ пространства К относительно некоторого невырожденного линейного отображения. А именно, если ар: Р -+ К" есть параметризация многообразия М такая, что р = ар(1), где 1 Е дР, то линейная оболочка Пм(р) есть надпространство бар1(К»). Полагаем Тм(р) = бар1(К») и в этом случае. 3.6. МНОЖЕСТВА ЗАДАВАЕМЫЕ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ ° Теорема З.б. Пусть »1 есть открытое множество и пространст- не К"; и, ~, 1 = 1,2,..., и — к, где 1 < к < и, — вещественные функции класса и ", М вЂ” множество всех точек х б с1, для которых выполняются соотношения Ях) = О, 1 = 1, 2,..., и — к, и(х) < О. Предположим, что в каждой точке х Е М ранг системы функций (Л Л ° ° ° ~~ ») равен и — й, причем если и(х) = О, то в точке х ранг системы фУнкций (11а 11,...,,1„», и) равен и — к + 1. Тогда множество М представляет собой 1с-мерное многообразие класса ав", причем точки, в которых и(х) = О, образуют край многообразия М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
