1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Вводится понятие ориентируемого к-мерного многообразия и устанавливается некоторый критерий ориентируемости многообразий. 5.1. ОпРе еление понятия внешней иаэерен ИАльной ФОРмы НА /с-МЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ 5.1.1. Пусть М есть /с-мерное многообразие класса й", где т > 1, в пространстве К". Предположим, что для всякой точки т Е М в касательном пространстве Тм(т) многообразия М определена кососимметрическая полилинейная функция ы(т) степени т < /с.
В этом случае будем говорить, что на многообразии М з а д а н а внешняя дифференциальная форма ьт(т) степени т. 360 Гл. 75. Интегральное исчисление на многообразиях Возьмем произвольно точку р многообразия М. (Как обычно предполагается, что М принадлежит классу и", где г > 1.) Пусть Тм(т) есть касательное пространство многообразия М в точке р. Предположим, что в Тм(р) задана внешняя форма ы степени т < х, и пусть <р: Р— М есть допустимая параметризация многообразия М такая, что р Е Г = р(Р). Тогда найдется значение 1о Е Р такое, что р = <р(го). Линейная функция йр(1) отображает пространство К на касательное пространство Тм(р) многообразия М.
Для всякой внешней формы ы, определенной на пространстве Тм(р), может быть определена некоторая внешняя форма у(1о)*м, которую мы будем называть представлением формы ы в параметризации сг многообразия М. Форма у(го)*м определяется следующим образом.
Для произвольной системы из т векторов сг, сг,..., с пространства К~ полагаем Р(1а)*ы(6, 6,..., 6„) = 4<~~ргИг ), ЙРгйг ),, йзгг(6„)]. (5.1) В силу предложения 2.10 данное здесь определение формы р(1о)*ьг согласуется с определением операции перенесения внешней формы отображением класса 1в' . ° Лемма 5.7. Пусть М есть й-мерное многообразие класса и ', где г > 1, у: Р— ~ М и ф: Я вЂ” М вЂ” две перекрывагощиеся параметризации многообразия М, д = 4 ~ о у — функция перехода для данных параметрнзаций. Пусть точка р Е М, причем р = у(1) = ф(и), где 1 Е Р, а и Е 9.
Предположим, что в касательном пространстве Тм(р) многообразия задана внешняя форма ы степени т < Й, и пусть у'ы и 4*ьг есть представления этой формы относительно данных параметризаций. Тогда имеет место равенство 0'1ф*ьг) = сг'и. Доказательство.
Пусть выполнены все условия леммы. Положим Г = р(Р) и 6 = фЯ), и пусть Рг — — у '(С), 9г — — ф '(Г). Множества Г и С являются открытыми относительно М. Отсюда следует, что множества Р, и 9г являются открытыми относительно Р и Ч' соответственно. В частности, множества Р и Я являются регулярными, и, значит, для отображения д = 4 г о уг в каждой точке 1 б Р, определены все частные производные и дифференциал отображения д в этой точке. Пусть р есть данная точка на многообразии М, р = у(1) = ф(и). Зададим произвольно векторы сг,~г,...,с в пространстве К~, ти < х. На множестве Рг определена внешняя форма ~г"м, на Яг — форма ф*ы. Имеем з 5.
Внешние дифференциальные формы на многообразиях Зб1 где >1>р означает дифференциал отображения ф в точке и. Согласно предложению 2.10 имеет место равенство 0 (4 озт1, 1г,,6 ) = р и[тз01ст),ООЪ),,акт)]. ДлЯ любых вектоРов (т1т, т1г,..., т1 ) в пРостРанстве К" имеет место равенство >р"и>(т1з>т1г тт ) = от[ФЙт) ~4р(туг)» Йр(т1 )] (5.2) Значения дифференциалов здесь берутся в точке 1. Если векторы с, тт й К~ таковы, что тт = т1ОЯ), то Х = т1тт>„т>т>) = сЦ„[т10т®] = (>Ц~ о 00„И~) = 0(ф о 0)>Я. Из определения О следует, что (ф о 0)(1) = >р(т) для всех г Е Рз. Следовательно, мы получаем, что если тт = >гОЯ), а Х = >г>Р' (т1), то Х = >бр„(с). (Здесь точки 1 е Р, и и е чт таковы, что >р(1) = ф(и), т.
е. и = ф ~[>р(т)] = 0(т).) Полагая в равенстве (5.2) бя = >10т[с>) для каждого т = 1,2,..., ттт, получим, что О (Ф от)Ы1>1г» 6д) = от[>т>рт(11)> ">рИг)» Фт(6и)]. Таким образом, мы получаем, что внешние дифференциальные формы О'ф*и> и >р'от совпадают. Лемма доказана. ° 5.1.2. Пусть М есть произвольное й-мерное многообразие в пространстве К" класса и"", где г ) 1. Предположим, что для всякой точки х Е М в касательном пространстве Тм(х) многообразия М определена кососимметрическая полилинейная функция ь>(х) степени та < Й.
В этом случае будем говорить, что на многообразии М з а д а н а внешняя дифференциальная форма от(х) степени тп. Для всякой допустимой параметризации >р: Р— > М в этом случае в стандартной области Р определена внешняя дифференциальная форма >р*ь>(г) — представление формы а> в данной параметризации. Будем говорить, что форма от принадлежит классу и >, где з < т — 1, если форма >р*о>(т) принадлежит классу ~в'* для любой параметризации р многообразия М.
Пустыр: Р— > М и тр: Я вЂ” М вЂ” две перекрывающиеся параметризации многообразия М, и пусть Г = ~>р(Р), С = тр(Р), Н = Г П б. Определим также множества Рт — — р ~(Н) и Ят — — ф ~(Н). Множество Р, является открытым относительно Р, и точно так же Ят есть 362 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях множество, открытое относительно Я. В этом случае определены диффеоморфизмы 0 = ф ' о у: Р, — ~ Чз и т = у ' о ф: 9з — Р,.
Диффеоморфизмы д и т принадлежат классу и*". При этом т = д ' и д = т Если на многообразии М задана внешняя дифференциальная форма и степени т < к, тогда на стандартных областях Р и Ч' определены внешние формы у*ьз и ф"ьз. Лемма 5.1 позволяет заключить, что имеет место равенство <р*и = д*(ф*м). Параметризации у и ф в формулировку леммы входят равноправным образом. Отсюда следует, что имеет место также и равенство 1З ы=т (ум).
Выражения для коэффициентов внешней дифференциальной формы у*~з через коэффициенты внешней дифференциальной формы ф*ьз содержат производные компонент отображения д. Эти производные принадлежат классу и" 1. Отсюда ясно, что понятие внешней дифференциальной формы класса и'" для з > т — 1 на многообразии М, принадлежащем классу Ж'", не имеет смысла. Это утверждение может быть представлено в виде точного математического п е ложения.
А именно, какова бы ни была внешняя дифференциальная форма ы степени т > 1 на многообразии М, всегда найдется допустимая параметризация у многообразия М, в которой коэффициенты внешней формы у*и есть функции класса и' з и не являются функциями класса и"'. (Мы оставляем данное утверждение без доказательства, поскольку оно в дальнейшем не используется.) 5.1.3. Операции над внешними дифференциальными формами, определенные ранее для случая внешних дифференциальных форм, заданных на открытых подмножествах пространств К", распространяются естественным образом на внешние дифференциальные формы на многообразиях.
Это распространение существенно опирается на следующее предложение. ° Лемма 5.2. Пусть М есть к-мерное многообразие класса ~э:", где т > 1, в пространстве К". Предположим, что для всякой допустимой параметризации у: Р -~ М многообразия М определена внешняя дифференциальная форма ы, класса и"', где з < т — 1, причем выполнено следующее условие.
Для любых двух перекрывающихся параметризаций ~р: Р -+ М и 4: Ц вЂ” М для всех 1 Е Р, для которых определено отображение д = ф з од, имеет место равенство О*и,~Я = ю (1). Тогда на многообразии М может быть определена, и притом единственным способом, внешняя дифференциальная форма ы такая, что для всякой допустимой параметризации у многообразия М выполняется равенство ы„= ф*ьз. З 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях ЗбЗ Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Выберем произвольно точку р Е М.
Пусть у: Р— ~ М есть допустимая параметризация многообразия М такая, что р = ~р(1). Зададим произвольно векторы ХыХг,..., Х,„, принадлежащие касательному пространству Тм(р) многообразия М в точке р. Тогда йр~ есть взаимно однозначное линейное отображение пространства Кь на Тм(р). Пусть векторы 6 Е К~, г = 1,2,..., т, таковы, что йр (6) = Х;. Положим ы(р;ХмХг,...,Х ) = и~(6,~г,...,~ ). Функция ы(р; Хы Хг,...,Х ), определенная таким образом, представляет собой внешнюю дифференциальную форму степени т в пространстве Тм(р) Покажем, что значение этой внешней формы не зависит от выбора параметризации у: Р— ~ М такой, что р Е р(Р). Действительно, пусть ф: Ч вЂ” М есть произвольная другая параметризация многообразия М такая, что р = ф(и), где и Е Я.
Зададим произвольно векторы ХмХг,...,Х в пространстве Тм(р), и пусть векторы 6,п; Е К" таковы, что йр (6) = Иф (бт) = Х, для любого г = 1, 2,..., т. Покажем, что мр(6 6 6 ) =ь~яИ~ чг . ч. ). (5.3) Действительно, при каждом г' = 1, 2,..., ти имеет место равенство ~, = (гф,) '(Х;) = (Ь~,) '[жрД;)] = а(ф ' ~г) (6) = ж (6). Следовательно,мы получаем ь~я,(г~ы ъ,..., ъ,) = ид(йв,(6), йВ,Я),..., ИВД,„)) = = В'ья(6,6,1 ) =ы (6,6,,1 ), и равенство (5.3), таким образом, доказано. Из равенства (5.3) следует, что величина м(р;ХыХг,...,Х ) "не зависит от выбора параметризации ф такой, что р = у(1) для некоторого 1. Точка р Е М была выбрана произвольно. Мы получаем, следовательно, что на многообразии М определена некоторая внешняя дифференциальная форма ы.
Из ее определения непосредственно следует, что для всякой допустимой параметризации у многообразия М справедливо равенство и~ = у*и. Лемма доказана. ° 364 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 5.1.4. Опе а ии на внешними о мами и оизво ятся сле ю им образом, Пусть а и ~3 есть внешние формы, определенные на /с-мерном многообразии М в пространстве К", а ~р: Р— М есть произвольная параметризация данного многообразия.
Тогда на множестве Р определены формы у*а и у*ф. Положим Л~ = у*а Л у*33. Каждой допустимой параметризации ~о многообразия М, таким образом, сопоставлена некоторая внешняя дифференциальная форма Л„, степени, равной Йея а+ Йея ~3, заданная в области определения этой параметризации. Пусть у: Р— М и В~: Я вЂ” М вЂ” две перекрывающиеся параметризации многообразия М. Пусть В = ф 1 о ~р есть функция перехода для данных параметризаций. Имеем у о=В (Ф о) и, аналогично, Р*,3 = В*(Ф",3). Отсюда в силу свойств операции переноса внешней формы дифферен- цируемым отображением следует, что Л~ = у*а Л <р*,в = В*(4*а) Л В'(4*Я = В*(4*а д 4*Д) = В*Л,~. Таким образом, для любых двух перекрывающихся параметризаций у и 4 многообразия М выполняется равенство л, = в*л„, где В = Ф ~ о ~р.
Тем самым в силу леммы 5.2 на многообразии М определена некоторая внешняя дифференциальная форма Л. Будем говорить, что Л есть произведение внешних форм а и ~3, и писать Л = а Л Д. Все свойства операции умножения внешних форм, доказанные ранее для форм, определенных в открытом множестве пространства К", имеют место и в данном случае. Проверка этого, будучи тривиальной по существу, оказывается несколько громоздкой, и мы ее опускаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
