1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Приведем еще определение операции дифференцирования для внешних форм на многообразии. Предположим, что М есть гладкое многообразие класса Ж', где г > 2, и пусть а — внешняя дифференциальная форма степени т < Й на многообразии М и класса Я", где 1 < з < т — 1. Тогда для всякой допустимой параметризации у: Р— М определена форма а~ = у*а. Эта форма принадлежит классу в', 'З 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 365 и так как в > 1, то определен дифференциал да .
Пусть в и ф = две перекрывающиеся допустимые параметризации многообразия М и в = ф ' в ю. Имеем а = О'ая,. В силу свойств дифференциала, доказанных в З 2, отсюда вытекает, что йи„= О*доя,. Лля всякой допустимой параметризации ю, таким образом, определена некоторая дифференциальная форма да~ степени та + 1, причем выполнено условие леммы 5.2: формы, соответствующие разным параметризациям, преобразуются одна в другую согласно правилу, указанному в лемме 5.2. Согласно лемме 5.2 это означает, что на многообразии М определена некоторая форма 9 такая, что у*Д = ду*а для всякой допустимой параметризации ю многообразия М.
Форма Д далее называется дифференциалом внешней фермы о и обозначается символом да. Свойства операции дифференцирования, установленные в з 2 для внешних форм, определенных на подмножествах пространства К", очевидным образом распространяются на рассматриваемый здесь общий случай. 5.2. ПОНЯТИЯ ОРИЕНТА ИИ И ОРИЕНТИРУЕМОГО МНОГООБРАЗИЯ 5.2.1.
Пусть М есть й-мерное многообразие класса в'г, где т > 1 в пространстве К". Предположим, что ю: Р— М и ф: Я вЂ” М— две перекрывающиеся параметризации многообразия М. Пусть Р = = ю(Р) и С = 4Щ). Множества Р и С являются открытыми относительно многообразия М. Пусть Р, = 1а '(г О С) и е)1 — — ф '(г П О). Множества Р1 и Я1 являются открытыми относительно Р и Я соответственно и, следовательно, представляют собой регулярные множества в пространстве К~. Пусть д = ~р 1 о ф и т = 4 ' о ~р, т = д 1. Отображения т и О есть диффеоморфизмы. При этом т отображает множество Р1 на Яы а д отображает Я1 на Рм В каждой точке 1 б Р1 определена величина 1(1,т) — яквбиан отображения т в точке 1. Если и = т(1), то имеет место равенство ,У(1, т),7(и, В) = 1.
Отсюда, в частности, следует, что величины,1(1,т) и д(и, а) имеют один и тот же знак. Параметризации у и ф называются квгерентаными, если якобиан функции т = ф в ~р имеет один и тот же знак во всех точках, где он определен, т. е. для всех ~ Е Рз. В этом случае в силу равенства д(1, т)3(и, В) = 1, где д = т ', также и якобиан функции д имеет один и тот же знак во всех точках множества Я1.
Предположим, что перекрывающиеся параметризации ю: Р. — М и ф: Я вЂ” ~ М когерентны. Тогда мы будем говорить, что они одинаково ориентированы или, иначе, имеют одну и ту эке ориентацию, Гл. 15, Интегральное исчисление на многообразиях 366 5.2.2. П ив ем некото ый к ите ий о центу емости многооб азия. Сначала проделаем некоторые предварительные построения.
Введем здесь некоторые понятия, связанные с й-реперами, т. е. упорядоченными системами из й векторов пространства К". Пусть Р есть й-мерное подпространство К" и Х = (Хз) Хз,..., Хь), Ъ' = (Уы Уз,..., Уь) — два невырожденных репера в плоскости Р. Тогда векторы У; могут быть представлены как линейные комбинации векторов Х, т. е. имеют место равенства ь У;=~~~ а; Х., з=1,2,...,й. (5.4) Пусть А есть матрица (а; );, з з ь. Тогда равенства (5.4) сокращенно записываются в вице Ъ' = АХ. Будем говорить, что реперы х' и Х ориентированы одинаково, если де1 А > О.
Если определитель матрицы А отрицателен, то говорят, что данные й-реперы ориентированы противоположно. Пусть Х, х и Е есть невырожденные й-реперы в й-мерном подпространстве Р. Тогда Е = Вх' и х' = АХ и, значит, Е = ВАХ. Имеем с1е1 ВА = сне~ Адей В. Предположим, что й-реперы Х и х' ориентированы противоположно, т. е. с1е1 А < О. Отсюда следует, что если де1В > О, т. е. й-репер Е ориентирован одинаково с й-репером У, то он ориентирован противоположно реперу Х. Если же с1е$ В < О, тогда й-репер Е ориентирован одинаково с й-репером Х.
если якобиан отображения т = ф ' в ~в всюду положителен. Если же якобиан отображения т всюду отрицателен, то будем говорить, что параметризации ~р и ф ориентированы противоположно. Будем говорить, что й-мерное многообразие М ориентируемо, если любые две его параметризации когерентны и множество всех параметризаций многообразия М можно разбить на два класса так, что любые две перекрывающиеся параметризации, принадлежащие о д н о м у классу, ориентированы одинаково, а параметризации, принадлежащие р а з н ы м классам, ориентированы противоположно. Говорят, что з а д а н а определенная ориентация многообразия или, иначе, что многообразие ориентировано, если все параметризации одного класса названы правыми, а параметризациям другого класса присвоено наименование левых параметризаций. З 5.
Внешние дифференци льные формы на многообразиях 367 о нозначно оп е елена некото ая о иентация касательного п ост ан- ства Т х многооб азия М в этой точке. Пусть у: Р— М есть произвольная параметризация многообразия М и Г = ~р(Р). Пусть х = у(1) и р; = — (1), 1 = 1,2,...,к. Векд~~ торы р; линейно независимы и принадлежат Й-мерному подпространству Тм(х) пространства К". В плоскости Тм(хо), таким образом, определен некоторый к-репер р = (рырю...,рь). Будем говорить, что р есть координатный репер параметризации у в точке х й М. Условимся считать, что й-репер р является правым или, иначе, положительно ориентированным, если параметризация у многообразия М правая.
Если же параметризация у левая, то к-репер р будем считать левым (вгприцательно ориентаированным) Й-репером в плоскости Тм(х). Пусть ьв: Р— М и ф: Ц вЂ” М вЂ” две перекрывающиеся параметризации многообразия М. Пусть х = у(1о) = ф(ио). Положим дф д; = — (ио), г = 1, 2,..., х. Тем самым в точке х определен координатди; ный репер с1 = (ды дз,..., дь) параметризации ф. Параметризации у и ф перекрывающиеся.
Пусть д = ф ~ о у есть функция перехода для параметризаций у и ф. Тогда р(1) = ф[й(г)] в некоторой окрестности точки ~о й Р. Дифференцируя обе части равенства ~р(г) = ф[0(г)] по 1; и полагая 1 = ~о, мы получим, что при каждом з = 1, 2,..., /с выполняется равенство ддз д' д (~о). 1=1 (5.5) Множество всех невырожденных к-реперов, лежащих в плоскости Р, таким образом, распадается на два класса. При этом реперы одного класса ориентированы одинаково с Х, а реперы другого класса ориентированы одинаково с Ъ'.
Легко проверяется, что два репера, принадлежащие одному классу, ориентированы одинаково, а реперы, принадлежащие разным классам, ориентированы противоположно. Говорят, что задана определенная ориентация к-мерного подпространства Р, если некоторый невырожденный к-репер Х, лежащий в этой плоскости, назван правым. В этом случае всякий 1с-репер, ориентированный одинаково с Х, также называется правым. Реперы, ориентированные противоположно Х, называются левыми. Пусть М есть к-мерное ориентируемое многообразие класса е", г > 1, в пространстве К".
В каждой точке х Е М определено подпространство Тм(х). Предположим, что задана ориентация многообразия М. Покажем что в этом сл чае для всякой точки х Е М может быть Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 368 /дВ, Пусть Р есть матрица ~ — '(1о)~ . Тогда равенства (5.5) /,1=цг,".,а (5.6) е(х)(пы пг,..., па) = 1. Этим условием дифференциальная форма е(х) на многообразии М опре- делена однозначно. Действительно, пусть Х = (Хы Хг,..., Ха) — про- извольный Й-репер в плоскости Тм(х).
Тогда имеем Х = Ап и, значит, как вытекает из леммы 1А в з 1, имеет место равенство е(х; Хм Хг,...,Ха) = е1е1 А. Если репер (Хы Хг,..., Хь) является правым ортонормальным репером, то матрица А является ортогональной и определитель ее равен единице. Следовательно, мы получаем, что для всякого правого ортонормального репера ч = (чычг,...,чь) в плоскости Тм(х) имеет место равенство е(х;ч.,чг,...,чь) = 1. Внешнюю дифференциальную форму е(х) на многообразии М будем называть единичной дифференциальной формой степени Й на многообразии М. Пусть у: Р— М есть произвольная параметризация многообразия М. Найдем выражение для формы у*с(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
