1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Пусть 6у: доР— Г есть соответствующая параметризация края многообразия М. Имеем Бу(1з,...,1ь) = у(оы 1з,..., 1ь). Для внешней дифференциальной формы О(х) на многообразии Г имеем 374 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Коэффициент д(г) при этом определяется из равенства р(1) = 1б~р)*д(г;ез,...,еь) = = й(Г; —,...,— ) =е(р(Г),пЬ (6,— (1),",— (Г)). дбу дйр ду ду ' дгз ' ' дгь ' ' дгг ' дгь Отсюда следует, что функция 1з(1) непрерывна.
Тем самым установлено, что внешняя форма д на многообразии М непрерывна в окрестности любой точки х Е Г. Таким образом, мы получаем, что для многообразия Г выполняется критерий ориентируемости дифференцируемоео мноеообразия, установленный теоремой 5.1, и, следовательно, многообразие Г = дМ ориентируемо. Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Пусть М есть ориентированное к-мерное многообразие с краем, е(х) — единичная форма степени к на этом многообразии. При доказательстве теоремы 5.2 установлено, что внешняя дифференциальная форма о(х) на многообразии дМ, определенная равенством о(х; Хм..., Хь 1) = е(х; п(х), Хм..., Хь 1), непрерывна и всюду отлична от нуля. Она задает некоторую ориентацию многообразия дМ, о которой мы будем говорить, что она индуцирована ориентацией многообразия М.
Пусть векторы пз,..., пь в плоскости Тзм(х) образуют ортонормальный репер. Тогда векторы п(х), пз,..., пь также образуют некоторый ортонормальный репер. Если этот репер является правым, то о(х; пз,...,пь) = е(х; и, пз,...,пь) = 1. Таким образом, форма 0(х) определяет на многообразии дМ ориентацию, в которой ортонормальный репер (пз,...,пь) является правым на многообразии М в том и только в том случае, если (п,пз,...,пь'1 есть правый репер в касательном пространстве Тщ(х) многообразия М. Форма д, как следует из сказанного, является единичной формой степени й — 1 = д1шдМ на многообразии дМ. В заключение с елаем замечание кото ое попа обится нам клее. Пусть хо — краевая точка 1с-мерного многообразия М, у: Р— М есть параметризация этого многообразия такая, что хо Е р(Р).
Тогда Р есть к-мерный полуинтервал Р = (а1,51) х (аз,бз) х . х (ам бе). В этом случае, как показано в п. 3.3.1, определена параметризация б~о: доР -+ дМ края многообразия М. Мы будем говорить, что б~р есть параметризация края, порожденная параметризацией у окрестности краевой точки многообразия М.
Покажем, что если многообразие М ориентируемо и задана определенная его ориентация, край многообразия М наделен индуцированной ориентацией, то параметризация бу окрестности точки хо в множестве з 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 375 аМ будет одноименной с параметризацией у, т.
е. если у есть правая параметризация М, то Бу есть правая параметризация аМ. Точно так же если у — левая параметризация аМ, то Бу есть левая параметризация аМ. Пействительно, пусть Р = (аыЬз] х (аз,Ьз) х .. х (аь,Ьь). Тогда Ьр(1з, .,1ь) = у(Ьз,1з,...,1ь) Пусть еэм есть единичная форма (й — 1)-мерного многообразия аМ. Чтобы выяснить, является параметризация Бу левой или правой, следует найти знак выражения: (5.10) Заметим, что, по построению, имеет место равенство п(т) = о(1)и(и) = а(1) ~ — — Лз — — — Ль — ~ .
~ау ду ар1 ~а, а, а1,Д' Множитель о(1) здесь положителен. Мы получаем, что выражение (5.10) имеет тот же знак, что и величина 7 ар о~ ар ар арЛ ем 11 — — Лз — — — Ль —,—,...,— ( . 1,а1, а~, "' а,'а1,'"'а1ь) Функция ем линейна по каждому из своих аргументов. Кососимметрическая функция обращается в нуль, если какие-либо два ее аргумента равны между собой. Преобразуя последнее выражение в соответствии с этими свойствами функции ем, получим Так как а(г) положительно, то еэм и ем имеют один и тот же знак. Это позволяет заключить, что если у есть правая параметризация М, то Бу есть правая параметризация аМ, а если у — левая параметризация, то и Йр является левой параметризацией.
5.4. ПРИМЕР НЕОРИЕНТИРУЕМОГО МНОГООБРАЗИЯ Сначала приведем некоторые построения наглядного характера. В пространстве Из построим некоторую поверхность. Рассмотрим в Кз ленту в виде плоского прямоугольника АВА'В' (см. рис. 1). При этом будем предполагать, что сторона АА' значительно длиннее стороны АВ. 376 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях В' В' В =А' Рис. 1 Данную ленту сначала изогнем в виде кольца, а затем склеим по отрезкам АВ и А'В', перевернув отрезок АВ так, чтобы точка А при этом совместилась с точкой В', а точка В с точкой А'.
Для этого, очевидно, придется ленту перекрутить, как это показано на рис. 1. Склеивание может быть осуществлено так, что в результате получится гладкое многообразие. Это многообразие называется листом Мебиуса. Неориентируемость построенного многообразия мы установим с помощью критерия ориситирусмости, который дается теоремой 5.2. Покажем как описать п уведенное выше геомет ическое пост ое- ние меби сова листа аналитическими с е ствами, В плоскости жз — — О зададим окружность е~~ + т~ ~—— 1. Пусть г(и) = (соз и,зго и,О), О < и < 2к, есть параметризация этой окружности.
Обозначим через 1 ось кз —— О, ез — — О системы координат в пространстве К . Пусть з Р„есть плоскость, проходящая через прямую 1 и точку г(и). В плоскости Р„зададим прямолинейный отрезок с концами в точках 6и) и О(и) З 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 377 такой, что длина его [тт(и) — Яи)[ = 26 = сопвв < 2 и серединой отрезка Яи) + ту(и) является точка я(и), т. е.
з(и) = 2 Предположим, что когда и монотонно изменяется в пределах от 0 до 2тт, отрезок [Яи)т1(и)] с постоянной скоростью вращается в плоскости Р„. Это означает, что угол, образуемый вектором т1(и) — в(и) с вектором в(и), равен Ли, где Л постоянная. Имеем тт(и) — я(и) = (Ь сов Ли)я(и) + (Ь яш Ли)ез —— = (Ь сов Ли сов и, Ь соя Ли в1п и, Ь в1п Ли).
Произвольная точка отрезка [Яи)О(и)] может быть представлена следующим образом: ж(1,и) = я(и) + т[т1(и) — з(и)] = = ([1+ 1 сов Ли] сов и, [1+ т соя Ли] яш и, 1 яш Ли), (5.11) где — Ь < 1 < Ь. Когда параметр г монотонно меняется в пределах от 0 до 2к, отрезок фи)т1(и)] зачерчивает в пространстве Ез двумерную поверхность, которая, как мы покажем, является двумерным многообразием класса Ж 0". Если Л = О, то мы будем иметь Я2тт) = ЯО), а тт(2л) = т1(0).
В этом случае рассматриваемая поверхность представляет собой круговое кольцо в плоскости хз = О, ограниченное двумя окружностями, радиусы которых равны 1 — 6 и 1 + Ь. Это кольцо, очевидно, представляет собой ориентируемое дифференцируемое двумерное многообразие. 1 Рассмотрим случай, когда Л = —. Получим, что тт(2к) = ЯО), а Я2к) = тт(0).
В этом случае один из концов полосы, зачерчиваемой отрезком фи)О(и)] при обходе окружности, поворачивается на 180'. Обозначим через 7, множество, которое зачерчивается отрезком [Яи)т1(и)], когда и пробегает промежуток [0,2тт]. Отметим, что при данном выборе Л имеет место равенство х(1, и+ 2тг) = л( — 1, и). Покажем сначала что множество Х является дв ме ным много- дну~~,с р е~ д бщ .И, р~- ливо следующее утверждение. я Предложение 5.1. Пусть даны метрические пространства М и Ьт н компактное множество А в пространстве М.
Тогда если непрерывное отображение ~: А — Ьт взаимно однозначно, то обратное отображение 7 т непрерывно. 378 Гл. Л. Интегральное исчисление на многообразиях Действительно, пусть множество А С М компактно и У: А — Ф есть непрерывное взаимно однозначное отображение. Положим В = = ДА), и пусть д = У з. Зададим произвольно замкнутое множество Е в пространстве М. Так как д(В) = А, то д 1(Е) = д ~(Е П А) = ((Е П А). Множество Е П А компактно, и, значит, множество ЯЕ П А) = = д ~(Е) компактно и потому замкнуто. Таким образом, полный прообраз любого замкнутого множества пространства М относительно отображения д является замкнутым множеством.
Отсюда следует, что д непрерывно (см. главу 9, следствие теоремы 1.18). Предложение доказано. Ф Рассмотрим произвольный промежуток (а,д) С К такой, что д — а < 2я. Полуоткрытый прямоугольник Р = ( — Ь,Ь] х (а,д) содержится в замкнутом прямоугольнике Р = [ — Ь, Ь] х [а, д]. Отображение х: (1, и) Е Р ~ х(1, и) взаимно однозначно и непрерывно. Так как множество Р компактно, то в силу предложения 5.1 обратное отображение непрерывно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
