1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Степень этой формы равна Й,и, следовательно, ее каноническое представление имеет вид сокращенно могут быть записаны следующим образом: р = Рц. Определитель матрицы Р, очевидно, равен якобиану отображения  — функции перехода для данных параметризаций. Если параметризации аг и ф ориентированы одинаково, то 1(1,В) = де$Р > О, и, значит, в этом случае также и Й-реперы р и с1 ориентированы одинаково. Если же 1(г,В) = деФР ( О, то параметризации у и Ф ориентированы противоположно.
В этом случае Й-реперы р и е1 ориентированы противоположно. Пусть М есть Й-мерное многообразие класса У", т > 1, в пространстве К". Предположим, что многообразие М ориентируемо и задана определенная его ориентация. Символом е(х) будем обозначать внешнюю дифференциальную форму степени Й, определенную на многообразии М следующим условием. Пусть п = (пыпг,..., па) есть положительно ориентированный ортонормальный Й-репер в пространстве Тм(х). Тогда выполняется равенство 'З 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях Требуется найти функцию р(С). Имеем Збд где р; = Ну(С;ес) = — (С). Пусть и = (мы из,...,пь) есть правый ду дСС ортонормальный репер в плоскости Тщ(х), где х = р(С). Тогда имеем ь р; = ,'> Лс п~.
Отсюда получаем (5.7) Пусть Л = (Лб); ья ь. Тогда имеем р = Лп и, значит, д(С) = = е(х,рмрз,...,рь) = оеСЛ. Пля вектор-функции Со определена матрица 0„(С) = (д;.(С)); — с з ы где д; (С) = — (С), — (С) !ВС Равенство (5.7) в матричной форме может быть записано следующим образом: где х означает операцию транспонирования матрицы. В результате получаем д„,(С) = йеС С, (С) = сСеС Л йеС Л* = (деС Л) . Отсюда /р(С)/ = ~/д(С). Имеем сСеС Л > О, если параметризация ~р правая, и деС Л ( О, если параметризация ~р левая. Окончательно получаем Со*с(С) = н(р) (д,,(С)ЫбС ...бС (5.8) где и(Со) = 1, если у есть правая параметризация, и и(у) = — 1, если эта параметризация левая.
Из доказанного, в частности, следует,что внешняя форма е(х) принадлежит классу У" ° Теорема б. Х (критерий ориентируемости дифференцируемого многообразия). Пусть М есть Сс-мерное многообразие класса Ъ", где г > 1. Для того чтобы многообразие М было ориентнруемо, необходимо и достаточно, чтобы на многообразии М сугцествовала внешняя дифференциальная форма ы(х) степени, равной размерности Й многообразия М, принадлежагцая классу ~й" ~ и такая, что во всякой точке х Е М внешняя дифференциальная форма м(х) отлична от нуля. 370 Гл. 15.
Интегральное исчисление на многообразиях Доказательство. Установим н е о б х о д и м о с т ь условия теоремы. Предположим, что многообразие М ориентируемо и задана определенная его ориентация. Тогда внешняя форма в(х) — единичная внешняя форма степени х на многообразии М, соответствующая данной ориентации — непрерывна и отлична от нуля во всех точках многообразия. Форма и(х) = в(х) удовлетворяет всем требуемым условиям, и тем самым необходимость условия теоремы установлена. Докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия.
Предположим, что на х-мерном многообразии М может быть определена внешняя дифференциальная форма м степени Й, принадлежащая классу и', где г > 1, и такая, что в каждой точке х Е М внешняя дифференциальная форма м отлична от нуля. Пусть у: Р— ~ М есть произвольная допустимая параметризация многообразия М.
Тогда в х-мерном прямоугольнике Р определена внешняя дифференциальная форма у'м. Степень этой внешней формы равна Й, и, значит, она имеет вид Л(г)й'дгз...дг~. Коэффициент Л представляет собой непрерывную функцию. При этом Л(1) ~ 0 для всех 1 Е Р. Отсюда вытекает, что величина Л(1) имеет один и тот же знак во всех точках прямоугольника Р. Будем считать параметризацию у п р а в о й, если Л(г) > 0 для всех ~ Е Р, и л е в о й в случае, если Л(г) ( 0 для всех 1 Е Р. Предоставляем читателю проверку того, что любые две перекрывающиеся параметризации многообразия когерентны. При этом якобиан функции перехода от одной параметризации к другой положителен, если эти параметризации являются одноименными, т.
е. если они либо обе правые, либо обе левые. Если же одна из двух перекрывающихся параметризаций правая, а другая левая, то якобиан функции перехода отрицателен. Таким образом, достаточность условия теоремы установлена. Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Предположим, что на х-мерном многообразии М задана непрерывная внешняя форма а(х), отличная от нуля во всех точках М. Тогда внешняя форма м, как показано при доказательстве теоремы 5.1, позволяет указать некоторую конкретную ориентацию многообразия. А именно, ориентацию, в которой параметризация р является правой, если коэффициент Л в представлении формы <р'м(1) = Лфй'а1з...а1" всюду положителен.
Если же этот коэффициент всюду отрицателен, то параметризация у является левой. Будем говорить, что данная ориентация определяется внешней дифференциальной формой м. 'з б. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 371 5.3. ИН У ИРОВАННАЯ ОРИЕНТА ИЯ КРАЯ МНОГООБРАЗИЯ 5.3.1. Если многообразие с краем в пространстве К" ориентируемо, то и его край, как будет показано здесь, также является ориентируемым многообразием. При этом если задана некоторая ориентация многообразия, то по ней может быть однозначно определена ориентация края многообразия. П е ва ительно п о елаем вспомогательные асс ж ения Зададим в пространстве Е" й-мерное многообразие М, к > 2, принадлежащее классу в'", г > 1.
Предположим, что край дМ многообразия М не является пустым множеством. Тогда согласно теореме 3.2 множество дМ является (к — 1)-мерным многообразием класса и'". При этом дМ не имеет краевых точек. В каждой точке х Е дМ определена контингенция СпФм(р) многообразия М.
Она, как показано в з3, представляет собой некоторое й-мерное полупространство. Касательное пространство Твм(х) многообразия дМ есть (к — 1)-мерное пространство, содержащееся в множестве Сп1м(р) и являющееся краем этого множества. Пусть п(х) есть единичный вектор, лежащий в касательном пространстве Тм(х) многообразия М в точке х, не принадлежащий множеству Спгм(х) и ортогональный плоскости Твм(х), т. е. такой, что для всякого вектора Х Е Твм(х) имеет место равенство (п(х), Х) = О. Вектор п(х) будем называть вектором внешней нормали края мнвев- образин М в точке х.
° Лемма 5.4. Пусть М есть многообразие с краем, и для х б дМ пусть п(х) есть вектор внешней нормали в точке х б дМ. Вектор- функция п(х) непрерывна на множестве дМ. Доказательство. Возьмем произвольно точку хв Е дМ. Пусть <р: Р— М есть параметризация многообразия М такая, что х б Г = = р(Р). Множество Г является открытым относительно М, и, значит, дГ = Г П дМ есть множество, открытое относительно дМ. Как показано в З 3, в рассматриваемом случае стандартная й-мерная область Р является й-мерным полуинтервалом, Р = (амЬ|] х (аз, Ьз) х х (а„,Ь„).
Лемма будет доказана, если мы установим, что ограничение функции и на множестве дГ непрерывно. Если х Е дГ, то х = 1в(1), ду где 1 = (Ь|,1з,...,1ь). Векторы — (1), где 1 = 2,...,к, принадлежат касательному пространству Твм(х) многообразия дМ. Всякий дф вектор Х с ТЭМ(х) является линейной комбинацией векторов — (Г), д1; 1 = 2,..., й. Сначала построим вектор п(х), полагая др др др п(х) = — Лз — — Ль †. д11 д1з д1 ь 372 Гл. 15. Интегр льное исчисление на многообразиях Коэффициенты Лз,...,Ль определим из условия: вектор и(х) орар тогонален каждому из векторов — (1), где ~ = 2,...,й. Это приводит к следующей системе линейных уравнений для коэффициентов Л;: (5.9) дз;(1) = Лздз;(1)+ ° ° ° + ЛьдьЯ, ю' = 2,...,Й.
Здесь мы используем обозначения, введенные в З 3: о а Квадратичная форма является положительно определенной. Отсюда вытекает, что частич- ная квадратичная форма также положительно определенная. Это позволяет заключить, что определитель системы уравнений (5.9) отличен от нуля. Решая систему уравнений (5.9), мы получим, что коэффициенты дно Лз(М),..., Ль(1) выражаются через компоненты векторов — (Х) посредством некоторых рациональных функций. Отсюда вытекает их непрерывность, а следовательно, и непрерывность вектор-функции н(х) на множестве дГ. др В каждой точке 1 Е дР вектор — не принадлежит полуплоскод1з сти Пм(х).
Отсюда следует, что вектор и(х) также не принадлежит Пм(х). Величина 1(х) = ~и(х)~ является функцией, определенной и непрерывной на множестве дГ. Имеем, очевидно, равенство 1 п(х) = — ц(х) 1(х) для всех х Е дГ. з 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 373 Из доказанного следует, что всякая точка х Е дМ имеет в множестве М окрестность такую, что ограничение функции и на этой окрестности непрерывно. Тем самым установлено, что вектор-функция и непрерывна на множестве дМ. Лемма доказана. ° 5.3.2. Основным ез льтатом этого аз ела является сле ю ая тео- ема об о центу емости к ая многооб азия. ° Теорема 5.2 (об ориентируемости края многообразия). Пусть М вЂ” ориентируемое многообразие класса и', г > 1, в пространстве Е", причем его размерность й > 2.
Тогда если край многообразия М не пуст, то он представляет собой ориентируемое многообразие размерности й — 1. Доказательство. Пусть М есть ориентируемое многообразие класса и ', где г > 1, и пусть Г = дМ есть край данного многообразия. Как показано в ~ 3, множество Г является (/с — 1)-мерным многообразием класса и '. Пусть е(х) есть единичная внешняя дифференциальная форма степени й на многообразии М. Возьмем произвольно точку х Е Г. В точке х определен вектор внешней нормали п(х) края многообразия. Определим на многообразии Г внешнюю дифференциальную форму д степени и — 1, полагая для произвольных касательных векторов Хм...,Хь 1 многообразия Г значение этой формы в точке х равным величине е(х; п(х),Хм..., Хь з).
Покажем что пост осиная внешняя ди е енциальная о ма д п ина лежит класс в' ~ и отлична от н ля в каж ой точке х Е Г. Действительно, пусть цз,..., ць есть ортонормальная система векторов в плоскости Тг(х) такая, что 1п(х), цз,..., ць) есть правый ортонормальный репер в пространстве Тм(х). Тогда д(цз,...,пь) = е(х;п(х),пз,...,пь) = 1. Пусть ~р: Р— М есть параметризадия многообразия М такая, что точка х Е Г принадлежит множеству Р = р(Р). Предположим, что Р есть прямоугольник Р = (ам 61] х (аз,бз) х ° х (аь,бь). Тогда х = у(г), где х Е дР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
