1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Покажем, каким образом может быть определена й-мерная мера для произвольного множества Е С 6 с помощью параметризации ~р. Для произвольного 1 Е У положим З 4. ПлоШадь И-мерного многообразия 347 Как следует из доказанного в З 1 этой главы, последний определитель равен квадрату абсолютной величины Й-мерного поливектора с в (~), — (1), ", — (1) . дф дзз д~в д~~ ' д~з ' ' дгь Справедливо следующее утверждение. ° Лемма 4.1. Для всякой функции 7: 6 -+ К, интегрируемой относительно Ь-мерной меры рь в плоскости Я, выполняется равенство 1 у(вФ~(в= / уы(1зйюл. и '(о) Доказательство. Действительно, пусть ф: К" — Я есть какая- либо аффинная ортогональная параметризация плоскости 5.
Положим $~ = ф ~(С). Множество Ъ" открытое, и функция Ф*1[г) = 1[Ф(г)] интегрируема по множеству г'. При этом в соответствии с данными ранее определениями будем иметь ф" Ди) Ии = Дх) Йрь(х). Отображение 0 = ф ' о~р является диффеоморфизмом и отображает У на У'. При этом имеет место равенство Ду(1)] = ф*1[й(1)]. Отсюда в силу формулы замены переменных в кратном интеграле, доказанной в главе 3, следует, что ф 1[и)аи = ф Я[й1г)]]Л1х,о)]61 = 1[~р(~)]Щх,й)]<И. Лемма будет доказана, если мы покажем, что ]з(х,й)] = ~/дЯ.
Заметим, что имеет место равенство ~р(1) = ф[д(г)]. Отсюда согласно правилу дифференцирования суперпозиции вытекает, что ду дф дй; д1; . ди, д1. 1=1 348 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях дф Таким образом, мы получили, что векторы — являются линейд1; дФ ными комбинациями векторов — и матрица коэффициентов в этой ди линейной комбинации является транспвнирвванной матрицей Якоби отображения д. Определитель этой матрицы равен д(1,0). дФ Векторы — образуют ортонормальный х-репер, и, значит, велиди. чина ~У(1, д)~ равна абсолютной величине Й-мерного поливектора с в (1), — (~),.", — (1), ду ду ду дгг дгг дгь которая равна ~/д(1). Лемма доказана.
° 4.2. Опгкдклкник пло Аду й-мкгного многооБРАзиЯ 4.2.1. Для всякого й-мерного многообразия класса М'~, г > 1, в пространстве К" может быть определена некоторая вполне аддитивная функция множества 1зь, которую мы будем называть Й-мерной площадью или, иначе, поверхностной мерой на многообразии М. Пусть М есть й-мерное многообразие класса и'", где г > 1, и ~р: Р— М вЂ” допустимая параметризация многообразия М. Пусть г" = р(Р). Множество г" является открытым относительно М.
Для др всякого 1 = (1м1г,..., 1ь) Е Р определены векторы — (1). По аналогии в с тем, как это было выполнено в п. 4.1, определим квадратную й х кматрицу (4.1) где д1 д1. Матрица С„(г) симметрическая. Покажем, что она является положительно определенной. Пусть С = ®, Сг,..., Сь) и г1 = (з1г, пг,..., г1ь) — произвольные векторы в пространстве К~ Дифференциал йр~ отображения р в точке 1 взаимно однозначно отображает пространство К~ на касательное про'странство Тм(р) многообразия М в точке р = ~р(1). Пусть Х = ду~(~) и У = с~~р„(г1). Векторы Х и У принадлежат й-мерной плоскости Тм(р). Имеем ь ь Х = )' ~~ (1)6 1' =',> ~р(~)л'. ю=з 1 з 4.
Площадь И-мерного многообразия 349 Отсюда получаем следующее выражение для скалярного произведения векторов Х н У: (Х У) — ~~» ~,» (г) (1) ~,Π— ~ ~ ~д, (1)~,~ В частности, получаем, что для всякого вектора Х = Щ(с), где (11 Ф 1г,, Ь) Е К, имеем ~Х~г = ~~ ~ 'д;;(~)Ы; > О. Знак равенства здесь имеет место в том и только в том случаем, если Х = О н, значит, также с = О. Следовательно, мы получаем, что квадратичная форма (4.2) является полоз»еигпельно определенной.
Квадратичная форма (4.2) в дифференциальной геометрии называется линейным элел»енп»ол» л»ногообраэия М и обозначается символом йзг =',» ",) д;,(~)й1;а,. Палее используется обозначение д„(е) = пей С (»). В силу положительной определенности квадратичной формы озг имеем д (г) > О для всякого $ Е Р. ° Лемма 4.2.
Пусть М есть»е-мерное многообразие класса Ж" в пространстве»а", и»: Р -+ М и ф: ч' -» М вЂ” две перекрывающиеся допустимые параметризацни многообразия М, Л = »р(Р) н Я = фЩ). Предположим, что матричные функции С, (») и Сй(и) определены равенствами вида (4.1), т. е. С (И) = (д1(~)) 1=цг,...,Ь СЕ(и) = (61(и)) з=цг,,Ь где д; (») = ~ — (»), — (»)), й; (и) = ~ — (»), — (») ! ар ар ~ /аф Оф ~д$; д1; ) ' ' ~д1г 'д~1 350 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Пусть д, (1) = с1е$6„,(1), да(и) = с1е$6,~(и), Рт — — у ~(Л О Я), а Щ = = т/т т(ЛйЯ).
Обозначим через 0 отображением тор; Р, — Ят. Пусть 1(1,0) есть якобиан отображения 0 в точке 1 Е Рт. Тогда для всех1 Е Рт выполняется равенство д,(~) = д„[В(~)][~(~,0)]'. (4.3) Х = йрт® = Ц„[ВВт®~ = ЫФ„®. Аналогично, для вектора и имеем У = Ф й) = ~Ф.й). Отсюда получаем, что скалярное произведение векторов Х и У равно (6е(и)~т, т)) = (6„,(1)~, т)). Пусть А(~) есть матрица линейного отображения НВ„. Тогда С = = А(1)с и т) = А(т)ц, и мы получаем, что для любых векторов с, тт Е К~ имеет место равенство (6е(и)А(~)~, А(1)п) = (6„(~)~, ц).
Применяя равенство (и, Ни) = (Н*и,и), верное для любых векторов и,и Е К и всякой квадратной матрицы Н порядка Й, находим, что (6 ~(и)А(1)с, АЯт~) = (А(1)*6 ~(и)А(и)с, ц). Таким образом, для любых векторов С, ц Е К" имеем равенство (А(1)" 6е(и)А®~, ц) = (6„(~)~, 0). Отсюда следует, что Доказательство. Множество Рт является открытым относительно Р, а Ят есть множество, открытое относительно 9. Отображение В = 4 т о <р есть диффеоморфизм.
Оно отображает Рт на Чт. Пусть 1 есть произвольная точка множества Рт и и = 0(1) Е Ят. Зададим произвольно векторы с, ц Е К~. Пусть с = 60тЯ и й = Ыдт(т~). Имеем у(1) = ттт[0(~)]. В силу правила дифференцирования суперпозиции имеем 351 Э 4. Площадь И-мерного многообразия и, значит, у1еС су, (С) = [ ЙеС А(С)[~ сСеС С„р(и), где и = д(С). Так как, очевидно, у1еС А(С) =,У(С, д), то тем самым лемма доказана. ° Следствие. Предположим, что на И-мерном многообразии М класса е:", где т ) 1, задана веуцественная функция у'.
Пусть чд: Р— д М и дуу: Я вЂ” д М вЂ” две перекрывающиеся параметризации многообразия М, П = ур(Р), 5 = фЯ). Предположим, что множество Е д С уь й о' таково, что множество В = ф ~(Е) измеримо. Полах~им урЩ = у[<р(С)]з/д(С), и, аналогично, пусть фДи) = Яф(и)] /дДи). Тогда если функция фу(и) интегрируема по множеству В = ф (Е), -1 то функция др(С) интегрируема по множеству А = др д(Е). При этом имеет место равенство Доказательство. Применяя правило замены переменной в кратном интеграле, получим Согласно лемме 4.2 для всех С Е Р1 имеет место равенство д (С) = = дО[д(С)][1(С, д)]~. Принимая во внимание это равенство, получаем ду|д(дящ,д)3 = у~д~вщ~ /дд[врддд,ду = у!дя уд (д). Отсюда следует, что |додд = /уи зууюмд .
Следствие доказано. я 4.2.2. Оп елим понятия изме имей и интег и емой нк ии на й-ме ном многооб азии М в п ест анстве К". Напомним, что замыканием мноэусесгпва Е в метрическом пространстве (Х, р) называется множество .Е, которое является пересечением Гл.
Ж Интегральное исчисление на многообразиях 352 Дя) й~иь(х) = уД1) ол. (4.4) Если 4~: Я М вЂ” произвольная другая параметризация многообразия М такая, что Е С 4>(Я), то согласно лемме 4.2 в этом случае всех замкнутых множеств, содержащих множество Е. Всякое множество метрического пространства (Х, р) содержится в некотором замкнутом множестве (например, множество Х замкнуто и содержит в себе любое множество данного пространства).
Пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть замкнутое множество, и, значит, множество Е является замкнутым. Зададим произвольно )е-мерное многообразие класса и"', где г > 1 в пространстве К". Множество М как надпространство К" само является метрическим пространством. Функция )' М -+ К называется измеримой на многообразии М, если для любой допустимой параметризации у: Р— ~ М многообразия М функция у*У = ( о у является измеримой на множестве К~.
Множество Е С М называется измеримым, если для всякой допустимой параметризации у: Р— М многообразия М множество ~р '(Е) является измеримым в пространстве К~. Множество Е С М будем называть ограниченным множеством, если его замыкание Е в многообразии М является компактным множеством. Функция )' называется локально интаеерируемой ио мноеообразие М, если для всякой допустимой параметризации у: Р— М многообразия М и любого ограниченного измеримого множества А С Н = = р(Р) функция у~(~) = у"Д1)~„(д ф интегрируема по множеству А* = ~р '(А). Будем говорить, что множество Е на многообразии М мало, если существует локальная параметризация у: Р— М многообразия М такая, что Е С Г = ~р(Р).
Пусть |: М -+ К есть функция, которая определена на многообразии М и является измеримой. Предположим, что измеримое множество Е С М является малым. По определению, это означает, что существуют локальнал параметризация ~р: Р -+ М многообразия М такая, что Е С Г = ~р(Р). Будем говорить, что функция ~ интегрируема по множеству Е, если функция Д$) = ~[~р(1)[;/д„ф интегрируема по множеству у ' (Е). В этом случае полагаем 353 з 4. Площадь й-мерного многообразия функция 4~ интегрируема по множеству 4> з?Е), причем имеет место равенство ч 1(е) Ф '(Е) Мы получаем, таким образом, что правая часть равенства (4.4) не зависит от выбора локальной параметризации (з: Р— М такой, что .Е С р(Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
