1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. Г,[д*(1)] = 1; для 1 = 1,2,...,а. Пусть ф* есть отображение х (Е~(х), Ез(х),..., Гь(х)) Е К". Отображение ф* принадлежит клас- су и'г и определено на шаре В(д,е1). Отображение ф = у ' в силу условий леммы непрерывно, и, зна- чит, найдется е такое, что 0 < е < еы и если х Е В удовлетворяет неравенству ]х — о[ < е,то ]ф(х) — р[ < б.
3 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 329 Пусть х Е В, причем ]х — д] < е. Положим ~ = 4(х). Тогда имеем ф (х) = з" ['р*(г)] = 4 [зо(1)] = 1. Мы получаем, таким образом, что ф*(х) = зр(х) для любого х Е В, принадлежащего окрестности В(д,е) точки д. Точка д Е В выбрана произвольно. В силу определения из доказанного следует, что ф = у ~ есть отображение класса Ъ".
Следовательно, отображение у есть диффеоморфизм класса У". Теорема доказана. ° ° Лемма 3.2. Пусть А есть регулярное мнонсество в пространстве КЬ, у: А — ~ К вЂ” диффеоморфизм класса Ж', т ) 1. Пусть В = = у(А) и д = ~р(р), где р Е А. Предположим, что окрестность Ъ' = = В(д,е) точки д и отображение ф: ~' — КЬ класса Я" таковы, что ф(х) = у ~(х) для всех х Е У й В. Тогда для всех 1 Е А таких, что [~р(1) — у(р)] < е, выполняется равенство Нф[у(~)] о сйр(1) = 1с1ь, где 1с1ь есть тождественное отображение пространства К~.
Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Так как у принадлежит классу Я", то согласно определению отображения класса Ж' найдутся окрестность У = В(р, б) точки р и отображение ~р*: à — ~ К" класса ~и'" такие, что у*(1) = у(1) для всех 1 Е Уй А и ~у" (1) — е[ < е для всех 1 Е У.
Функция ~р определена во всех точках множества А' и принадлежит классу й'" на множестве А'. Отсюда следует, что оо дифференцируема во всех точках 1 Е Уй А'. Согласно правилу дифференцирования сложной функции а[зро Р Н1) = Нф[у (1)] о йр (1) для всех ~ Е У й А'. Пусть 1 Е А й У. Тогда х = ~р*(1) = у(~) Е В и, значит, ф(х) = у ~(х). Отсюда следует, что для данного 1 имеет место равенство 61) = ф[Ю (г)] = зо [зо(~)] = 1 Таким образом, Нс(1) = 1дь во всех точках открытого множества А' й У.
По условию, множество А регулярно и, значит, согласно лемме 3.1 множество А й У также регулярно. Возьмем произвольно точку ~ Е А. В силу регулярности множества А й У найдется последовательность (~„)„ен точек множества (А й У)' такая, что 1 = 1цп х„. В каждой и оо из точек 1, имеем равенство д[4о~р*](1„) = 1оы В силу непрерывности функции д[фоу*] на множестве А й У отсюда следует, что равенство д[фоу*](~) = 1йь выполняется и для данного 1 е Ай У. Так как 1 е Ай У было выбрано произвольно, то мы, следовательно, получаем, что для Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 330 1 Е А П П справедливо арОсталось заметить, что на множестве А ! ! П производные — совар д<, падают с производными — и, значит, Ну'(1) = ду(1) в каждой точке д1, 1 Е А.
Лемма доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Пусть даны конечномерные векторные пространства Х и У. Пусть В: Х вЂ” ! У есть линейное отображение. Предположим, что существует линейное отображение М: У вЂ” Х такое, что для любого ~ Е К» выполняется равенство М[Т,(~)] = с. Тогда для всякой системы 5,бз,...,~» линейно независимых векторов пространства Х векторы и! = Л(~<) в пространстве У линейно независимы. Действительно, предположим, что отображения Г, М и векторы ~<, ! = 1,2,...,к, удовлетворяют этим условиям. Зададим произвольно числа 1;, ! = 1, 2,..., к, не обращающиеся одновременно в нуль. Пусть Вектор ~ отличен от нуля. Имеем Отсюда следует, что также и ц у- 'О. Тем самым доказано, что векторы !1<, ! = 1, 2,..., 1с, линейно независимы. Следствие.
Пусть мнох<ество А в пространстве К» является регулярным и отображение <р: А — К" есть диффеоморфизм. Тогда в кажд!р д»з д!р дой точке 1 Е А векторы — (!), — (<),..., — (!) линейно независимы. д1! ' д1г д1» 3 а м е ч а н и е. Теорема 3.2 устанавливает некоторые достаточные условия для того, чтобы отображение <": А — К", где А С К»вЂ” регулярное множество, было диффеоморфизмом. Данное следствие показывает, что зти условия необходимы. Доказательство. Пусть А есть регулярное множество в пространстве К» и !р: А — К" есть диффеоморфизм.
Возьмем произвольно точку р Е А. Согласно определению отображения класса <в'" найдутся окрестность П = В(р,б) точки р, окрестность 1' = В(д, е) точки <! = !р(р) и отображение ф: У вЂ” К» класса и'" В 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 331 такое, что на множестве 1 е АПУ определено отображение 4ву, причем НФ[у(1)) в <ЬрЯ = 1оь. Положим е1Яр(р)) = М и ар(р) = Ь.
Имеем М[Х(~)) = ~ для д~ всякого вектора ~ е Кь и Це;) = — (1) при всяком г' = 1,2,..., й, где емез,...,еь есть канонический базис пространства К~. В силу замечания, предшествующего следствию, отсюда вытекает, что векторы дф — (1), 1 = 1,2,..., й, линейно независимы. Следствие доказано. 3.3. Попятив й-мирного попмногоовглзия пгостглнствл К" 3.3.1. Множество Р в пространстве Кь будем называть 6-мерной стандартной областью, если Р есть либо 1) открытый Й-мерный прямоугольник (ам6з) х (аз,бз) х х (аь,6ь), либо 2) 6-мерный полуоткрытый прямоугольник (ам6з] х 1аз,6з) х ° х (ам бе).
В случае 1) множество Р будем называть 1с-мерным интервалом, а в случае 2) Р называется 6-мерным пвлуинтервалвм. Пусть Р есть й-мерный полуинтервал (ам 61) х (аз,6з) х х (аы6ь). Точки 1 е Р, у которых первая компонента равна Ьм будем называть краевыми точками Р. Совокупность всех краевых точек полуинтервала Р называется его краем и обозначается символом дР. Если 1е > 2, то для данного полуинтервала Р определен еще (Й вЂ” 1)-мерный интервал 1аз,6з) х х 1аь,6ь), который будем обозначать символом доР. Пусть з есть отображение (1з,...,1ь) е доР ~-~ (61,1з,...,1ь) е Е дР. Отображение з' есть диффеоморфизм.
Лействительно, з взаимно однозначно и отображает двР на дР. При этом з' е 'и" при любом т > 1. Отображение р: (6м1з,...,1ь) е дР (1з,...,1ь) е доР, является о б р а т н ы м к у' и принадлежит классу М" для любого т > 1. 332 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Тем самым доказано, что 1 есть диффеоморфизм класса У' при любом т > О. 3.3.2. Покажем, что всякая стандартная к-мерная область Р в Кь является регулярным множеством в пространстве Кь. Если Р есть й-мерный интервал, то Р есть открытое множество в К~, его внутренность, стало быть, совпадает с Р и, следовательно, в этом случае внутренность Р является множеством, всюду плотным в Р.
Пусть Р есть полуинтервал (аы 61] х (аз, Ьз) х х(аь, Ьь). Положим Ро = (амЬз) х (аз Ьг) х х (выЬь). Все точки интервала Ро, очевидно, являются его внутренними точками. Следовательно, они являются внутренними также и для полу- интервала Р, т. е. справедливо включение Ро С Р'. (Предоставляем читателю доказать, что в действительности Ро — — Р'.) Всякая точка 1 Е Р является пределом последовательности (1,)„ен точек интервала Ро.
Действительно, пусть 1 = (1ы 1з,...,1ь) к Р. Тогда имеем а1 < 1з < 61 и а, < 1; < Ь; при 1 = 2,...,к. Если аз < < 11 < Ь„то 1 принадлежит множеству Ро С Р' и в этом случае все ясно. Предположим, что 11 —— Ьы Положим 1 = 61 — аы и пусть 1„, о б 1з, есть точка 1 — ез. (Как обычно, символы е;, 1 = 1,2,..., к, о+1 обозначают векторы канонического базиса в Кь.) Легко проверяется, что 1„Е Ро для всех о Е 1з и 1„— ~ 1 при о — ~ оо. Мы получаем, следовательно, что Ро, а значит, и Р' всюду плотно в Р.
Множество Р, таким образом, является регулярным. Пусть Р есть й-мерная стандартная область в К~ и ьэ: Р— К" есть диффеоморфизм. Тогда в каждой точке ~ е Р определены векторы Согласно следствию леммы 3.2 эти векторы линейно независимы. Отсюда, в частности, следует, что й < н. Таким образом, если для стандартной к-мерной области Р существует диффеоморфизм ьо: Р— К", то ее размерность и < п. 3.3.3. Множество Г в пространстве К" называется элементарным 6-мерным многообразием класса в" или, иначе, 6-ячейкой класса М'", если Г диффеоморфно в смысле и' некоторой к-мерной стандартной области.
Пусть Г есть элементарное 6-мерное многообразие класса Ъ" и у: Р— ~ Р есть диффеоморфизм класса У" стандартной й-мерной области Р на множество Г. з 3. дополнительные сведения о гладких подмногообразиях 333 Отображение у называется параметризаиией 1с-ячейки Г. О б р а т н о е ему отображение Ф = у ' называется локальной системой координат или картой Й вЂ” ячейки Г. Лля произвольной точки х Е Г координаты точки 1 = ф1х) будем называть координатами точки х в системе координат ф. Всякая й-ячейка класса ~ь'" принадлежит также и классу в' для любого в < г. Если Г С К" есть 1с-ячейка класса и', то параметризация у: Р— Г называется допустимой, если она представляет собой диффеоморфизм именно класса и'. Так как тол дественное отображение есть диффеоморфизм, то всякая к-мерная стандартная область является элементарным Е-мерным многообразием класса Я" при любом г > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
