1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 63
Текст из файла (страница 63)
342 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 3 а м е ч а н и е. Условия теоремы не исключают случай Ь = и. Если й = и, то функции Д отсутствуют и условия теоремы сводятся к следующему. На множестве о' задана функция и: о' — К класса в ", и в каждой точке т б У, для которой и(т) = О, хотя бы одна из частных ди производных — (ж) отлична от нуля. Множество М в этом случае а*; есть совокупность всех х б о', для которых и(х) < О.
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия теоремы. Зля упрощения записи положим и — 1с = т. Обозначим через По множество всех х б У, для которых и(т) < О. Множество всех х Е М, для которых и(т) = О, обозначим символом бМ. Возьмем произвольно точку р б М. Сначала мы построим некоторую окрестность $' точки р, для которой существует диффеоморфизм, преобразующий данную окрестность в куб так, что множество $' й М при этом переходит в сечение куба Ь-мерной плоскостью, параллельной одной из его граней. Предположим, что и(р) < О.
Тогда р б Уо, и в случае т > 0 в точке Р Ранг системы фУнкций Я,1з,...,1' 1 Равен т. Значит, по первой теореме о выпрямлении (глава 10, теорема 3.2) найдутся и-мерный куб Я и диффеоморфизм Ф: 9 -+ К" такие, что г' = ФЩ) С С ош и для любого у б Ч имеют место равенства: Д[Ф(у)] = у, при каждом 1 = 1, 2,..., т. В случае т = 0 находим е > 0 такое, что шар В(р, е) содержится в Уо (напомним, что для выбранной точки р имеет место неравенство и(р) < 0). Полагаем 1~ = Ч(р, е/~/й), а в качестве Ф берем тождественное отображение куба Я в К".
Предположим, что и(р) = О. Тогда согласно условию теоремы в точке р ранг системы функций (Гы1з,...,1,и) равен ги+ 1. (Если т = О, эта система состоит из единственной функции — функции и.) Согласно первой тпеореме о выпрямлении (глава 10, теорема 3.2) найдутся п-мерный куб Я и диффеоморфизм Ф: Ч вЂ” ~ К" такие, что г' = = ФЯ) С о, р Е Ъ' и для любого з = (яы гз,..., з„) Е Ч выполняется равенство ~;[Ф(з)] = я; при каждом г' = 1,2,...,т и и[Ф(г)] = г„,+з. (В случае т = 0 из этих соотношений остается только последнее.) Во всех случаях множество Ъ' = ФЯ) открытое, р б ~'. Покажем, что множество Я = Ъ' П М есть элементарное Ь-мерное многообразие класса е". Рассмотрим отдельно случай т = О. Пусть и(р) < О. Тогда Я = Р = 9 и Я, очевидно, является и-ячейкой класса в". Предположим, что и(р) = О.
Тогда имеем Д = (аы Ь, ) х (аз, Ьз) х х (а„, Ь„) и для всякой точки я = (гы яз,...,г„) Е Ч' справедливо соотношение з 3. Дополнительные сведения о гладких подмногообразнях 343 и(«) = «м Пусть р = Ф(д), где д Е 9. Пля точки д ее компонента с номером 1 равна и(р) = О. Отсюда следует, что а1 < 0 < 61. Полагаем Р = (ам О] х (аз,бз) х х (а„,б„). Множество Р есть п-мерный полуинтервал.
Легко проверяется, что Ф(Р) = К П М. Таким образом, доказано, что в данном случае всякая точка р Е М имеет окрестность, которая является элементарным и-мерным многообразием класса в". Будем далее считать, что т > О. Пусть Я = (им из) х . х (и,„,и,„) х (амбз) х х (аь,бь). Предположим, что р = Ф(д), где а = (гы...,г,„,бы...,бь).
Пусть Е = Ф '(Я). Покажем, что Е есть множество всех точек куба Я, у которых первые т координат равны нулю, а в случае, когда р Е бМ, координата с номером т+ 1 неположительна. Пействительно, пусть у Е 9 и пусть х = Ф(у). Тогда согласно определению М точка х принадлежит множеству М в том и только в том случае, если Ях) = 0 при каждом 1 = 1,2,..., т и и(х) < О.
Согласно определению диффеоморфизма Ф имеем Л( ) = Л(Ф(у)] = у для любого г = 1, 2,..., т, а в случае р Е 6М, кроме того, выполняется еще равенство и[Ф(у)] = у +з. Отсюда следует, что точка х = Ф(у) принадлежит Я, т. е. у б Е в том и только в том случае, если уз — — уз —— = у = О, а если р б 6М, то выполняется еще условие у +1 < О, что и требовалось доказать. оказанное можно понимать также сле ю им об азом. Отображение Ф = Ф ' есть система координат, определенная в окрестности 1Г точки р.
Часть множества М, лежащая в этой окрестности в случае, когда р Е Уо, в этой системе координат определяется системой уравнений уз —— = уз = ° = у„, = О, а если р Е бМ, то системой уравнений у1 = уз = = у = 0 и неравенством у„< О. В частности, для точки д = (гы..., т, 6з,..., 6ь), определенной условием р = Ф(д), имеем т1 —— = гз — — ° ° — — г,„= О. Если р Е бМ, то и(р) = О, и, значит, (т + 1)-я компонента точки д равна нулю, т. е. 61 — — О. Отсюда следует, что в последнем случае а1 < О < 6|. Теперь покажем, что все условия определения элементарного й-мерного многообразия выполняются для множества Я.
Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 344 Пусть Н есть 1с-мерный прямоуеояьнии, определенный следующим образом. В случае, когда р Е Уо, полагаем Н = (а1,61) х х (аь,бь). Если же р Е 6М, то Н = (ам 0] х ° . х (аь, Ьь). Пусть з есть отображение (Гз,1з,...,1ь) Е К ~-~ (0,...,0,1~,1з,...,Гь) Е К". Оно принадлежит классу й" при любом г и отображает Н взаимно оде. о*~р 1 * «фф рф .
3* аяээе ~~ в этом след ет показать что об атное отоб ажение ' ' и инацле- ~зиизт . О*.а,. и: (уы..., у,„,1ы..., 1ь) Е К" ~-~ (1ы8з,...,1ь) Е К принадлежит классу й ' при всяком г и на множестве Е, очевидно, совпадает с 1 '. Это доказывает, что з ~ Е й" при любом т. Положим ~р = Ф о з.
Отображение ф есть диффеоморфизм. При этом, как нетрудно видеть, у(Н) = о'. Отсюда следует, что 5 есть элементарное Й-мерное многообразие класса и ". Так как точка р Е М взята произвольно, то тем самым доказано, что М есть Й-мерное многообразие класса й'". Если р ф 6М, то прямоугольник Н открытый и, значит, в этом случае р есть внутренняя точка М. Если же р Е 6М, то Н есть полуоткрытый прямоугольник и р = = ф(~о), где го есть краевая точка Н. Отсюда следует, что р является краевой точкой многообразия М. Следовательно, мы получаем, что дМ = 6М. Теорема доказана. ° Й 4. Площадь |с-мерного многообразия В этом параграфе определяется понятие й-мерной плошади, или поверхностной меры, на дифференцируемом многообразии.
Приводятся формулы для вычисления плошали множества на многообразии и рассматриваются примеры. 4.1. МЕРЫ НА Й-МЕРНЫХ ПЛОСКОСТЯХ Пусть й есть произвольный вектор пространства К" и А есть подмножества К". Символ й + А обозначает множество всех точек у Е К" вида у = Ь + т, где и Е А. З 4. Площадь 1с-мерного многообразия 345 Множество Я С К" называется 1с-мерной плоскостью пространства К", если Я = 6+ Р, где Р есть к-мерное подпространство К". В З1 этой главы показано, как для произвольного 1с-мерного подпространства Р пространства К" определить понятия интегрируемой и измеримой функции измеримого множества и к-мерной меры множества.
Пусть Я = й + Р есть к-мерная плоскость в К". Тогда будем считать функцию У: Я вЂ” К интегрируемой (измеримой), если функция У(т+ и) интегрируема (соответственно измерима) на подпространстве Р. Полагаем при этом Множество Е С Я считаем измеримым относительно 1с-мерной меры в плоскости Я, если множество — и + Е измеримо в плоскости Р. При этом полагаем рь(Е) = иь( — Ь+ Е). Предположим, что линейное отображение Л: Кь — К" таково, что Л(К~) = Р есть й-мерное надпространство К". Тогда 1 Е К~ ~-~ 6+ Л(~) есть биектиеное отображение Кь в плоскость Я = 6+ Р.
Напомним, что отображение вида ~р(1) = й + Л(1), где 6 Е К", а Л: Кь — ~ К" линейно, называется аффинным. Аффинное отображение со будем называть ортогональным, если линейное отображение Л сохраняет неизменными скалярные произведения векторов, т.
е. для любых векторов и,о Е К~ имеет место равенство (и,и) = (Л(и),Л(и)). Биективное аффинное отображение ю(8) = 6+ Л(1) пространства К~ в й-мерную плоскость Я называется аффинной параметризаиией Я. Пусть Р есть к-мерное подпространство К", и пусть Л: Кь — Р есть биективное линейное отображение. Для произвольной точки 1 = = (гыгз,...,1ь) Е К имеем Л(г) = аз~1 + гз~з + . +1ь~ю Здесь векторы сс определяются из условия С; = Л(е;), где е;, 1 = 1,2,..., 1с, есть векторы канонического базиса пространства К~. Имеем 1с-репер х = Яы сз,...,Я, который определяет некоторый 1с-мерный поливектор [х] = [~з,~з,...,~ь].
Тогда, как показано в З1 для произвольной функции 1, заданной на подпространстве Р = Л(К"), интеграл функции | относительно Й-мерной площади равен интегралу У[Л(Х)][[к][ сЫ. Иь 346 Гл. 15. Интегральное исчисление ла многообразиях В соответствии с этим мы получаем, что для функции 1', определенной на й-мерной плоскости Я = Ь + Р, интеграл от функции 1: Я вЂ” К относительно Й-мерной меры в плоскости Я равен интегралу Преобразуем этот интеграл.
Положим ~р(М) = а + Л(1). Векторы 6 = = Л(е;) могут быть представлены следующим образом: Положим д1 д1. Тогда, как показано в З 1, имеют место равенства (6,6) (6, ег) . (6,Ы (сг 6) (6 6) " (сг Ы Угг Угг Угь Ую Угг ° Угь (6,6) (6о сг) (1ь Ы Уы Уьг ° Уьь Положим также уп (г) угг(г) угь(г) угг(г) угг(г) угь(г) У(~) = Последний определитель будем обозначать символом у. Величина у для всякой аффинной параметризаиии плоскости п о с т о я н н а в К~.
Заметим, что если аффинная параметризация ~р является ортогодр нальной, то векторы 6 = — образуют ортонормальный Й-репер. д1; Пусть д есть открытое множество в пространстве К~. Предположим, что задано множество С, открытое относительно Я, и определен диффеоморфизм ~р: У вЂ” Я такой, что <р(У) = 6. Отображение р есть параметризация множества 6 на плоскости Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
