1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Справедливо следующее утверждение. Ф Предложение 4.1, Всякое ограниченное измеримое множество многообразия М может быть представлено как объединение конечного числа малых множеств. Действительно, пусть множество .Е С М является ограниченным. Тогда его замыкание Е компактно.
Для всякой точки х е Е найдется локальная параметризация ~р: Р— М такая, что х Е ~р(Р). (Параметризация у зависит от точки х; простоты ради мы не указываем это в обозначениях.) Положим Г, = ся(Р). Множество Г, является открытым относительно М, Множества Г, образуют открытое покрытие множества Е, и так как Е компактно, то найдется конечное множество точек хм хз,..., хн, принадлежащих М, такое, что .Е содержится в объединении множеств Г... 1 = 1,2,...,У. Положим А; = Е П Г,, Пусть В = () А,.
Множез=з ства В образуют возрастающую последовательность и Вн = Е. Положим Ез — — Ам и пРи )' ) 1 пУсть Е = В 1 В. з. Множества Е, ) = 1,2,...,Х, попарно не пересекаются, их объединение, очевидно, совпадает с множеством Е. ?1ри каждом )' множество Е, содержится в множестве Гсз и, стало быть, оно является малым множеством. Предложение доказано. ф Доказанное предложение позволяет определить понятие интег ала нк ии по п оизвольном ог аниченном изме имом по множеств ?с-ме ного многооб азия. Пусть Е есть произвольное ограниченное измеримое подмножество М. Будем говорить, что функция У интеерируема по множесго- Ж ву Е, если Е допускает представление Е = и Е; такое, что каждое из множеств Е, является малым, причем функция У интегрируема по Ез.
Полагаем Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 354 Сумма справа не зависит от выбора разбиения множества Е на малые множества. (Мы предоставляем читателю доказательство этого простого факта.) Данные определения распространяются также и на случай неотрицательных измеримых функций. Если ~ есть неотрицательная измеримая функция и измеримое множество Е С М мало, то мы определим интеграл тем же равенством (4.4), что и в случае интегрируемой функции. Если множество Е ограничено, то интеграл функции 1 мы определим посредством равенства (4.5).
В частном случае, когда функция 1: М вЂ” Я тождественно равна единице, интеграл ) г(х) Нрь(х) обозначается символом рь(Е) и назыи вается площадью множества Е в мноеообраэии М. 4.2.3. Рассмот им п име ы вычисления пло а и по многооб азий в п ост анстве К". Иример Х. Площлдь грАаикА функции. Пусть с1 есть открытое множество в пространстве К" и 1: о' — ~ К есть вещественная функция класса 1в'", где г > 1. Будем исследовать пространство К"+' как произведение К" х К, рассматривая произвольную точку з Е К"+ как пару (х, у), где х Е К", а у Е К. Пусть М есть ерафик функции 1" в пространстве К"+', т.
е. множество всех точек (х, 1(х)) Е К"+, где х Е П. Отображение ьо: х Е У ~ (х,Дх)) Е К"~~ принадлежитклассуЪ". Множество М является и-мерным подмногообразием пространства К"+'. Действительно, пусть р = (а, Да) Е М. Точка а Е У. Так как П есть открытое множество, то некоторый куб Я(а,б) с центром в точке а и длиной ребра, равной 26, содержится в множестве П. Если а = (ам аз,...,а„), то ®а, 6) = (а1 — б, а, + 6) х (аз — 6, аз + 6) х . х (а„ вЂ” 6, а„ + 6). Множество У всех точек (х, у) Е К"+' таких, что х Е Ч(а, 6), является открытым в К"+з как прообраз множества Ч(а,б) относительно непрерывного отображения к: (х, у) Е К"+з (х,О).
Очевидно, У П М = у[фа, б)]. Отображение у взаимно однозначно и непрерывно. Обратное к нему отображение есть ограничение на М отображения к и, следовательно, также непрерывно. Пусть ем ез,..., е„есть канонический базис пространства К". В каждой точке х Е 11 имеет место равенство — (х) = е;,— (х) З 4. Площадь х-мерного многообразия 355 1+ У.', У*,У*. У У 1+Уз д (х) = У*,У*. У~2 У~ У..У., У..У..
" 1+ У.'. Преобразуем квадратичную форму 0„(х)(~), матрицей которой является д„,(х). Пусть с = ®, сз,..., с„) Е К". Тогда и Ф*Ы) = 6,Е,У*;6 = Ы (~У( ) 6). 3=1 Отсюда следует, что для данного отображения ~о имеет место равенство 0„(х)(с) = ф + ('7У(х),Я и д (х) есть матрица коэффициентов этой квадратичной формы. Пусть Р есть ортогональная п х п-матрица такая, что Рг7У(х) = = ~~7У(х)~е1. Тогда будем иметь (7У(х),Р"~) = (Рз7У(х),Я = ~з7У(х))6, ~Р*~~~ = ф~. Заменяя в квадратичной форме ~ на Р'с, получим новую квадратичную форму (х)(Р'~) — фз + ~~7У(х))з~~ — (1+ (АУ(х)~з)~з Используя представление 0„,(х)(с) = (д„(х)~, Я квадратичной формы через матрицу ее коэффициентов, получим равенство О, (х)(Р*с) = (д,(х)Р'~,Р*~) = (Рд„,(х)Р*с,Я.
Таким образом, матрица квадратичной формы 0„,(х)(Р*с) есть матрица Рд~Р*, и ее определитель равен йеФ Рд (х)Р* = [беГ Р)з декад„(х) = декад~(х). д~Р Отсюда вытекает, что векторы — (х) линейно независимы и, стало а*; быть, отображение у есть диффеоморфизм. Матрица (д; (х)), з з в данном случае будет иметь вид Гл.
15. Интегр льное исчисление на многообразиях 356 Матрица квадратичной формы С, (Р*С) диагональная, и ее определитель легко вычисляется. Он равен п оизве ению иагональных элементов мат и ы. В результате мы получаем, что определитель матрицы д (т) равен с1е1д (и) = 1+ ~ЧЯхЯ и (Е) = 1+ТУ( )Рд*. (4.6) ч(е) Пример 3. Площлдь секгы в пгострАнствк К"+'.
Будем считать, что центр сферы находится в начале координат и радиус ее равен Я. Полагаем У = В(0,1). Плоскостью у = 0 сфера разбивается на две полусферы, одна из которых, назовем ее в е р х н е й', задается уравнением о = ~~':1'~, а вторая — н и ж н я я полусфера — определяется уравнением Отсюда )~П*М = Применяя формулу (4.6) к рассматриваемому случаю, получим, что площадь верхней полусферы равна интегралу Величина де$ д (х) легко вычисляется также непосредственно с помощью известных из курса алгебры стандартных приемов преобразования определителей. Способ, которым этот определитель был найден выше, избавляет от необходимости неоднократного выписывания громоздких формул с определителями. Окончательно мы приходим к формуле для вычисления площади поверхности, заданной уравнением у = Дт), где х Е У, У вЂ” открытое множество в К". Для произвольного измеримого множества Е на данной поверхности М его площадь д„(Е) выражается следующей формулой: З 4.
Площадь й-мерного многообразия 357 При 0 < т < 1 множество Е(1) совпадает с шаром В(0, Л) в простран- стве К". При 1 > 1 множество Е(1) есть совокупность всех точек х Е К", для которых выполняются неравенства ]х] < Л и Я~ > т~гь~ — т~]х]~. Отсюда получаем В > ]х] > Л,Р2 1, 1 Множество Е(1) для таких значений ~ есть множество Объем шара радиуса В в пространстве К" равен о„Я", где о„постоянная. Величина о„есть о б ъ е м единичного шара в простпранстиве К". Следовательно, мы получаем, что и-мерная мера Лебега множества Е(т) выражается следующим образом: при 0 <1< 1, и [Е(~)] = (Гз 1)ьуз '( о„Л" 1 — ] при 1 > 1.
Гь Отсюда следует, что площадь верхней полусферы будет равна = о„В" 1+ 1 — й . (4.8) (, ( 1 1 В интеграле справа произведем замену переменной по формуле т = —. Переименовывая переменную интегрирования снова в 1, получим Площадь нижней полусферы, очевидно, равна тому же самому интегралу. В результате получим, что площадь сферы 5(0, В) в простпранстпве К"+т равна у д в о е н н о м у интегралу (4.7). Для вычисления интеграла (4.7) воспользуемся формулой Кавальери — Лебега. Пусть 358 Гл. 15. Интегральное исчисление иа многообразиях Последний интеграл преобразуем по формуле интегрирования оо час- пмьм.
Имеем откуда получаем | ~ -( — 'г"! —,. = —,~ -( — ')"'*~ +. /( — 'г '-' О О 1 = -1 + — (1 — $)" ~~ '1 ')~ Ж = — 1 + — В 2 ./ 2 ~2' 2/ О Применяя известную формулу, представляющую бета-функцию через гамма-функцию, получим равенство Подставив найденное значение для интеграла (4.9) в правую часть ра- венства (4.8), получим, что площадь и-мерной полусферы равна г ~-" ~- 1~ г Н Рз ~цг " ~и+ 1 В(о,н) Заметим, что Г(1|2) = ~/я. Как показано в ~8 главы 13 (см.
равенство 18.20)), справедливо равенство .а/2 Г(-"+ 1) Отсюда после очевидных преобразований получим, что площадь полу- сферы равна | л ь ы"! )+' Я". ~" +1~ В(о,н) Г 2 З 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях 359 Окончательно заключаем, что площадь сферы Я(0, тс) в пространстве К" + выражается следующим соотношением: 2д(е/2)+т р„[Я(0, Я)1 = ьт„В" = тг". 2 Умножим числитель и знаменатель этой дроби на и+ 1.
Принимая и+1 Ъ+11 Ъ+1 во внимание, что Г ~ ~ = Г ~ +1, получим следующее 2 ~ 2 ~ ~ 2 выражение для величины ьт„— и л о щ а д и единичной сферы в пространстпве К"+т: .(а/2)+т ш„= (п+ 1) = (и+ 1)о„+з. и+1 2 Здесь о„+т есть о б ь е м единичноао шара в пространстве К"+'. и 5. Внешние дифференциальные формы на многообразиях В этом параграфе определяется понятие внешней дифференциальной формы (кратко, внешней формы или просто формы) на к-мерном подмногообразии пространства К". Говорят, что на многообразии задана внешняя дифференциальная форма степени М, если в каждой точке многообразия М в касательном пространстве ТМ(х) задана полилинейная кососимметрическая функция степени тп. Операции нал внешними дифференциальными формами, определенные в параграфе 2 для случая форм на открытых множествах, здесь распространяются на обший случай внешних дифференциальных форм на произвольном 'я-мерном многообразии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
