1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Мы получаем, таким образом, что канонические представления внешних форм Л и Л совпадают, т. е. эти формы равны между собой. Предложение 2.5 доказано. в Отметим о ин частный сл чай ез льтата и ложения 2 5 Ес- ли т = н, то матрица Л(х), составленная из коэффициентов внешних форм Л;, является квадратной. В этом случае ы(х) = Лз А Л2 Л . Л Л = с1е1Л(х)дх дх ... дх". Л,ЛЛ,А...ЛЛ =о(а)Л2ЛЛ2Л...ЛЛ,. (2.11) Справедливость данного утверждения непосредственно следует из предложения 2.5 в силу известных свойств определителей.
ф 2.3. ОПЕРА ИЯ ИФФЕРЕН ИРОВАНИЯ ВНЕШНЕЙ ИФФЕРЕН ИАПЬНОЙ ФОРМЫ Зададим произвольно открытое множество У пространства К". Всякой внешней форме о2 степени т > О, принадлежащей классу и' та > 1, которая определена на множестве У, может быть сопоставлено некоторая форма степени т + 1, называемая дифференциалом формы и и обозначаемая символом дм. Если дей(о2) = О, то форма ы есть вещественная функция, определенная на множестве У. В этом случае дифференциалом м называется внешняя дифференциальная форма первой степени, которая выражается равенством дм йы(х) = ~~ — (х)дх'.
дх; (2.12) о Предложение 2.6. Пусть Л;, 2 = 1, 2,..., т, т < п, есть внешние дифференциальные формы первой степени. Для всякой перестановки а б Р имеет место равенство Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 308 Предположим, что ьр есть внешняя форма степени т > 1. Тогда она имеет каноническое представление ьр(х) = ~р ьрг(х) ох~. ген„" Предположим, что ьр принадлежит классу в' для некоторого ог > 1.
Согласно определению это означает, что каждая из функций врг(х) принадлежит классу и и, значит, при каждом 1 б Я„" определена внешняя дифференциальная форма первой степени Ныг — дифференциал коэффициента врг формы ьр. Полагаем с~фг(х) = ~~ф Й г(х) Л ф1х . (2.13) ге я„" Из определения видно, что рк есть форма степени г+ 1, принадлежащая классу рв Установим некото ые с в о й с т в а понятия и е енцнала внеш- рррр, вв р - *р ° ° „« „фф.р„ формы предполагаются определенными на некотором открытом множестве о' пространства К" и принадлежащими классу в'™, где т > 1.
в Предложение 2.7. Пусть даны внешние формы р р„фвг,..., ыь степени г > О. Тогда имеет место равенство 4ьфг +ыг+ '''+ьрь) = вь>г +офлаг+ + выы (2.14) Равенство (2.14) непосредственно следует из определения дифференциала. Ф в Предложение 2.8. Для всякой функции а: о' — К класса Рй'™ н любой внешней дифференциальной формы ьр степени г > 1 имеет место равенство о(аьр) = оа Л ы + афйо. (2.15) Н(аьр) = фЕ(а,б) Л Нх~ = [(йе)13 + аф113) Л йхг = = (Йа) Л рф1х + ада Л рфх = оа Л ро+ ай ~.
Предложение доказано. в Действительно, в силу предложения 2.7 достаточно установить, что равенство (2.15) верно для случая, когда форма ьр есть лоном. Пусть ьр = Дох~. Согласно определению дифференциала имеем з 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 309 ф Предложение 2.9. Пусть даны внешние дифференциальные формы ш и В, причем дея(св) = г > 1 и дея(0) = в > 1. Тогда имеет место равенство д(ы Л В) = (д ) Л 0+ (-1)' Л (дВ). (2.16) Действительно, в силу предложения 2.7 достаточно доказать данное предложение для случая, когда каждая из форм ы и В является мономом. Пусть ш(х) = и(х)дхг и 0(х) = и(х)ах . Тогда ш(х) Л В(х) = = и(х)о(х)ахг Л дх~. Заметим, что если коэффициенты внешней формы постоянны в У, то дифференциал формы, как следует из определения, тождественно равен нулю.
Применяя предложение 2.8, получим д~м(х) Л 0(х)) = д(и(х)и(х)дх Л йх ) = = а[и(х)и(х)] Л ах Л ах~+ и(х)и(х)а[ах Л ах ]. Так как дх<г ~~ есть внешняя форма с постоянными коэффициентами, то второе слагаемое справа равно нулю, и мы получаем а1ы(х) Л В(х)) = а[и(х)и(х)] Л Нх~ Л Нх = и(х)аи(х) Л Нхг Л дх~ + и(х)аи(х) Л дх~ Л Йх~ = = (аи(х) Л дхг) Л (и(х)ах ) + и(х)аи(х) Л Ыхг Л Нх~. Применяя правило перестановки множителе'а во внешнем произведении (предложение 2.3 из п. 2.2), получим Ни(х) Л дхг = (-1)'дх~ Л Лди(х), так как, по условию, дея(ди(х)) = 1, а дея(дх~) = г. Имеем Ыи(х) Л Их~) Л (и(х)дх ) = (да~) Л В, и(х)аи(х) Л Ых~ Л Нх~ = ( — 1)"и(х)ах~ Л (аи(х) Л дх ) = ( — 1)"ш Л (аВ).
Окончательно получаем д(ш Л 0) = (йв) Л В + (-1)'ы Л (дВ), что и требовалось доказать. в ° Теорема 2.1 (первая теорема Пуанкаре). Пусть У есть открытое множество в К". Тогда для всякой внешней формы ы, определенной в У и принадлежашей классу Я', где т > 2, выполняется равенство Ы(йв) = О.
Гл. 75. Интегральное исчисление на многообразиях 310 Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда бей(ы) = О, т. е. ы есть просто вещественная функция, определенная на множестве У. Тогда имеем т-~ дм аы = ~ — Нх'. дх; Отсюда получаем дз И(Ны) = ~> ,'~ Нх' Л Ыхз. дх;дх, 2=2 1со (2.17) Теперь заметим, что Нх' Л сЬ2 = О, Их2 Л Ихз = -дху Л сЬ'. Отсюда получаем Последнее выражение равно нулю в силу свойства симметричности вторых производных. Таким образом, мы получаем, что в данном случае равенство И(йо) = 0 верно. Пусть с1еб(ы) > 1.
Тогда ы=') гьг, й = ~ 71Л1хг. 1ЕЗ„" 1Е5„" Отсюда Й(Йы) = 1 Й(Иыг) Л Ых — ~~ Ы1 Л Й(йх ). 1ЕЯ„" 1Е5„" По доказанному, а(аы1) = О, а И(Их ) = О, так как Нхг есть форма с постоянными коэффициентами. Окончательно получаем Ы(А~) = О, что и требовалось доказать. ° Далее нам понадобится следующее простое предложение. ° Лемма 2.1. Пусть из, из,..., и, г < и, — вещественные функции класса Ъ'2, определенные на открытом множестве У пространства К". Положим ы = низ л11из л ° ° л пи,. Тогда имеет место равенство пы = О.
Доказательство. Лемма доказывается индукцией по г. При г = 1 результат вытекает из переой глеоремы Пуанкаре (теорема 2.1) Предположим, что для некоторого т < и лемма доказана и даны функции (из, из,..., и„и,+2) класса й2. Если г + 1 = и, то доказывать нечего. Пусты+1 < и. Положим д = изНи2 Л ЛИи,ЛИи,+2 — — и2ыы где ыз — — Низ Л Л Ыи, Л Ыи,+2. Применяя предложение 2.9, получим Ю = Ииз Л ы2 + изй >2.
В силу индукционного предположения Иы2 — — О. Таким образом, мы получаем, что имеет место равенство Ид = йю2 Л ы2 = ы. Согласно теореме Пуанкаре отсюда вытекает, что сй.1 = О. В силу принципа математической индукции лемма доказана. ° Э 2. Исчисление внешних. дифференциальных форм 2.4. ОПЕРА ИЯ ПЕРЕНОСА ВНЕШНЕЙ ИФФЕРЕН ИАЛЬНОЙ ФОРМЫ ГЛА КИМ ОТОБРАЖЕНИЕМ ч,*,...*-,(у)ду*'ду*' " Ь*" (у) = 1<))()з(-.()) б))) есть каноническое представление формы ы в пространстве К™.
Пусть |(х) = (~~(х),1з(х),...,1 (х)). Полагаем ь;;;,Д(х))дЦ; (х) Л ф;,(х) Л ". Л Щ(х). У' (х) = 1<))<)з«- з) <))) Форма 1*и, как видно из этого равенства, получена следующим построением. В каждом из коэффициентов а)) исходной формы ы величина у заменяется на Дх), и сам коэффициент тем самым заменяется суперпозицией ыг о 1. Базисная форма ду')ду"... ду'" представляет собой произведение ду" Л ду" Л . Л ду". В этом выражении каждая из величин ду' заменяется дифференциалом компоненты с номером г' отображения 1. Можно сказать, что 1*и(х) получается из ы(х), если всюду заменить у' на ~;(х). Установим некото ые с в о й с т в а оп еленной з есь опе а ии н внешними о мами 11алее мы предполагаем фиксированными открытое множество с)' в пространстве К", открытое множество У в пространстве К™ и отображение 1: е)' — У класса и"", где г > 1.
в Предложение 2.10. Предположим, что ы(у) есть внешняя форма степени к > 1 в пространстве К™. Тогда для всякой точки х Е У и любых векторов Хы Хз,..., Хь б К" имеет место равенство ~*и)(х; Х~) Хз) ) Хь)) = м(Дх)) д)х(Х~)) фх(Хз)) . ) фх(Хь)) (2 18) Пусть о' есть открытое множество в пространстве К", У вЂ” открытое множество в К, 1: ()' -) У вЂ” отображение класса ~и'", где г > 1. Предположим, что на множестве У определена внешняя дифференциальная форма м степени к > О. С помощью отображения 1 мы построим по и) некоторую внешнюю форму той же степени уже на множестве Б'. Эту последнюю форму мы будем обозначать символом 1*и) и говорить, что 1'и) получена перенесением формы и) в множество У посредством отображения 1.
Пусть йеб(и)) = О. Тогда и есть просто вещественная функция, определенная на множестве У. Мы полагаем в этом случае 1 "м = и) о 1. Рассмотрим случай, когда дея(а)) = к > 1, и пусть 312 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Доказательство.
Предположим сначала, что форма ы есть молом, ы(у) = и(у)оуиоу"... Ыу'". Положим ф(х; Х ) = У. Пусть х Е У и у = 1'(х). Тогда справедливо равенство 1 за1 У221 Ума Уг;, ... У„;, ы(у; УыУ2,...,У,) = и(у) Уг1 „Ут| „.. Ум„ Далее имеем 1*и(х) = и[1(х)]НД,ЛНД,Л Л~~;,, и, значит, согласно предложению 2.5 имеет место равенство 1У;,(Х,) ИУ;,(Х,) ... аЛ,(Х„) Ф;,(Х,) Ф,(Х,) ...
аУ;,(Х.) ~"ы(х; Хз, Хг,...,Хс) = и[1'(х)] фа,(Хз) ф1,(Х2) " 11б(Хт) Осталось заметить, что и[1(х)] = и(у), а Ы1О (Хь) есть координата с номером 1 вектора Уь = И(х,Кь), т. е. ф;,(Хь) = Уы,. Следовательно, ы(У; Уз, Уг,..., У,) = 1'ы(х; Хм Хг,..., Х,), каковы бы ни были векторы Хз, Хг,...,Х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
