1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Тогда Ъ' = АХ, где матрица А такова, что ее опреде- литель равен единице. В силу леммы 1.3 имеем Г(УыУз,,Уь) = йеФАГ(Хз>Хз» .Хь) = Г(Хз>Хз»...Хь) Таким образом, мы получаем, что если й-реперы (Хз, Хз,..., Хь) и (Уз, Уз,...,Уь) эквивалентны, то Г(Уз > Уз» . Уь) = Г(Хм Хз»... Хь). Теорема доказана полностью. ° з 2.
Исчисление внешних дифференциальных форм 297 й 2. Исчисление внешних дифференниальных форм Понятие дифференпируемого многообразия было определено в главе 10. В этом параграфе изучается вторая основная составляющая рассматриваемой теории — понятие внешней дифференциальной формы (кратко, внешней формы). Внешние дифференциальные формы играют роль подынтегральных выражений в излагаемой здесь теории интегрирования. Исчисление внешних форм является разделом области математики, называемой тензорным анализом.
Здесь приводятся основные сведения о внешних дифференциальнь»х формах, применяемые в дальнейшем изложении. Определяются некоторые операции над внешними формами, в частности операция умножения внешних форм, операция перенесения внешней формы гладким отображением и, наконец, операция дифференцирования внешней формы. Теория внешних форм играет важную роль в современной дифференциальной геометрии и в топологии. С ее помоШью строится аналитическая версия раздела топологии, называемого теорией когомологий.
2.1. ОПРЕЛЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ВНЕШНЕЙ ЛИФФЕРЕН ИАЛЬНОЙ ФОРМЫ Пусть У есть произвольное открытое множество в пространстве К". Предположим, что для всякой точки х б У определена косо- симметрическая полнлинейная функция ы(х): (им из,...,и,)»-+ ы(х)(и„из,...,и„) векторов иы из,..., и„пространства К". В этом случае мы будем говорить, что на множестве У определена внешняя дифференциальная форма ь»(х) степени т. Согласно теореме 1.1 справедливо равенство ы(х) = ) ь»;»;,;„(х)е" '"'""", з<»»<»г«" »„<а где е""' -"" есть кососнмметрнческая функция, значение которой для системы векторов и; = (ио, и,в,..., иьз), г = 1, 2,..., г, задается равенством и»~ и1» ...
им„ из*', из;г . из '„ (2.1) е" """'"" (иы из,..., и„) = иг»» иг»г ' ' ' иг»„ Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 298 Палее используются следующие обозначения. Полилинейная функция е" "'"" обозначается одним из следующих двух выражений: Нх" Л дх" Л - Л Нх'" или Нх" дх"...сЬ'".
Целесообразность такого обозначения будет видна из дальнейшего. Предварительно опишем формальные правила, посредством которых определяются некоторые алгебраические операции с внешними дифференциальными формами. Пусть и — произвольное натуральное число. Тогда символом $„, как обычно, обозначается отрезок множества натуральных чисел 1з1, состоящий из всех чисел й Е 'г1 таких, что 1 < й < п. Пусть т Е Я.
Множество всех конечных последовательностей (еыгз,...,г,), где ты 1з,..., т„— элементы множества П„, будем обозначать символом 6'„. Множество $"„есть прямое произведение 1„Х1„Х Х1„. т миожителеи ш(х) = ,'~ ы;,; (х)дхидх"...Нх'". (2.2) и<и< л Можно рассматривать $'„также как множество всех отображений отрезка Н„в множество 1„. Элементы множества Н„" будем (имея в виду дальнейшие приложения) называть наборами индексое. Пусть даны наборы индексов 1 Е П'„и 1 Е Н'„. Тогда символом (1,1) обозначим набор индексов К Е й"„+', который получается, если к 1 приписать справа индексы, составляю1цие 1 в таком порядке, в каком они входят в,Х.
Первые т компонент набора индексов К совпадают с соответствующими компонентами набора индексов 1, а следующие я компонент совпадают с соответствующими компонентами,7. (Формально К = (йы йз,..., й„+,), где йе — — ге при 1 = 1, 2,..., т, и й,+е — — зе при 1 = 1,2,...,я.) Аналогично, если мы имеем произвольное конечное число наборов индексов Хь, й = 1,2,...,т, то выражение Хг = (1ы1з,...,1„,) означает набор индексов, получаемый, если выписать сначала индексы, составляющие 1ы в порядке их нумерации, затем написать компоненты набора индексов Хз, расположив их в порядке нумерации, и т.
д., и, наконец, последние т компонент набора индексов К, взятые в порядке следования, образуют набор индексов 1 СовокУпность всех набоРов индексов Х = (еы гз,...,1,) Е 1т таких, что г1 < ез « .. г„, будем обозначать символом Я„". Множество о'„", очевидно, определено только при т < п.
Видим, что Я„" состоит из единственного элемента — набора индексов (1,2,...,п). Пусть ХХ есть открытое множество в пространстве 1к". Предположим, что на множестве ХХ задана внешняя дифференциальная форма м степени т, где 1 < т < и, 299 з 2. Исчисление внешних дифференциальных форм Всякому набору индексов 1 = (гы ~з,...,~ ) Е Я„" отвечает вещественная функция м„;,;„= шы определенная на множестве П.
Введем также следующее обозначение. Для 1 = (г„~з,..., г,) Е Я„' полагаем йх = ох" Йх"... ох'". В соответствии с этим равенство (2.2) сокращенно может быть записано следующим образом: м(х) = ~~> муйхг. Геь„" Данное равенство так же, как и развернутую его форму, которая дается равенством (2.2), будем называть каноническим предстпаелением внешней ди44еренциальной Формы ы(х). Пусть м(х) и д(х) есть внешние дифференциальные формы степени т, определенные на открытом множестве У пространства К". Для всякой точки х Е о определены кососимметрические полилинейные функции м(х) и 0(х) степени т.
Их сумма м(х) + 0(х), очевидно, также представляет собой некоторую кососимметрическую функцию. Коэффициенты функции т = ы + д выражаются равенствами тя = и~ + дс. Будем говорить, что внешняя дифференциальная форма ш принадлежит классу и', если все ее коэффициенты есть функции класса в'. Под внешней дифференциальной формой стпепени О в области У понимается просто вещественная функция, определенная на множестве П. Степень внешней дифференциальной формы ш обозначается символом с1ей ш. Внешняя дифференциальная форма ш называется мономом, если она может быть представлена в виде ш = них~, т.
е. если все ее коэффициенты, кроме, может быть, одного, обращаются в нуль. Всякая внешняя дифференциальная форма является суммой конечного числа мономов. Установление различных свойств внешних дифференциальных форм поэтому часто может быть сведено к случаю, когда внешняя дифференциальная форма есть молом. Отметим, что полилинейная функция т векторов в пространстве К" в случае т > и тождественно равна нулю, как следует из леммы 1.3, ибо при т > п любые т векторов пространства К" линейно зависимы. Пусть дан произвольный набор индексов Х = (~м гз,...,~,) Е $'. Выражению ох~ = ох'Мх"...
Нх" согласно определению, данному выше, соответствует полилинейная функция е" "'"'". Эта форма косо- симметрическая. Заметим, что в определении внешней формы е"""" "" нет необходимости требовать, чтобы индексы гы гз,..., ~„образовывали возрастающую последовательность. Будем считать, что ох~ = Ых"Нх" ...ох" 300 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях означает полилинейную функцию е" "'""" также и в случае, когда Х не принадлежит Я„'. Пусть дана перестановка а; 1е — ~ 1, Предположим, что набор индексов,7 = (г,,г „...,в',) является перестановкой набора индексов Х.
Так как определитель является кососимметрической полилинейной функцией своих столбцов, то, как следует из леммы 1.2, имеет место равенство Нх = о(а)Нх . (2.3) Если среди индексов 1ы1з,..., 1, есть одинаковые, то определитель (2.1), посредством которого задается величина е""'"'" (иы из,..., и,), имеет два одинаковых столбца и, следовательно, в этом случае Нхх = О.
Рассмот им некото ые частные сл чаи. Базисные внешние формы первой степени суть дх~,дхз,...,Нх". В соответствии с этим каноническое представление всякой внешней дифференциальной формы ы степени 1 имеет вид ы(х) = ,'> м;(х)дх'. Множество Я„", как было отмечено выше, состоит из единственного элемента — набора индексов Х = (1,2,...,п). Поэтому имеется только одна базисная внешняя форма степени и, а именно, форма Нх ах ... ах". Для произвольной системы из и векторов из, из,..., и„ величина дх~ахз...йх"(им из,...,и„) есть определитель, у которого г-я строка при каждом г' = 1, 2,..., и совпадает с вектором и;. Каноническое п е ставление всякой внешней и е енциальной о мы ы степени и имеет ви ы(х) = Й(х)ах Нх ... дх". Рассмот им внешние и е ен иальные о мы степени и — 1 Имеется в точности п наборов индексов, принадлежащих Я„" '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
