1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. задано отображение г: (х„х,...,хо ел и и г(х,,х,,х )он. й множителей Будем говорить, что Г есть пояидинейнвя функция степени к, если прн каждом г' = 1, 2,..., к функция Г линейна относительно Х; при фиксированных значениях векторов Х, с з ~ г. Иначе говоря, для всякого г = 1,2,..., и, для любых векторов Хы..., Х; ы Х,', Х,", Хгь м... Хй и любых чисел сн и )1 выполняется равенство Г(Хз,...,аХ,'+ ~3Х,",...,Хй) = = сеГ(Хы..., Х,',..., Хй) + 13Г(Хы..., Х,",..., Хй). Полнлннейная функция степени и называется также к-линейной функцией нлн иначе к-линейной формой. В случае к = 2 полилинейная з 1. Полнпинейные функции и попивекторы 281 функция степени й называется билинейной функцией или билинейной формой.
Ланное определение не исключает случай и = 1. Лля и = 1 понятие Й-лийейной функции совпадает с понятием линейной функции. П ив ем некото ые п име ы. Пример 1, Скалярное произведение (Х,У) = ХгУг + ХгУг + + +Х„У„является билинейной формой в К". Пример 2. Пусть п = 1. Лля ХмХг,...,Хь Е К положим Р(Хг, Хг,..., Хь) = ХгХг... Хы В силу известных свойств операции умножения чисел функция Р, очевидно, является полилинейной формой в векторном пространстве К. Пример 3. Пусть (вмиг,...,и„) есть базис пространства Х.
Предположим, что даны векторы Хм Хг,..., Хь пространства Х, причем при каждом г' = 1,2,...,й вектор Х; относительно данного базиса имеет координаты (Хп, Хгг,..., Х;„). Зададим произвольно номера гг, гг,..., гь и положим Хг;, ... Хгз, Хгге ... Хг,, х„, Хгй, и"""'"" (Хм Хг,..., Хь) = (1.1) Хь,, Хь,;, ... Хь,, В силу известных свойств определителей функция пй"1""'1" есть Й-линейная функция в пространстве Х. Найдем вы ажение ля значений полилинейной нк ии Е че ез ° Лемма 1.1.
Пусть Е есть произвольная Ъ-линейная функция в пространстве Х н иы иг,..., и„— базис пространства Уь. Для произвольного набора индексов 1ы гг,..., 1ь положим ~зйг -п Р(пй пзг %а). Пусть Х; = Хслпг+Х;гиг+ ° +Х;„и„, 1 = 1,2,..., й. Тогда имеет место равенство и и и Г(ХыХг,...,Хь) = ~ . ~ ,'> Г,„,...,„Хгг,Хг~,...Хь,, (1.2) п=а Ь=г й=г кое инаты векто ов Х Х ... Х . Результат содержится в следуюгцем предложении. 282 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Яоказательство. Лемма доказывается индукцией по»с. Для и = 1 лемма верна в силу известных свойств линейных функций.
Предположим, что для некоторого й лемма доказана, и пусть Г есть полилинейная функция степени Й+ 1. Положим Е,„~,(Х»,Хз,...,Хь) = = Г(Х»,Хз,...,Хып»,„,»). Очевидно, Г,, есть»е-линейная функция в Х. Для произвольного набора индексов у», уз,..., зь положим 1»»2-.п 1»+1 3»+1( й >»27 ' ' '1»1)' (1.3) В силу предположения индукции получаем Р„+,(Х„Хз,...,Хь) = ',»,' " ",», '~» , 'Г,„,.,,„,+,Х„,Х„,... Хь,» зя=» б=з Имеем Хьч.з —— ~ Хь+ц»,,,ць+ц,,,, Подставляя это выражение в Г(ХыХз,...,Хы Хь+»), ввиду линейнос- ти Г относительно Хь.».» выводим Г(Х„Х„...,Х,,Х,+,) = п = Г ХыХз,...,Хы з Хь+»б,,,ць+..., м»-1 = ~ ~' Г,„,(Х„Х„...,Х,,)Х„,,„,.
Числа Г „,, в представлении (1.2) полилинейной функции ~ на- зываютсЯ ее ноз44ициентами относительно базиса 1п»,цз,..., ц„) пространства Х. Рассмот им некото ые частные сл чаи. Пусть Х = К" и 1с = 2. Согласно лемме 1.1 для всякой билинейной функции Г (т. е. полилинейной функции степени 2) в пространстве К" величина Г(Х, У) выражается Подставляя в это равенство выражение для Г,,+, (Х», Хз,..., Хь), которое дается формулой (1.3), после очевидных преобразований получим, что равенство (1.2) остается верным, если»с заменить на и+ 1. Лемма доказана. ° 283 3 1.
Полилинейные функции н полнвекторы через координаты векторов Х и У равенством, которое может быть записано в виде в и Г(Х,У) = ~~ ~ а; ХУ. а=1 1=1 Представим это выражение в другой форме. Пусть А есть матрица аы а1з ... а1„ ам азз аз а„з а„з ... а„„ Будем называть ее матрицей коэффициентов билинейной функции Г. Имеет место равенство Г(Х, У) = (Х, АУ). (1.4) Матрица А равенством (1.4) определяется однозначно, Действительно, для всякого 1 = 1,2,..., и имеем Ап = (а1,, аз,,..., а„). Отсюда получаем, что (ц;, Ап,) = а;, так что матрица А в представлении билинейной формы определена однозначно. Билинейная функция Г(Х,У) называется симметрической, если Г(Х, У) = Г(У, Х) для любых векторов Х, У Е Х.
Функция Г(Х, У) называется кососимметрической, если Г(У,Х) = -Г(ХУ) для любых Х, У Е Х. ля сл чая Х = Е" выясним какова олжна быть мат ица би- линейной нк ии Г для того чтобы она была симмет ической или кососиммет ической. Функция Г(Х,У) = Г(У,Х) билинейна. Имеем Г(Х, У) = (У, АХ). В силу известных свойств скалярного произведения (У, АХ) = (А'У, Х) = (Х, А*У), где А* означает транспонированную матрицу А. Мы видим, что А* есть матрица билинейной формы Г. Матрица билинейной формы — Г есть, очевидно, матрица — А.
Следовательно, мы получаем, что если форма Г симметрична, т. е. Г = Г, то А = А*. Это означает, что в этом случае матрица А является симметрической. Нетрудно видеть, что и обратно: симметричность матрицы А влечет симметричность билинейной формы Г.
Аналогично получаем, что форма Г является кососимметрической в том и только в том случае, если А* = — А, т. е. матрица А кососим- метрическая. 284 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 1.2. ПОНЯТИЕ КОСОСИММЕТРИЧЕСКОЙ ПОЛИЛИНЕЙНОЙ ФУНК ИИ Полилинейная функция Г(ХМ Хз,..., Хь) называется кососимметлричесной когда она меняет знак, если поменять местами два ее произвольных аргумента. Кососимметрические полилинейные функции в дальнейшем будут одним из основных объектов изучения.
Поэтому ассмот им етально некого ыеих свойства. Пусть Г есть й-линейная кососимметрическая форма. Тогда если среди векторов Хм Хз,..., Хь есть два одинаковых, например Х; = Х,, где з' ~ з, то Г(ХМХз,...,Хь) = О. Пействительно, если поменять в выражении у = Г(ХМ Хз,..., Хь) векторы Х; и Х, местами, то в силу кососимметричности величина у умножится на — 1. С другой стороны, при такой перестановке последовательность (ХМХз,...,Хь) не изменится и, значит, имеет место равенство — у = у. Следовательно, у = О, что и требовалось доказать. Напомним некоторые сведения из алгебры.
Перестановкой порядка т называется всякое биективное отображение а: 1, — 1„где П, есть отрезок 11, 2,..., т) множества натуральных чисел М. Множество всех перестановок порядка т далее обозначается символом Р,. Пусть а — перестановка порядка т. Полагаем а(г) = а;. Мы получаем набор индексов (ам аз,...,а,) и далее будем говорить, что задана перестановка (ам аз,..., а,) порядка т. Пусть даны перестановка а = (аз,аз,...,а,) порядка т и набор индексов 1 = (зыгз,...,г',). Тогда определен набор индексов д = (1ыуз,...,у,), где 1ь = го, для всех 1с = 1,2,...,т. Будем говорить, что «1 получается из 1 посредством перестановки а»ь и писать 1 = 1 о а.
Перестановка а Е Р„называется тлранснозицией, если можно указать числа й,1 Е 6, такие, что Й ~ 1, аь = 1, а~ = й и а; = г, если з ф Й, ю' ~ 1. В этом случае будем также говорить, что а есть тлранснозиция элементов Й, 1 множества з . Всякая перестановка а Е Р„может быть представлена как суперпозиция конечного числа транспозиций. Как известно из алгебры, всякой перестановке а Е Р, может быть сопоставлено некоторое число п(а) = ~1 такое, что выполняются следующие условия: 1) для любых а,Д б Р„выполняется равенство п(ась) = п(а)п(11). 2) если а есть транспозиция, то п(а) = — 1; 3) если перестановка а может быть представлена как суперпозиция т транспозиций, то, как следует из данных условий, а(а) = ( — 1)™.
з 1. Полилинейные функции и поливекторы 285 Число а(о) называется сигнатурой перестановки о. Перестановка о называется четной, если п(о) = 1, и нечетной, если сг(о) = — 1. ° Лемма 1.2. Предположим, что Г есть кососимметри ческая поли- линейная функция степени й ) 2. Тогда для всякой перестановки о порядка й имеет место равенство Г(Х,Х,...,Х,) = п(о)Г(ХыХз,...,Хь). (1.5) Г(Х „Х „...,Х,) = = (-1)~Г(Хы Хз,..., Хь) = п(о)Г(Хы Хз,..., Хь). Лемма доказана.
° ° Теорема 1,1, Пусть векторы пы пз,..., п„образуют базис лростРанства Х. ДлЯ пРоизвольного набоРа индексов 1ы3з,...,1ь пУсть пй~'"'з' есть лолилинейная кососимметрическая функция, определенная равенством х,, х,, ... х... Х,1, и"""'"(ХыХз,...,Хь) = (1.8) Х,, Х,, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
