1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 260 е ~ р, фу /л )/=~ м. н.р * д ~ыутьпу < ~ ( з~-~.(*)~ ' о яет заключить что если функция Г(х) интегрируема, то интегрируема также и функция Щх)~. Для произвольной функции | Е з( ) полагаем !!и,, = Щх)! Нх. Ж" Для интегрируемых комплексных функций справедливы следующие утверждения. А) Для всякой интегрируемой функции |': К" -+ С и любого комплексного числа с = а + зЬ имеют место равенства | с1(х)ех=с Ях)ох, 0сДь = ~сфДь,. Ж" Ж" В) Для любых интегрируемых комплексных функций | и д функция У + д интегрируема.
При этом (У(х) + д(х)] Их = Х(х) Их + д(х) ~1х. Ж" | Ж Ж" П роверку данных утверждений мы предоставляем читателю. г гКп~ Согласно лемме 1.2 для всякой комплексной функции класса Ьз г выполняется неравенство Дх)пх < Щх)~дх. (5.1) оизвольнал последовательность комплексных Пусть (у„)„ен есть пр функций, сходящаяся почти всюду к функции ~: ~ . р ~: К" ~ С. П едположим, что каждая из функций у„интегрируема и существует интегрируемая функция Г: К" — К такая что при каждом и для почти всех х Е К" выполняется неравенство ~Ях)~ < г"(х). Тогда предельная функция У интегрируема,причем | Дх)дх = йп Ях)йх. Ж- Ж" 261 З 5.
Преобразование Фурье Данное утверждение непосредственно следует из теоремы Лебега о предельном переходе (следствие теоремы 4.3 главы 13). В дальнейшем, употребляя выражение теорема Лебега о предельном переходе, мы будем иметь в виду именно это утверждение, сформулированное сейчас. Формула замены переменных в кратном интеграле (теорема 8.1 главы 13) верна также и для случая комплексных интегрируемых функций. Теорема Фубини (см.
З 7 главы 13) тривиальным образом распространяется на случай комплексных функций. 5.1.2. Для векторов х = (хм хо,...,х„) и 1 = (зз,1з,..., з„) пространства И" символ (х,1) означает их скалярное произведение, т. е. (х,г) = з хь1ь. я=1 Пусть дана функция ~ Е Ь|(К"). Для всякого 1 Е К" функция х е'<*ОДх) переменной х измерима, причем )ец*">Дх)( < )1(х)) для всех 1 Е К". Отсюда следует интегрируемость этой функции. Полагаем ~(1) = еб*'1дх) дх.
и" Правая часть этого равенства определена и конечна для всех 1 Е К", и, таким образом, мы получаем некоторую функцию 7"(з) в пространстве К". Эта функция называется преобразованием Фурье функции У. ь ллы л» щ м~ ьур р л фу лее обозначается знаком над символом, обозначающим функцию. С о м ли ем некото ые п остые с в о й с т в а п еоб азования Ф ье делос ственно вытекаю ие из его оп еления.
Г1. Преобразование Фурье линейно, т. е. если ~ и д есть произвольные вещественные функции класса Ь|(К"), о и,д — вещественные числа и Й = о~ + 13д, то имеет место равенство Ь = о 'г +,бд. Р2. Пусть Л > 0 и функция ~ Е Л~(И"). Положим бАДх) = ~ (-). ~Л/ Тогда имеет место равенство Ь„У(1) = Л"У(Л~). 262 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье ЕЗ. Для произвольного вектора Ь Е К" и функции ~: К" — С положим газ (х) = з (х+6). Если функция ) интегрируема, то для любого й б К" выполняется равенство т~,Д() = е '( ' ) (((). Утверждения г 1, Е2, ЕЗ доказывается простым применением формулы замены переменной о кратном интеграле. Г4. Для любой функции ~ Е Г,1(К") функция )г ограничена и непрерывна в К", причем для всех (,б К" имеет место неравенство !Л()! < !!У!!ь,(и-).
Действительно, так как !е'(* ~)Дх)! = !((х)/, то, значит, /((()! = е'(*')Ях) дх < Щх)! е(х = !!Д~,(~), и" что и требовалось доказать. Для любой последовательности ((„) „ещ точек пространства К", сходящейся к точке (о Е К", имеем е~(*п )дх) е~(*по)д ) при и -~ оо. При каждом и имеем !е'(*' ")Дх)! = Щх)!. Функция !Я интегрируема, и в силу теоремы Лебега о предельном переходе мы получаем, что („((„) = е'(*'~")Ях) дх — е'(*")Дх) е(х = )((о) при и — оо. Тем самым установлена непрерывность функции ('. Й р * р ~ ю Г4 * ду длс~лю авноме ной но мы и еоб азования Ф ье нк ии Х К": З 5.
Преобразование Фурье Гб. Пусть (~„)„еи есть послецовательность функций класса Е1(К'"), сходяшаяся в Е1 к функции ~ Е Ь1(К"). Тогда функции ~„при ь — оо сходятся равномерно на пространстве К" к функции У, ~„:з ~ на К" при и — оо. Действительно, при каждом и е М имеем Если правая часть последнего равенства стремится к нулю при и — оо, то !!У У !!ь (и«1 — 0 при и -+ со. Это, по определению, и означает, что ~„~ ~ на множестве К" при и -+ оо. В качестве примера найдем здесь преобразование Фурье некоторой конкретной функции. г Пример. Пусть дана функция Дх) = е ~*~ переменной х б К". Данную функцию называют также гауссовой функцией. Она имеет важные применения в теории вероятностей.
Найдем здесь ее преобразование Фурье. Имеем Применяя теорему Фубини,получим, что (5.3) Видим, что дело сводится к рассмотрению одномерного случая. Имеем 2 1' ~р(1) = е'"* * с~х = / е * созИИх+з / е * з1пИНх. Второй интеграл в этом равенстве равен нулю, так как подынтегральная функция в этом интеграле н е ч е т н а. Следовательно, мы получаем, что я у(1) — е соз 1х Нх. 264 Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье На" ем п оизво н ю ' 1 . Применяя теоремы о дифференцировании интегралов, зависящих от параг4етра, получим равенство — (~) = / — (е * сов1х)дх. ~~ф а 2 д1 /а Отсюда имеем равенство у11) = [ — е * хв1п1х]ах. Последний интеграл преобразуем по формуле интегрирования ио ча- стяи. Получим ОО ОО '1г) = — з1п х1 а1е * ) = — в1п х1 е * ] — — е * $ соз х1 дх. Внеинтегральные члены здесь обращаются в нуль, и в результате мы приходим к соотношению 1 р'[1) + -М$) = 0 2 Имеет место равенство "( ~'/4 [1)) 4'/4 ~ Р[~)+ ~ [1) Отсюда получаем, что для данной функции у справедливо соотношение — (е' /~ср[М)) = О, ~й и стало быть, функция е" /4~р(1) является и о с т о я н н о й, т.
е. — 1~/4 /4(р[1) — с Отсюда р[~) се — 1 /4 Найдем постоянную с, полагая ~ = О. Имеем с=у[0)= е * дх=з/т З 5. Преобразование Фурье 265 В силу равенства (5.3) получаем, что преобразование Фурье функции /: х Е К" «е «*«есть функция у(~) ««/3 — ~м)~/4 (5.4) Применим к функции /(з) = е * переменной з Е К" предложение Г2. Для произвольного Л > О пусть блаз) = /(з/'Л). Согласно предложению Р2 выполняется равенство б /(Х) = Л"У(Л8). Отсюда вытекает, что для всякого Л > О преобразование Фурье функ- ции имеет вид [~(1)[ < 2" ~(Т + 1)"о~ ~Ю (5.5) .Показательство.
Сначала рассмотрим случай, когда /' есть ступенчатая функция. Достаточно рассмотреть случай, когда У есть иидикатор некоторого п-мерного бруса. Пусть Ч = [аы Ь1) х [аз, Ьз) х х [а„,6„) и / = 1/~ есть индикатор Ь/. Тогда простые вычисления показывают, что и«) = П '"'",,""" (5.6) ьж1 е«м «««1 Функция 1 Е Л н есть преобразование Фурье индикатора промежутка [а, 6) и, следовательно, является ограниченной. Используя оценку предложения г 4, получим, что «и «««» < Ь вЂ” а.
е — х /'«е-л к /4(Лз/к)«« Полагая Л = з/2, получим, в частности, что преобразование Фурье 2 «3 функции е * /з есть функция е * /з(2к)"/з. ° Теорема 5.1, Пусть / есть функция класса 11(К") в пространстве К", /« — ее преобразование Фурье. Тогда /(1) - О при ф -+ оо. При эхом если функция / непрерывна и /(з) = О лри [з[ > Т,, где О < Е < оо и ь«есть модуль непрерывности функции /', то лри [1[ > к имеет место оценка Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Таким образом, мы получаем, что каждый множитель в произведении (5.6) является ограниченной функцией. Пусть | < оо является верхней границей для каждого из этих множителей. Зададим произвольно е > О и положим 2Ь" 'з/й+ 1 Я Пусть точка 1 = (с1,1з,..., г„) такова, что ф > К.
Тогда 1з+1г + +,з > Кг и, значит, по крайней мере для одного номера Й, 1 < Й < п, выполняется неравенство Кг 1ь > —. и Пусть это будет номер йо. Тогда для данного 1 абсолютная величина 2/й множителя с номером ко в произведении (5.6) меньше —. Каждый К из остальных множителей не превосходит Ь. В результате получаем, что если ф > К, то для данной функции 1 имеет место неравенство 2Ь" 'з/и ~Д1)~ < < е. Так как е > О произвольно, то тем самым доказано, что й1) — О при ф — ~ оо.
Из доказанного очевидным образом вытекает, что для всякой ступенчатой функции ~ справедливо соотношение 1пп ~(1) = О. й~ оо Пусть ~ есть произвольная функция класса Х з(Е"). Согласно определению интегрируемой функции найдется последовательность ступенчатых функций (1„) ен, сходящаяся к функции ~ в Ь|. В силу предложения Г5 тогда будем иметь й1) Л1). Так как Бш 1„(с) = О при каждом и, то в силу известных свойств Щ со равномерной сходимости (см. теорему 1.4 главы 12) отсюда вытекает, что также и 1пп Д1) = О. ~й-~со 267 З 5. Преобразование Фурье Рассмот им специально сл чай ког а нкция неп е ывна и об ается в н ль п и х П О. Пусть г ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
