1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Полагая в нем х = 1г, по- лучим, принимая во внимание, что сов пег = (-1)а для всякого целого и, следующее равенство: з 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 253 Полагая ая = х, получим равенство сов х 1 - ~ 1 1 = — +'~ З1ПХ Х ~-~ ~ПЯ+ Х ПЯ вЂ” Х и=1 (4.17) верное для всякого х, не являющегося целым кратным я. Равенство (4.17), установленное в примере 2, позволяет получить некоторое замечательное представление функции ьйп х в виде бесконечного произведения.
Именно, справедлива следующая теорема. ° Теорема 4.5. Для всякого х Е К имеет место равенство (4.18) Доказательство. Сначала докажем, что бесконечное произведение в правой части равенства (4.18) является сходящимся для любого х Е К. Зададим произвольно х Е К. Пусть й Е М таково, что ~х~ ( и. х2 Тогда при и > й имеем неравенство 1 — > О. ягпг Воспользуемся результатом теоремы 5.2 главы 11. Пусть дано бесконечное произведение (4.19) Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что Я(х) = 21п х для всех х Е К. Сначала докажем, что равенство (4.18) верно для х из интервала (О, 1Г). такое, что числа 1„все имеют один и тот же знак, причем 1+ 1„> О для всех п > т. Тогда бесконечное произведение (4.19) сходится в том и только в том случае, если сходится ряд 2, 1„.
Применим это утверают г хг ждение к случаю, когда г„= — —, Гп = й. Ряд 2 является „гпг' „-,„ГГ и сходящимся, откуда получаем, что бесконечное произведение (4.18) сходится для любого х Е К. Вв ем сл ю ее в еменное обозначение. Положим Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 254 Если х б (О,т), то все множители в бесконечном произведении (4.18) положительны. Так как данное бесконечное произведение сходится, то сходится ряд (4.20) Пусть Г(х) = 1пЯ(х) есть сумма эгпого ряда.
Рассмотрим ряд, получаемый почленным дифференцированием ряда (4.20). Производная хз функции х ~ 1п 1 — — ) равна язггз ) -2х 1 1 хв изгзз — хз ггх + х юг — х 1— изпв Таким образом, почленно дифференцируя ряд (4.20), мы получаем ряд (4.17). Пусть е > О, причем 2е < в. Тогда, как нетрудно показать, найдется постояннвл М(е) < оо такая, что для любого х б [е, я — е] выполняется неравенство ! -2х М(е) < —. ггвпз — хз па Отсюда следует, что ряд (4.17) сходится равномерно в промежутке [е, в — е] при любом е > О.
Таким образом, ряд, получаемый из ряда (4.20) почленным дифференцированием, равномерно сходится на промежутке (е,х — е) при любом е > 0 таком, что 2е < я. Следствие теоремы 2.4 главы 12 позволяет теперь заключить, что функция Г(х) — сумма ряда (4.20) — дифференцируема на промежутке [е,я — е] при любом е > О, удовлетворяющем условию е < 2в, и эта производная равна сумме ряда (4.17). Отсюда вытекает, что функция Г(х) = 1п Я(х) является дифференцируемой в интервале (О, я). При сов х этом Г'(х) = —.
для всех х из этого интервала. Следовательно, мы в1п х получаем, что Г(х) = 1п(в1пх)+ С, где С = сопев для всех х б (О, я). Отсюда Я(х) = е в1п х. з 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 255 Из представления, которым задается функция о', следует, что Я(х) о х Так как также и япх 1пп — = 1, а О х то ес = 1 и, значит, Я(х) = згпх для любого х Е (О,гг). Равенство Я(х) = еш х, очевидно, выполняется также и для х = О и х = я.
Чтобы доказать, что равенство (4.18) верно для всех х Е К, покажем, что для любого х Е К выполняется равенство Я(х + я) = — Я(х). Положим ю„()=*П( —;,). Имеем Я(х) = 1пп Я„(х) для любого х Е К. Функция Я„представ- а аа ляет собой полипом степени 2п + 1. Пе епишем этот полипом в иной о ме. Имеем Ьа1 1=1 Отсюда Я„(х) =, П (х + ая). (-1)а Заменяя в этом равенстве х на х + я, получим -* -=.;,;,,Пх "-= ( — 1)а Йа-а П [х+Ж+1) 1 (х+ )( +( +1) )= Ьа-а+1 (-1)а 1 ) П 1 (х+пгг)(х+ (п+ 1)я) =-"--Ч(--1)Р~ " ~" -)/ язпз йа-а+1 (х+ пя)(х+ (и + 1)гг) = -Я„1(х) ,„гпз Таким образом, для любого х Е К выполняется равенство (х + пгг)(х + (и + 1) я) а(Х + и — а-1 Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 256 Множитель при Я„1(х) стремится к единице при и -+ оо. Переходя к пределу, мы получим, что Я(х + я) = — Я(х) для всех х Е К. Из определения функции Я(х) непосредственно видно, что для всякого х б К справедливо соотношение Я(-х) = — Я(х).
По доказанному, Я(х) = сйп х для всех х б [О, я]. Пусть х ф [О, н] и х > О. Тогда найдется о Е Х такое, что 1 = х — пк е. [О, я]. Отсюда х = 1 + ои и, значит, Я(х) = ( — 1)" Я($) = (-1)" сйп 1 = з1п х. Таким образом, Я(х) = сйпх для любого х > О. Если х < О, то Я(х) = -Я(-х) = — ип(-х) = з1п х.
Мы получаем, что Я(х) = зш х для всех х б К. Теорема доказана. ° Полагая в равенстве (4.18) х = —, получим равенство 2' С точностью до тривиальных преобразований это уже известная нам формула Ваялвса. Из равенства (4.18) вытекает аналогичное азложение в бесконечное п оизв ение нк ии соех. Именно, справедливо следующее утверждение. Т Следствие 1. Для всякого х б К выполняется равенство 4хз -* и,, ) и=1 (4.22) Доказательство. Имеем равенство соя х = з1п (- — х). Требуе- ~2 мое представление функции соя х мы получим из равенства (4.18), заменяя в нем х на — — х.
2 Преобразуем отдельные множители в бесконечном произведении, получаемом из (4.18) в результате такой замены. Имеем 2 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 257 Заменяя в этом равенстве х на — — х, мы получим выражение 2 1+ — — — 1 — — +— Преобразуем его, вынося за скобки из первого множителя величину 1 2п+1 1 2п — 1 1+ — = , а из второго — величину 1 — — = В ре2п 2п 2п 2п зультате этих преобразований мы найдем, что 1+ — — — 1 — — +— 4пз (2п+1)я (2п — 1)я Это приводит к следующему п ставлению соз х в в е бесконечного п оизв ения: Применяя равенство (4.21), отсюда получаем Равенство, указанное в формулировке следствия, устанавливается пе- регруппировкой сомножителей в последнем равенстве.
Положим Имеем 258 Гл. 14. Ряды Ф ье и и еоб азованне Ф ье Отсюда Переходя в равенстве (4.23) к пределу при и — оо, получим равенство (4.22). Следствие 1 доказано. Т Равенство (4.18) позволяет установить некоторое замечательное соотношение для гамма-функции. Следствие 2. Для всякого х Е (О, 1) выполняется равенство Г(х)Г(1 — х) = (4.24) 61п тх 1 2 ... и и* Г(х) = Пщ п* ' = 1пп х(х + 1)... (х + п) А ° Заменяя здесь х на 1 — х, получим 12 ...п Г(1 — х) = 1пп (1 — х)(1 — х + 1)... (1 — х + п) Отсюда вытекает, что Г(х)Г(1 — х) = Бп1 а сои+1 — х (4.25) Первый множитель справа при п — оо стремится к единице. Из равен- ства (4.18) вытекает, что Это позволяет заключить, что знаменатель второго множителя в праабпзх вой части равенства (4.25) стремится к пре11елу, равному —.
Отсюда вытекает равенство (4.24). Следствие 2 доказано. 3 а м е ч а н и е. Формула (4.24) называется формулой дополнения для гамма-функции. Доказательство следствия. Воспользуемся следующим представлением гамма-функции в виде предела, установленным в з5 главы 12: 259 З 5.
Преобразование Фурье й 5. Преобразование Фурье В этом параграфе приводятся некоторые начальные сведения относительно так называемого преобразования Фурье интегрируемой функции. Разложение в ряд Фурье периодической функции дает ее представление в виде суммы простых гармоник, т. е. функций вида а сов пи+ Ьа1п ля. Преобразование Фурье позволяет получить аналогичное представление для произвольной интегрируемой функции, определенной на всей числовой прямой К. Здесь даются необходимые определения и устанавливаются некоторые простейшие свойства преобразования Фурье. Приводится способ восстанов ления функции по ее преобразованию Фурье (правило обрашения преобразования Фурье).
Понятие преобразования Фурье имеет различные приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных, в теории вероятностей, в некоторых вопросах современной теоретической физики и других разделах прикладной математики. Отдельные вопросы теории преобразования Фурье рассматриваются здесь для случая функций, определенных в пространстве К". В связи с этим приводятся некоторые дополнительные сведения из теории интеграла Лебега функций многих переменных. 5.1. ОпРепеление и простейшие свойствл пРеоврлзовлния ФуРье 5.1.1.
Палее рассматриваются функции на пространстве К". Понятия интегрируемой функции и интеграла были определены в главе 13 только для случая вещественных функций. Распространим эти понятия на случай функций со значениями в множестве всех комплексных чисел С. Пусть дана функция 1: К" — С, Дх) = и(х) + эп(л), где и(л) = = Ке Дт), а п(л) = 1тпДт). Будем говорить, что функция ~ измерима, если измеримы функции и = КеУ и п = 1тУ. Функцию ~ считаем инглегрируемоц, если и и и интегрируемы. В этом случае полагаем и" Совокупность всех интегрируемых функций ~: К" — С будем, как и в главе 13, обозначать символом Ь1(К").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
