1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В 1966 г. Л. Карлесон доказал, что для всякой функции 1 класса Вз([ — к, к]) ряд Фурье функции 1 сходится к ней почти всюду в [ — х,.г]. Свойство ряда Фурье функции сходиться к ней в некоторой точке имеет локальный характер — оно определяется только строением функции в малой окрестности данной точки.
Здесь будет установлено такхге достаточное условие равномерной сходи- мости ряда Фурье периодической функции, которое получается уточнением условий теоремы о лоточечной сходимости. з 3. Основные теоремы о сходимосги ряда Фурье в точке 227 3.1. ТеОРемА О ноточечпой схо имости Ря ов ФуРье Пусть 7': К вЂ” К есть 2к-периодическая функция. Будем говорить, что функция г удовлетворяет условию Лини в точке х б К, если существует 6 > 0 такое, что функция Р*(~) Дх + 1) — 27'(х) + Дх — 1) (3.1) Если функция 1: К вЂ” С непрерывна и удовлетворяет условию Гельдера с показателем о, где 0 < о < 1 (глава 2), т.
е. существуют постоянные Х, < со и и > 0 такие, что если ]хг — хг] < и, то выполняется неравенство йхг) У(хг)] < 4хг — хг] Отсюда следует, что в данном случае функция ~р,(1), определенная равенством (3.1), непрерывна в промежутке (О,п), причем выполняется неравенство ] р,(~)[ < 2И Это позволяет заключить, что функция у,(г) интегрируема по промежутку [О, и]. Если функция 1 интегрируема и дифференцируема в точке х б К, то 1 удовлетворяет условию Дини в точке х. Действительно, в этом случае Р*(~) Дх + 1) — 1(х) 1(х — 1) — Г(х) 0 при 1 — О. Отсюда ясно, что функция ~р,(1) ограничена в промежутке [0,6] для достаточно малых значений б и, значит, интегрируема в этом промежутке. Условию Дини мог т довлетво ять некото ые аз ывные нк- ции. Пусть х есть точка разрыва функции 1.
Будем говорить, что 1' интегрируема в промежутке [О, 6). Если 1 интегрируема на всяком отрезке [а, Ь], где а и Ь конечны, то на любом отрезке [р, д], где О < р < ' < д < оо, функция 1(х + 1) — 21"(х) + 7"(х — 1) интегрируема, функ- 1 ция — ограничена и непрерывна. Отсюда следует, что на всяком таком промежутке [р,д] функция у (1), определенная равенством (3.1), интегрируема.
Заключаем, что если 1 интегрируема на всяком ограниченном промежутке [а, Ь] и удовлетворяет условию Лики в точке х, то функция у,(1), определенная равенством (3.1), будет интегрируема на промежутке [О, д] для любого д такого, что 0 < д < оо. П иве ем п уме ы нк ий овлетво яю их еловую ини. 228 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье имеет в точке х правильный разрыв, если х есть точка разрыва первого рода функции У (т. е. У имеет в точке х конечные пределы слева и справа) и выполняется равенство Дх — 0) + Дх + 0) 2 Предположим, что в точке х функция У имеет правильный разрыв и существует б > 0 такое, что функция ~ дифференцируема в каждом из интервалов (х — б, х) и (х, х + 6), причем ее производная ограничена, [~'(1)[ < Х для всех 1 Е (х — б,х) О (х,х+ 6).
Тогда, как следует из тпеоремы Лагранжа о среднем значении (см. главу 4), для всякого 1 Е [0,6] выполняются неравенства [1(х+ Г) — У(х+ 0)] < И, ]Дх — 1) — 1(х — 0)] < И. Отсюда следует, что функция у *(~)— Дх + 8) — 2Дх) + Дх — 1) ~(х + ~) — ~(х + 0) ~(х — г) — Дх — О) непрерывна и ограничена в промежутке (О, 6) и, следовательно, инте- грируема в промежутке [О, 6]. ° Лемма 3.1.
Пусть У: К вЂ” С есть интегрируемая в промежутке [-я, т] 2т-периодическая функция и Я„(~; х) есть значение и-й частной суммы ряда Фурье функции ~ в точке х. Тогда имеет место равенство Я„(~;х) — 1(х) = — / [Дх+ ~) — 2Дх) + Дх — 1)]П„(1) Ш. (3.2) 1 1 2я,/ о Доказательство. Выражение для и-й часглиой суммы ряда Фурье функции ~ в точке х преобразуем следующим образом. Имеем Согласно определению коэффициентов ряда Фурье з 3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке для всякого целого х. Отсюда получаем, что 229 х П Я„(Г;х) = — / Ди) ,'> е' <* "~ди, 1 Г Й=-и т. е.
1 Г Я,„(Г;х) = — / Г(и)Р,„(х — и) 0и, (З.З) где Р„(и) = 2„е'"". Преобразуем правую часть равенства (3.3). ь=-а Имеем 1 Г Я„(Г;х) = — / Г(и)Р (х — и) гзи. 2гг Функция Г(х + г)Р„(1) переменной 1 имеет период, равный 2я, и в силу леммы 1.1 отсюда следует, что последний интеграл не изменится, если пределы интегрирования в нем заменить на -я и гг, т. е. Интеграл справа представим как сумму интегралов по промежуткам (-к, 0] и [О, я].
Имеем В первом из этих интегралов произведем замену переменной интегри- рования,полагая 1 = -и. После изменения обозначений получим Б (Г;*) = — / У(* — ~)Р (~) й+ — ! Х(*+1)Р (~) г1~, 1 Г 1 Г о о Произведем в интеграле справа замену переменной интегрирования, полагая и — х = ~. В результате, принимая во внимание, что Р„(1) = Р„( — ~), получим Гл. 14.
Ряды Фурье и преобразование Фурье 230 откуда Я„(~; х) = — I [Дх — ~) + Дх + ~)]Ю„(~) гМ. 2я,/ о (3.4) Функция Г(х) = 1 является тригонометрическим иолииомвм нулевой степени, и, значит, для нее Я„(~;х) = 1 для всех и > О. Полагая в равенстве (3.4) г"(х) ив ь 1, отсюда заключаем, что при любом п > 0 выполняется равенство 1 = — ( 2.0„(1) ог'. 1 2х .г' о 1'~ \Г е1п гг+ — ( 1 1 2( Я„Ц; х) — Дх) = — / [Дх + 1) — 2У(х) + У(х — ~)] гИ.
2я ./ з1п о 2 Для сокращения записи положим гр(г) = г(х+ г) — 2Дх) + г (х — 1). Как следует из леммы 1.1, функция 1 интегрируема на любом ограниченном промежутке [а, Ь], откуда следует, что функция у интегрируема на промежутке [О, я]. Так как по условию функция ~ удовлетвоИ~) ряет условию Дини в точке х, то для некоторого б > 0 функция— интегрируема по промежутку [О, б]. Отсюда следует, что она интегрируема также и по промежутку [О, я].
Имеем р(1) И~) в1п— з1п— 2 2 Умножая обе части этого равенства на Г"(х) и вычитая результат почленно из (3.4), получим (3.2). Лемма доказана. ° Основное утверждение о поточечной сходимости ряда Фурье функции, которое мы приводим, заключается в следующей теореме. ° Теорема 3.1 (теорема Дини о сходимости ряда Фурье в точке). Пусть г' К вЂ” С есть 2я-периоднчесггая функция, интегрируемая по промежутку [ — я,я].
Тогда если функции Г удовлетворяет условию Дини в точке х Е К, то ее ряд Фурье сходится в точке х и сумма его равна Г"(х). Доказательство. Пусть Я„(1;х) есть и-я частная сумма ряда Фурье функции г' в точке х. Тогда согласно формуле (3.2) будем иметь 231 з 3.
Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке Функция — непрерывна и ограничена на промежутке (О, я], отяш 2 р(1) куда следует, что функция г интегрируема на отрезке [О, я]. В силу яш 2 равенства (3.2) имеем Б„Ц;х) — Ях) = — / — з1п [ и+ — ) Фй. а 2 з1п— На основании следствия 1 тиеаремы Римана — Лебега (теорема 1.1 этой главы) интеграл справа стремится к нулю при и — оо, т. е. Я„(У; х) — 1'(х) -+ 0 для данного х при п — оо. Теорема доказана. ° Следующая теорема позволяет установить, что свойство ряда Фурье функции ~ сходиться к Дх) в точке х Е К, имеет локальный характер: оно полностью определяется строением функции 1 в малой окрестности точки х.
° Теорема 3.2 (принцип локальности теории рядов Фурье). Пусть ~: К вЂ” С и д: К вЂ” С есть 2я-периодические функции, интегрируемые ло промежутку [ — я,т]. Предположим, что для некоторой точки ха Е Е К существует е такое, что О < е < я и функции ( и д совпадают на множестве ]х — ха] < е. Тогда если для функции ~ ее ряд Фурье в точке ха сходится и его сумма равна Яха), то ряд Фурье функции д также сходится в точке ха и его сумма равна д(ха) = Лха).
.11оказательстно. Предположим, что функции 1 и д удовлетворяют условию теоремы. Положим Г(~) = Яха+1) — 2У(ха) + Лха — ~), О(~) = д(ха + ~) — 2д(ха) + д(ха — 1). Функции Г и О интегрируемы по промежутку [О, л], и из условия теоремы следует, что Г(г) = С(1) для всех 1 Е [О,е].
Пусть 5„(~; ха) и Я„(д;ха) есть значения для х = ха частных сумм с номером и рядов Фурье функций 1 и д соответственно. Тогда, как следует из формулы (3.2), имеют место равенства ып 1 Г 2 ( а зш 1 1' о (д'ха) — д( 'а) = — ~ Ж) 2я ./ а з1п— 2 232 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Отсюда получаем [Я„(1; хо) — 1(хо)] — [о' (д; хо) — д(хо)! = вш и+— — [Р(1) — а(1)] , ' ж. о ап— Так как Р(1) — 6(1) = О при О < 1 < е, то последний интеграл не изменится, если в качестве области интегрирования взять промежуток [е, к], т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
