1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Тогда г является функцией ограниченной вариации на промежутке [-Зт,Зт]. Из свойств функций ограниченной вариации, доказанных в главе 8, вытекает, что ~ на промежутке [ — Зт, Зт] допускает представление ) = д — Ь, где д и Ь есть непрерывные возрастающие функции. Положим гр,(г) = 1(х+1) — 2Дх) + Ях — 1). Имеем 2т „г 1 а Функция гр, выражается через функции д и Ь следующим образом: гр,(г) = [д(х + г) — Ь(х — 1) — У(х)] — [Ь(х + г) — д(х — г) + г(х)]. Положим гб,(1) = д(х + 1) — Ь(х — $) — 1(х) и О,Я = Ь(х + 1)— -д(х — 1) + Дх).
Функции ф и д, являются возрастающими на промежутке [О, т]. Эти функции непрерывны на этом промежутке, причем ф,(0) = д,(0) = О. Пусть аг1 есть модуль непрерывности функции д, агз — модуль непрерывности Ь. Тогда функция аг = ш1 + ыз является модулем непрерывности каждой из функций ф, и д . Представление разности Я„(г"; х) — Дх), вытекающее из леммы 3.2, запишем в виде т т В„У;х) - У(х) = ~'ф,(1)О„(1) И - — 1 д.(1)П„(1) 41+ В„(х,т), 1 Г 1 г а а 246 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье где Я„(...) = 1',,(1)Р„(1) .
1 Г 2я,/ Применим лемму 4.2, полагая в ней о = 4, и и = 9,. В результате получим неравенства т 1 à — / 4.(1)Р.(~) й о г 1 Г / ~~х(~)Ра(1) ~1~ 2л / о < 2Ьф,(г) < 2йш(т), < 2ГВ,(т) < 2Гяо(т), Отсюда вытекает следующая о енка ля азности меж и-й частной с ммой я а Ф ье и значением нк ии в точке х: ф„(Г; х) — Г(х)! < 4Гы(т) + 1Я„(х,т)!.
Данное неравенство выполняется для всех х Е [-я,я). Так как функции Г"(х) н Я„(х, т) имеют период, равный 2я, то последнее неравенство выполняется для всех х Е К. Зададим произвольно е > О. Так как и(1) — О при 1 -+ О, то найдется значение т такое, что О < т < я, и в то же время 4Гяо(т) < —. Согласно лемме 4.3 при и — оо функция Гь„(х,г) стремится к нулю Р * и нмО~~~~я ж, ~ >й е полняется неравенство !!Л„!!ь ~н1 < —. При каждом п Е Х выполняется неравенство !о.(Г'; х) - Г(х)! < - + !!11 !!ь <н1 и, значит, !~.у)-у!.
° <-'+!!л.!!. ' Отсюда видно, что 2 2 при всяком и > б. Так как е > О было взято произвольно, то тем самым установлено, что Я„(Г;х) =з Г(х) на множестве К. Теорема доказана. ° В 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 247 4.3. ИнтегРиРовлние и дифэеРен иРовлние Ря ов ФУРье ао — + ~(а„соз пх + Ь„еш пх) а=1 (4.11) есть ряд Фурье функции |, то ряд Фурье ее производной может быть получен почленным дифференцированием ряда (4.11). Яокнзательство. Пусть функция г" удовлетворяет всем условиям теоремы. Покажем, что тогда 7' является функцией ограниченной вариации на промежутке [ — !г, !г]. Зля всякого промежутка [11, 12] с [ — !г, !г], где 81 < 12, имеем ]У(12) У(11)! У (1) (11 !г < [У'(1) ! 41 Отсюда вытекает, что для всякой последовательности о = (1о — — -!г < 11 « .. 12 = !г) точек промежутка [ — я,!г] имеет место неравенство ь х ( (= 2 (УО'- УЩ( < 2 | (УЩ(~ж = | (~У'Щ(й.
(4.12( !ж1 1=1! 1-1 Правая часть неравенства (4.12) конечна, и тем самым доказано, что 7" есть функция ограниченной вариации на промежутке [-!г, !г]. По условию, функция ~ непрерывна, и, значит, согласно теореме 4.3 ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Пусть Ао — + ~~~ (А„созпх+ В„зшпх) аы1 есть ряд Фурье функции г"(. Имеем х 1~(х) ах = Дт) — Д-гг) = О ° Теорема 4.4. Пусть 1" есть 2х-периодическая функция. Предположим, что функция Г" непрерывна, дифференцируема в основном на множестве К и ее производная есть абсолютно интегрируемая (в смысле Ньютона) по промежутку [-т, я] функция. Тогда ряд Фурье функции | сходится к ней равномерно.
При этом если Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 248 в силу периодичности функции ~ и, значит, Ао — — О. При и > 1, приме- няя формулу иптеврироеания по часгпям, получим 1 1 А„= — ~ ~'(х)совпхах = 1 1 = — У(х) сов пх~ + — / Дх)п вш пх ах = па„. и хж -1Г х Аналогично, получаем 1 1 В„= — ( ~'(х) гйппхах = 1 ~*=" 1 Г = — Дх)вшпх~ — — ( 1(х)псовпхах = -пЬ„. и -х Таким образом, ряд Фурье функции 1' имеет вид (пЬ„сов пх — па в1п пх). а=1 Это в точности есть то выражение, которое получается, если продифференцировать почленно ряд (4.11). Теорема доказана. ° ао — + 7 (а„совпх+ 6 в1ппх) а=1 есть ряд Фурье функции ~.
Положим Определенная так функция г' является периодической на множестве И, ее ряд Фурье сходится к ней равномерно в И и имеет вид Ао з — Ь„сов пх + а„в1п пх г'(х) = — + з 2 и аж1 (4.13) Следствие. Предположим, что функпия 1", определенная на множестве И, имеет период, равный 2 к, и абсолютно интегрируема по Ньютону (т. е. в смысле определений главы 5) по промекгутку (-х, х]. Пусть З 4.
Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 249 где (4.14) ,Показательство. Действительно, для всякого х б К имеем Г(х + 2л) — Г(х) = Д~) й — яао. Так как функция | имеет период, равный 2я, то уЯсИ = Щйх = яао, и, следовательно, мы получаем, что Г(х + 2я) — Г(х) = 0 для любого х б К. Тем самым 2я-периодичность функции Г установлена.
Функция Г удовлетворяет всем условиям теоремы 4.4, и, значит, ее ряд Фурье сходится к функции Г равномерно. Пусть Ао Г(х) = — + ~> (А„совах+ В„з1ппх). 2 а=1 (4.15) Из теоремы 4.4 следует, что коэффициенты в разложении функции | в ряд Фурье выражаются через коэффициенты ряда Фурье функции Г следующим образом: а„= пВ и Ь„= — пА„.
Отсюда получаем п е ставление для коэ и центов А и В азложения яда Ф ье П ы * р (4.15), у р во (4.13). Из определения функции Г следует, что Г(0) = О. Полагая в (4.13) х = О, получим равенство (4.14). Следствие доказано. 4.4. ПРимеРы РАзлОжениЙ ФУнк ий В РЯ ы ФУРье Здесь мы рассмотрим некоторые примеры разложений в ряды Фурье для различных конкретных функций.
злее б ет полезно сл ю ее п остое з а м е ч а н и е. Пусть дана функция ~: (-я,я] — К. Возьмем произвольно х б К. Тогда найдется целое значение оз такое, что — я < х — 2тя < я. Такое значение пз единственно. Полагаем Г(х) = Дх — 2тя). Получаемая таким 250 Гл. 14. Рядьг Фурье и преобразование Фурье образом функция г' определена для всех х Е И и имеет период, равный 2х. Для всех х е ( — х, к), очевидно, Г(х) = г'1х). Будем говорить, что функция Р получена продолжением Х на все множество К с условием 2х-периодичности.
Прягмер 1. Рассмотрим функцию г: К вЂ” К, определенную следующим образом: Г1х) = х при -к < х < гг и Дх) = О. Продолжим У на все множество К с условием 2к-периодичности. График функции г выглядит, как указано на рис. 2. Рис. и Ряд Фурье данной функции ~ сходится к ней поточечно на множестве К. В данном случае справедливость этого может быть установлена применением любой из доказанных ранее теорем о ноточечной сходимости ряда Фурье функции.
Н "емкоэ и центы аФ ье нк ии Прежде всего заметим, что функция ~ нечетка на промежутке [ — х,х). Отсюда следует, что для любого н > О функция 11х)сових является нечетной и, значит, г"1х) сових дх = О для любого целого н > О. Таким образом, коэффициенты а„ряда Фурье данной функции г все равны нулю. На" ем коэ и центы Ь . При каждом н > О согласно формулам (1.15) имеем 1 ( Ь„= — / хяпихдх. $ 4. Разложения в рмл Фурье функций ограниченной вариедии 251 Интеграл преобразуем по форлгдлв интегрирования но частям. Получим х совах~»=» 1 1 2я ь„=— + — / сое пх Нх = — ( — 1)" н В результате получаем, что для любого х Е (-я,гг) выполняется равенство х . еш2х е1п3х — =ешх — — + — —....
2 2 3 Функция ~ данного примера, очевидно, интегрируема с квадратом на промежутке [-я, гг], и к ней может быть применено равенство Парсеваля для ортогональной системы тригонометрических функций ~ф р уш (2.16~ а .1, в и»»»»»» фр у л * сл~~ующим образом: [У(х)]'бх = я "+ ,'~ (а'„+ Ь'„) .
»ю1 Здесь ~ есть произвольная измеримая функция, квадрат которой интегрируем по промежутку [-я,гг]. Применяя эту общую формулу к рассматриваемому частному случаю, получим г |'— ,н = »ю1 Отсюда получаем следующее замечательное соотношение: ОО »=1 Пример 2. Пусть число о Е К не является целым. Определим функцию г: К -+ К„полатям г(х) = совах при х Е [ — к, и] и затем продолжив на все К исходм из условия 2я-цериодичности. Функция У четна, и рмд Фурье функции г сходится к ней равномерно на множестве К. Справедливость этого вытекает как из теоремы 4.3 этого раздела, так и из теоремы 3.3. Отсюда следует, что коэффициенты Ь„ее ряда Фурье равны нулю.
252 Гл. И. Ряды Фурье н преобразование Фурье Най ем коэ и центы а . Сначала заметим, что для любого числа Л ~ 0 имеет место равенство 2яп Ля сов ЛхНх = Л (4.16) Применяя равенство (4.16), получим, что 1 Г 2 яп а1г ао — — — / сов ах Их = а7Г При п > 1 имеем 1 / оа = — | совахсовпхех. Произведение под знаком интеграла преобразуем по формуле 1 сов ах сов пх =, — (сов(п + а)х + сов(п — а)х].
' 2- Применяя равенство (4.16), получим „-, 1 ~в1п(п+, а)1г, яп(п — а)1г 1г ~ п+а п — а Отсюда следует, что при п > О коэффициент аа ряда Фурье рассмат- риваемой функции выражается следующей формулой: ( — 1)а яп а1г 1 1 пав в' и+а и — а В результате мы получаем, что если а не является целым числом, то для всех х е ( — 1г, я] справедливо следующее равенство: япа1г11 а а( 1 1 совах = — + ~( 1)а ~ — — сов пх 2 ]и+а п — а~ а=1 сов а1г 1,~ ~ 1 1 = — +~ япах айаг ~-~ ] их+ а1г п1г — а1г а=1 Панное равенство выполняется для всех х е К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
