1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Далее, положим 4„(х) = ппп(1, ~р (х)). Для всякого х, для которого зяп1(х) = Бгп у„(х), также и йт т~„(х) = ппп(1,зал|'(х)) = зйп1"(х). Имеем последовательность ступенчатых функций (ф„)„ещ, для которой 4„(х) — зйпДх) для почти всех х Е К. При этом -1 < ф„(х) < 1 для всех х при каждом и Е М. По доказанному, при каждом р имеем равенство 4„(х)1(х) дх = О. 27б Гл. 14. Ряды Ф ье и л еоб азование Ф ье При и — со для почти всех х Е К произведение ф„[х) имеет пределом при и — оо величину зяпЯх)Ях) = [у[х)[.
Так как [ф„[х)1"[х)[ < < Щх)[, то в силу теоремы Лебега о предельном переходе ф„[хЯх) 4х Ях)] д, при и -+ оо. Так как интеграл в правой части этого соотношения равен нулю при всех и, то мы, следовательно, получаем, что [7[х)[ах = О, и, значит, 1'[х) = О для почти всех х Е К. Теорема доказана. ° Следствие. Пусть 1 и д есть две произвольные функции класса Т з [К").
Тогда если | = д, то Дх) = д[х) для почти всех х Е К. Действительно, пусть 1' и д — две интегрируемые функции на множестве К. Положим Л = 7" — д. Функция В принадлежит классу Аз[К), и ее преобразование Фурье Л = 1' — д = О. В силу теоремы 5.3 отсюда вытекает, что й[х) = О для почти всех х Е К, т. е. 1.[х) = д[х) для почти всех х Е К. Следствие доказано. Задачи 14.1. Доказать, что для всякой интегрируемой функции 1': К вЂ” К для лю- Ь бых а, Ь Е К сушествует предел 1пп ] г(х) я1п Лх сЬ. о~ а 14.2. Пусть 0: К вЂ” К есть непрерывная 2я-периодическая функция. Доказать, что если интеграл функции функции д по промежутку [ — х, х] равен д нулю, то для любых о,б Е К таких, что о < б, интеграл / д(Лх) сЬ стреа мится к нулю при Л -~ со.
14.3. Используя результат задачи 14.2, показать, что если О: К вЂ” К есть непрерывная 2х-периодическая функция такая, что ее интеграл по промежутку [-х, я] равен нулю, то для всякой ступенчатой функции ~ интеграл ] Ях)д[Лх) ах стремится к нулю при Л вЂ” оо. Ж Задачи 277 14.4. Пусть д) К вЂ” К есть непрерывная 2т-периодическая функция, причем интеграл функции )' по промежутку [ — т, т] равен нулю. Используя результат задачи 14.3, показать, что для всякой интегрируемой функции 7) К вЂ” К интеграл ] Г(х)д(Лх) ФЬ стремится к нулю при Л вЂ” оо. Ж 14.5. Пусть г') К вЂ” + К и д: К вЂ” К есть 2т-периодические функции, интегрируемые в смысле Лебега по промежутку [ — )г,)г].
Положим (~ * д)(х) = ],г (х — у)д(у) 66у. Локазать, что функция 7 * д есть интегрируемая по промежутку [ — т, т] функция и ее комплексные коэффициенты Фурье выражаются через комплексные коэффициенты Фурье функций ~ и д следующим образом: са(7' Ф д) = с„(Г)с„(д). 14 6. Пу П„) ) — ~Я)6 П „Ф,) ) — ) П„)~)4 П о что для всякого х Е К существует предел !)щ ФО(х) = Ф(х). Построить график функции Ф, определенной таким образом.
14.7. Пусть ФО(х) = ,') '-'ф*-. Показать, что последовательность функций /6=1 ()у„)„я)Ч ограничена в ЬОО(И), т. е. существует постоянная К < со такая, что [[ФО[[г, (и) < К для всех и. 14.8. Пусть функции Р„(х) и ФО(х) определены, как указано в задачах 14.6 и 14.7. Вычислить интеграл 1 [ ьйп пхф„(х)Р„(х) Нх.
14.9. Пусть функция Р„(х) определена, как указано в задаче 14.6. Положим ЬО Оп ф- ] [Р„(х)! сЬ. Показать, что ХО > С (ил+ВО, где С > 0 постоянная, а В„= 0(1) при и — у оо. (Указание. Воспользоваться результатами задач 14'.7 и 14.8.) 14.10. Пусть (о„)„я))) есть убывающая числовая последовательность такая, что 1пп гп„= О.
Локазать, что ряд 2 о„м"„"* равномерно сходится на О ОО 61 промежутке [-)г, т]. 14.11. Пусть г") И вЂ” И есть 2т-периодическая функция, интегрируемая в смысле Лебега по промежутку [-)г, )г]. Показать, что ряд 2 — "— „— является ь„гР 11 О=1 сходящимся. (Здесь г)„(~) = ) ] 7(х)з)ппхг)х.) 14.12. Пусть ~ ) [О, Фг] -у К есть функция класса С такая, что ) (О) = Дт) = О. Показать, что справедливо неравенство / [Дх)! )гх < ] [1 (х)! 66х, причем о о знак равенства здесь имеет место только в том случае, если Г" (х) = А зщ х. 2Т8 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 14.13 Пусть функция у: [-я,я] — К принадлежит классу С, причем з ( к) = з (к) и ],г (к) г(к = О.
Показать, что тогда имеет место неравен- ство [з.( )]г,~ < [зг( )]зй (неравенство Виртинеера). При атом знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда Дк) = Асовк+ Ввгпз. 14.14. Пусть (з(1), у(1)), 1 Е [ — к,к], есть параметризация гладкой кривой на плоскости, где параметр г = -~в, в — длина дуги, Ь вЂ” длина всей кривой. Имеем [з (1)] + [у (1)] = --~. Пусть А = — ] [к(г)у (г) — з (г)у(г)]гм' есть ориентированная площадь, ограниченная данной кривой. Выразить интегралы ] ([з (г)] + [у (Г)] ) гц и ] [з(1)у (г) — к (г)у(г)] гц через козффициен-я -в ты Фурье функций к и у.
Применяя полученные выражения, доказать, что Ь~ > 4кА, причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда к(Г) = ко + АсовГ + В вгпЗ, у(1) = уо — Всовз+ Авгпз и данная кривая есть окружность. 14.15. Пусть (Вв)„— о зд есть последовательность функций, определенных следующим образом: при п четном Д, = ~, ~'ф*-, а при п нечетном ОО ь=г имеет место равенство В„ = ~; '†'ф*-. Показать, что при каждом п > 1 я=1 функция Вв дифференцируема на множестве К, причем Д„(*) = В„~ (з) для всех з, а функция В1 (к) дифференцируема для всякого к ф пя, где п — целое число и В~[(к) = фо(к) для всех таких з. Показать, что ограничение функции Вп на промежутке (О,я] есть полипом степени и+ 1.
Написать явные выражения для функций Вп для и = 1, 2 и и = 3. Применяя формулу Парсеваля для рядов Фурье к функциям Вп для и = 1, 2,3, найти значения сумм н=з н=1 п=з 14.16. Положим Х = (О, оо). Пусть ю(к) = к "*. Показать, что последовательность полиномов (и„)„>Е, получаемая ортогонализацией системы функций ев(к) = з", п = О, 1,2,..., не является полной в пространстве Ьз(1, ю). (Указание. Показать, что для всякого гг > О имеет место равенство з~~ вгп(2к)ля)к ~" * ггк = ~/те~ " гйп2кгг, о и рассмотреть случай гг = -"хз~.) (Ланный пример был любезно указан ав- тору В. В.
Ивановым и С. А. Тресковым.) Глава 15 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСкзИСЛЕНИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ. ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ° Интегральное исчисление на многообразиях ° Понятие внешней формы ° Умноясение внешних форм ° Свойства операции внешнего умножения ° Операция дифференцирования внешней формы ° Свойства понятия дифференциала внешней формы ° Операция переноса внешней формы гладким отображением ° Первая и вторая теоремы Пуанкаре ° Понятие гладкого а-мерного псдмногообразия пространства К~ а Отображения класса С" с произвольной областью определения ° Понятие диффеоморфизма ° Свойства диффеоморфизмов ° Понятие края многообразия ° Касательная плоскость и касательное пространство в точке многообразия ° Мнохсества, задаваемые системой уравнений ° Определение плошади Й-мерного многообразия ° Ориентируемые многообразия, критерии ориентируемости, индуцированная ориентация края ° Обобшенная интегральная теорема Стокса ° Интегральная формула Стокса в пространстве зь ° Формула Остроградского ° Прилоясез ния обобщенной интегральной теоремы Стокса ° Обшая теорема Брауэра о неподвихсной точке ° 280 Гл.
15. Интегральное исчисление на многообразиях Й 1. Полилинейные функции и поливекторы В этом параграфе вводится понятие полилннейной функции. Полилинейная функция есть функция к аргументов — векторов пространства К", линейная по каждому аргументу. Устанавливается формула, которая выражает значение полнлннейной функции через координаты ее аргументов.
Рассматривается такяйе понятие кососнмметрнческой полнлннейной функции. Определяется понятие к-мерного гюлнвектора. Геометрически к-мерный поливектор есть ориентированное К-мерное подлространство, которому сопоставлено некоторое число — мера лолнвектора. Полнвектор определяется заданием упорядоченной системы нз lс линейно независимых векторов. Мера лолнвектора прн этом равна объему 1е-мерного параллелепипеда, построенного на данных векторах. 1.1. ПОнЯтие полилинейнОЙ ФУнк ии Далее 1к означает конечномерное векторное пространство, и — размерность Х. Предположим, что для всякой системы Хы Хз,..., Хй нз к векторов пространства Х определено число Г(Хз, Хз,..., Хй) е К, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
