1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Для случая, когда внешняя форма ы есть моном, справедливость доказываемого утверждения установлена. Общий случай очевидным образом сводится к этому. Предложение доказано. а а Предложение 2.11. а) Для любых внешних форм степени 1с > О ~'~в ~'~21 1 ~'~нь определенных на множестве У, выполняется равенство У (ыз+ юг+ ''+ми) = У ыз+ 2 юг+ ''+ У ын. б) Для всякой формы ы и любой функции а, определенных на множестве $~, имеет место равенство 1" (аы) = 1*а1*ы. Справедливость утверждения а) непосредственно следует из определения операции 1*.
Докажем утверждение б). Если степень ы равна нулю, то ы есть вещественная функция и, значит, 1'(аа )(х) = а[1(х)]м[Дх)] = (1*а)(х)(1*ы)(х), з 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 313 так что в этом случае требуемое равенство выполняется. Предположим, что йея(м) > 1, и пусть 1<юд<во« -Ч <оь есть каноническое представление м. Тогда каноническое представление произведения аы имеет вид 1(от <в~ <.
<ч, (тв Согласно определению ~'(аи) = ~~ а[Дх))и;„,„,;,[ДхЩ,(х) Л Щ(х) Л 1<в1<зо«».ч, <ов ... Л,Ц (х) — Ц" а)(хЯ'и)(х) Предложение доказано. а ~'(ю Л д) = У*и Л У*О. (2.19) Действительно, пусть ы = ~~~ мгИу~, д = ~~1 дуду хе 5~„ есть канонические представления форм ы и д. Тогда м Л о — Е Е мгухду1~ ~1 Ген~' .ген~ ~*и = ~1 1(иго ~)~*(йу ), ~'д = ~~~ (дго~) ~*(г1у ). (2.20) ,Гете'„ В силу утверждения а) предложения 2.11 имеем ~" (ы Л д) = ,'~ ~ (ыг о ~) (д,г о ~) ~" (Ну1~'~1). (2.21) ген~ Уев~„ В Предложение 2.12. Для любых двух форм м и д, определенных на множестве У, имеет место равенство Гл.
15. Интегральное исчисление ла многообразиях 314 Перемножим выражения для Х*м и Х*д, которые даются равенствами (2.20). Сравнивая результат умножения с правой частью равенства (2.21), получим, что предложение 2.12 будет доказано, если мы покажем, что для любых Х Е Я~ и Х Е Я~ .
Пусть дан произвольный набор индексов Х = (г„зз,...,1,) Е $'. Тогда в К™ определена внешняя форма пут. Покажем, что для нее имеет место равенство У*йр' = йЛ, Л йХ;, Л " Л йЛ„. (2.23) В случае, если Х Е Я„', это непосредственно вытекает из определения. Предположим, что последовательность индексов Х не является возрастающей. Если среди индексов гыгз,..., г„есть о д и н а к о в ы е, то оу = 0 и, значит, также и Х"Ну = О.
В этом случае произведение в правой части (2.23) содержит два одинаковых множителя и, следовательно, равно нулю. Значит, в данном случае равенство (2,23) верно. Предположим, что числа 1ы 1з,..., 1, попарно р а з л и ч н ы. Пусть а е Р„ есть перестановка порядка т такая, что г„, < г, « 1 „. Положим Х = (з „1 „..., г ).
Тогда пу~ = а(о)оу~ и Х'Йу = о(а)су;. ЛоЛ„, Л Л 4;„, = 4;, Л 4;, Л ЛЫХ;„, и тем самым равенство (2.23) доказано. Пусть Х = (зы1з,..., гь),,Х = (уыуз,..., и). Тогда, по доказанному, Х*(йр~д'г1) = йХ;, ЛйХ;,Л ЛйХ;, ЛйХ,, Л4Х,,Л ЛЩ = Х*йу ЛХ*Ну~.
Справедливость равенства (2.19), таким образом, установлена. Предложение полностью доказано. в В Предложение 2.13. Пусть Х есть отображение класса М", где т > 2. Тогда для всякой внешней формы м класса Ф, определенной на множестве Ъ', выполняется равенство 011*и) = Х*~йл). 3 а м е ч а н и е. Если м есть внешняя форма класса ~в:", а Х Е 'и '+~, то дифференциальная форма Х*ы принадлежит классу М . Справедливость этого следует из того, что коэффициенты формы Х*м выражаются алгебраически через производные первого порядка компонент вектор-функции Х и через функции ыг о Х, где ыг есть коэффициенты формы м.
З 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 315 Лействительно, рассмотрим сначала случай дедов = О. Тогда о1 есть вещественная функция, определенная на множестве $'. Имеем ~"о1 = ь1 о ~ и, значит, дЦ» ) ~~ ' '» У) д» дх; Согласно правилу дифференцирования сложной функции (см. главу 7) д0" У) - д дЛ дх; . ду; дх; 1=1 Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем НЦ'а1)(х) = ,') — [Дх)] ~ — ~Их' = ~) — ~Дх)) с(Цх). (2.24) ., ду,.
»=1» 1=1 По определению дифференциала внешней формы (см. выше) имеем Йа(у) = ~~1 — ду1, Ц'ЙыЦх) = ~~~ — Ц(х))7Л(х). (2.25) до1, до1 ду1 ду; Сопоставляя равенства (2.24) и (2.25), убеждаемся в том, что для случая дел м = О доказываемое предложение верно.
Пусть деяь» > 1. Тогда ь1(у) — ~, ь 1(у) лу, ло (у) — ~, л(ь11(у)) Л лу . 1ЕЯ» 1ЕЯ Отсюда получаем Ц"мах) = ~,~Ги1Цх) Ц»ду1Ых), 1ЕЯ„" Ц*дм)(х) = 'г~ ' ЕГд Жх) Л Ц*ду')(х), 1ЕЯ» Имеем ЙЦ'ь1)(х) = ,'1 ЫЦ'м1)(х) Л Ц'ду~)(х) + ) Ц"о11)(х) дЦ*Ну~)(х), 1ЕЯ 316 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Из леммы 2.1 вытекает равенство ЙЦ Ыу )(х) — ЙЩ,(х) Л 4; (х) Л Л 4;,(х)) — О, и, значит, ЫЦ*йм)(х) = ~> Щ*мг)(х) Л (У*Ыу~)(х). ген„" Предложение доказано. ф ф Предложение 2.14. Пусть У есть открытое множество в К", И— открытое множество в К и, наконеп, Иг есть открытое множество в К~.
Предположим, что заданы отображения ): У -+ У и д: У -+ И~, принадлежыцие классу Ф . Положим й = до ~. Тогда для всякой внешней формы ы, определенной на множестве Иг, имеет место равенство ~*(д'м) = 6'ы = (д о Д*м. Сначала рассмотрим случай, когда степень формы ы равна нулю, т. е. форма ы является функцией ыо(г), определенной на множестве Иг. Тогда д"и есть функция до(у) = ыо[д(у)], а У*(д'м) — функция Воях)] = мо(дух)]) = ыо[Ь(х)], откуда У*(д'м)(х) = 6*и(х) для всех х.
Теперь рассмотрим случай, когда м есть базисная форма первой степени пг'. Тогда д"пх'(у) = пд;(у) и, значит, согласно предложению 2.12 1" (д" )(х) = У*М(х) = 4Гд (х)] = 4д [У(х)]) = й6 (х), так что для этого случая доказываемое предложение верно. ~Вб р д р~ ю доказанного в силу предложений 2.9 и 2.11. Предложение доказано. е Предложение 2.1б. Предположим, что т' есть тождественное отображение области У С К" на себя. Тогда для всякого глалкого отображения 1: У -+ К™ справедливо равенство 1' о 1* = 1*, и для любого гладкого отображения д: И вЂ” У, где И есть область в КЬ, 1'* о д* = д'. Это есть очевидное следствие предложения 2.12.
ф З 2. Исчисление внешних дифференциальных форм 317 2.5. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ Открытое множество 17 в пространстве К" называется звездным относительно нзочни р, если для всякой точки х Е с1 отрезок, соединяющий точку р с точкой х, содержится в множестве (7, т. е. для любого 1 е (О, Ц точка р + 1(х — р) принадлежит о'. В(х,г) = В,(х,1)+ сИ Л Вз(х,1), (2.26) где 01(х,~) = ,'1 Ях,г)дх', 1ЕЗ„" Вз(х,~) = ~~1 01(х,1)дх~. (2.27) зез„-' Данное представление дифференциальной формы 0(х,г) определяется по ней ецинственным образом. Полагаем 1 че = Е / д,(*,~)ь) н,'. тез." " О Степень формы Е(0) равна г — 1, так что операция Е, определенная равенством (2.26), уменьшает степень дифференциальной формы на единицу. Для всякой дифференциальной формы 0, определенной равенством (2.26), справедливо соотношение Ы[Е(0)] + Е(дВ) = В, (х, 1) — В, (х, 0). (2.28) ° Теорема 2.2 (вторая теорема Пуанкаре).
Пусть 17 есть открытое множество в пространстве К", звездное относительно некоторой своей точки р, и ь1(х) есть дифференциальная форма степени г > 0 и класса М'~, где й > 1. Тогда если дифференциал формы и тождественно равен нулю на множестве 11, то в множестве с1 существует дифференциальная форма 0 класса и ~ такая, что ы(х) = оВ(х). Доказательство.
В пространстве К"+ точек (х,1), гце х Е К, а ~ б И, рассмотрим множество Й = (7 х К, состоящее из всех точек (х,1), для которых х е 11. Множество Й является открытым в пространстве И"+'. Всякая дифференциальная форма 0 степени т > 1 на множестве Й может быть представлена в виде Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 318 Заметим, что Е(д) есть дифференциальная форма степени т — 1 и, значит, Н~Е(0)] есть внешняя форма степени т. Степень формы Ид равна т+ 1, но так как операция Е уменьшает степень формы на единицу, то, значит, степень формы Е(НО) также равна т. Если форма д принадлежит классу У», то, очевидно, также и Е(д) б Ж».
Вывод равенства (2.28) будет дан в конце доказательства теоремы 2.2, а сначала мы покажем, как с помощью равенства (2.28) выводится утверждение теоремы. Предположим, что множество У звездно относительно некоторой своей точки р. Пусть 4ф) есть функция переменной 1 й К, принадлежащая классу и" и такая, что 4(1) = 0 при $ < О, ф(1) = 1 при 1 > 1 и 0 < ф(1) < 1 для всех 1 б К. Функцию Ф, удовлетворяющую этим условиям, можно получить, например, следующим образом.
Положим Л(М) = ехр при й Е (0,1) и Л(з) = 0 для всех остальных значений М. Определим постоянную 7 из условия 1 1 / — = / Л(и) Ыи. 7 о Функция с ф(») = 7 Л(и) Ыи, о а (х) = ~ мг(х)Нх . гея„" 'р а(,хД = ~ и4р(х,СУ9*Ух ). Имеем ге 5„' очевидно, и будет искомой. Для всякой точки х Е У точка ~р(х,1) = р+ ф($)(х — р) принадлежит У в силу того, что множество У звездно относительно точки р. Мы получаем, таким образом, некоторое отображение Й на множество У. Предположим, что форма ш степени г, определенная на множестве О, такова, что Ым(х) = О. Положим д = у"ю.
Тогда в силу установленных выше свойств операции переноса формы посредством отображения имеет место равенство Ид = О. Поэтому Е(дд) = О. Предположим, что 319 З 2. Исчисление внешних дифференциальных форм Пусть Нх = »1х'Мх"... »1х". Тогда»р*(Нх ) есть внешнее произведение следующих форм степени единица: 4»»(«)[х;, — р;,)й+ 4(«)Ых", ф'(1)(х;, — р; )й+ ф[«)«1х",..., ф'[«)(х;, — р;„)й+ фЯйх'". Это произведение является суммой конечного числа слагаемых, из которых, как нетрудно видеть, отличны от нуля самое большее т + 1 слагаемых. Слагаемое, не содержащее множитель й, имеет вид [4 («)] "Нх«.
Мы получаем, что в представлении [2.26) для формы д = »р"а» слагаемое о» в представлении (2.26) имеет вид 6,(х,«) = Ж«)Г~[~+ Ф(«)[х — р)]. В силу равенства (2.28) мы получим аЕ[у»*м](х) + Е(е»»«»*ю)(х) = а«(х, 1) — а«(х, 0). Имеем ар*а» = »р*«ао = О. В силу выбора функции 4 разность 0«(х, 1)— — д«(х, О) равна а». Таким образом, дифференциал формы Е[у "а»](х) равен исходной форме а». Для завершения доказательства необхо имо становить сп авеливость авенства 2.28 .
Применяя теорему о дифференцировании интегралов, зависли«их от параметра, получим 1 »«Е(0)(х) = ~» ~~» — (х,«) й Нх' Л «1х . (2.29) ,/ дх; '=' «ея: ' о Далее, имеем Ю(х,«) = ~» ,'» — (х,«)Ых' Л1х'+ „дх; 1=««ев„" + ~» — (х, »)й Л ««х —,» ~~» — (х, «)й Л»1х' Л йх 0.6 ду« » « д» дх; «ев„" '=» «ез„" Отсюда заключаем, что Е(Ыд)(х,«) = ~~» l — «(х,«)й»1х«вЂ” ,/д, «ев„' ~а 1 — — (х, «) й Йх' Л Нх~.
.«дх, '=» .7ея„' о Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 320 Справедливо соотношение = Оз(х,1) — 0,(х,О). Принимая во внимание равенство (2.29), получаем равенство Е(д0)(х,1) = Оз(х, 1) — дз(х, 0) — <1Е(0)(х). Отсюда, очевидно, вытекает равенство (2.28). Теорема доказана. ° ~ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
