1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Отображение х взаимно однозначно и непрерывно на прямоугольнике Р. Обратное к нему отображение является ограничением непрерывного отображения на множестве х(Р) и, следовательно, непрерывно. дх дх В каждой точке (1, и) векторы — и — линейно независимы. Полод~ ди жим Р' = [ — Ь, Ь] х (а, д). Множество х(Р') представляет собой пересечение множества Е с множеством У я всех точек (хы хз, хз) б Кз, для которых х1 — — т сов и, хз — — тяни, где т > О, и а < и < ~3. Множество У я открытое как образ множества (О,оо) х (а,~3) х К относительно отображения (т, и, хз) ~ (т соз и, т зш и, хз), которое, очевидно, является диффеоморфизмом. Отсюда вытекает, что Р' = х(Р') есть открытое относительно Х множество.
Множество Р = х(Р) получается из Г' исключением дуги В, являющейся образом относительно отображения х стороны прямоугольника Р, состоящей из всех точек (1,и) е Р, для которых 1 = — Ь. Дуга Л представляет собой компактное и, следовательно, замкнутое множество. Окончательно получаем, что Р = х(Р) есть множество, открытое относительно Е. з 5. Внешние дифференпи льные формы на многообразиях 379 Пусть Х есть произвольная точка Ь.
Тогда Х = х(го,ио) для некоторых $о Е [ — Ь, Ь) и и Е К. Предположим, что — Ь < 1о < Ь. В этом 7Г 7Г слУчае полагаем Гг = ио — —,,0 = ио + —. Мы видим, что 2' 2 Х Е Р = х(Р), где Р = ( — Ь, Ь) х (сг, 73). Таким образом, в данном случае точка Х имеет в множестве 1 окрестность, которая является элементарным двумерным многообразием класса и" яр7 =р 7 ррр «,«р~щрр р .и р что Х Е Р = х(Р). Р *р«рор77 =-Р.П, рр рр~ рр 7Г 7Г случаях, гг = ио — —, 33 = ио + —. Пусть Д = [-Ь,Ь) х (о,~3). Отображение х: (Г,и) Е Ч' р х(г,и) Е Кз, где х(г,и) определяется равенствами (5.11), есть диффеоморфизм, и множество Р = хЩ) является окрестностью данной точки Х в множестве Ь. Справедливость этого утверждения устанавливается рассуждениями, аналогичными тем, которые были выполнены ранее.
Прямоугольник Я имеет тот недостаток, что он содержит в себе точки левой стороны, параллельной оси Ои,а не правой,как это требуется определением параметризации дифференцируемого многообразия. Данный недостаток легко исправляется заменой ~ на — г и соответственно функции х(г, и) функцией х( — Г, и). Итак, мы показали, что Л действительно есть дифференцируемое многообразие класса й" в пространстве Кз. Очевидно, это есть многообразие с краем. Докажем, что многообразие А неориентируемо. Предположим, напротив, что Ь есть ориентируемое многообразие. Пусть г(х) — единичная внешняя форма второй степени на многообразии Ь. Рассмотрим замки т ю к ив ю х О и О < и < 2к, на многообразии Л.
Пусть дх Ь7(и) = — (О,и) = ( — зши,саги,О), и дх Ьз(и) = — (О,и) = (совЛисови,созЛивши,згпЛи). Легко проверяется, что векторы Ь7(и) и Ьз(и) единичные и ортогональны между собой. Ззо Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Ориентацию многообразия Л будем считать выбранной из условия, что (Ь|(0), Ьз(0)) есть правый репер в касательной плоскости многообразия Л в точке х(0, О). Функция з1(и) = е(х(0, и), Ьз(и), Ьз(и)) непрерывна. Так как е есть единичная внешняя формы степени 2 на многообразии Б, то Л(и) = е(х(0, и), Ь|(и), Ьз(и)) = ~1 для всех и Е [О, 2л). Так как репер (Ь|(0), Ьз(0)) правый, то з1(0) = е(х(0, О), Ь|(0), Ьз(0)) = 1 и, значит, 0(и) = 1 для всех и.
В частности, должно выполняться равенство Л(2т) = е(х(0,2т),Ь|(2я),Ьз(2т)) = 1. Напомним, что Л 1 предполагается равным —. Отсюда следует, что Ь|(2к) = Ьз(0), а Ьз(2я) = — Ьз(0), и, значит, з1(2т) = е(х(0,2т),Ь~(2к),Ьз(2т)) = е(х(0, О), Ьз(0), — Ьз(0)) = — 1. Таким образом, одновременно выполняются равенства 0(2т) = 1 и з1(2т) = — 1. Итак, допущение, что многообразие Х ориентируемо, приводит к противоречию. Следовательно, многообразие Л не является ориентируемым. й 6. Обобтненная интегральная теорема Стокса В этом параграфе, как и в предыдушем, также рассматриваются внешние дифференциальные формы (кратко, внешние формы или просто формы) на и-мерном подмногообразии пространства К".
Определяется понятие интеграла внешней дифференциальной формы степени и по и-мерному многообразию класса Ж~, где т > 1. Основной результат этого параграфа — обобшенная интегральная теорема Стокса. Согласно этой теореме интеграл от внешней дифференциальной формы степени Й вЂ” 1 по краю и-мерного многообразия равен интегралу от дифференциала внешней формы по самому многообразию. Из обобшенной интегральной теоремы Стокса получаем известные интегральные формулы Остроградского и Гаусса. Доказательство интегральной теоремы Стокса опирается на некоторый вспомогательный результат — лемму о разбиении единицы.
Эта лемма имеет и определенный самостоятельный интерес. В качестве прилохзения интегральной теоремы Стокса дается доказательство классической теоремы Брауэра о неподвижной точке в пространстве К". В главе 8 данного курса эта теорема была доказана для случая п = 2. Геометрическая часть доказательства теоремы Брауэра для произвольного и проводится так же, как и в случае и = 2. Аналитическая часть в обшем случае основана на применении обобшенной теоремы Стокса.
З б. Обобщенная интегральная теорема Стокса 381 6.1. ЛЕММА О РАЗБИЕНИИ Е ИНИ Ы Предварительно введем некоторую вспомогательную функцию в': К -~ К, полагая Ф(1) = 0 при й<0, ехр( — 1) при Х > О. / 1~ Так как ехр ~ — — ) — 0 при ~, стремящемся к нулю справа, то функция 4 непрерывна в точке О, а значит, и для всех х Е К. Функция 4> принадлежит классу и= на каждом из лучей (-оо, 0) и (О, оо). При этом производная порядка г функции 4 тождественно равна нулю в промежутке ( — оо, О). В промежутке (О, оо) производная ф<"~(1) является функцией вида Є— ехр где Р, есть некоторый полипом. Действительно, имеем 1 / 1~ 4'(1) = — ехр ~--(. 1г ~ 1)' Предположим, что для некоторого т Е Рз доказано, что для всех 1 > 0 выполняется равенство 4 ~'~(1) = Є— ехр Дифференцируя это равенство, получим, что в интервале (О, оо) выпол- няется соотношение Ф1"+Ц(1) = — Є— — Р„' — ехр — — = Р,+~ — ехр где Р„.~~(х) = х (Р~(х) — Р„'(х)~.
Если Р есть полипом степени 2т (для г = 1 это условиевыполнено), то Р ~~ также есть полипом, причем степень Р,.~~ равна 2т+ 2 = 2(г+ 1). Для всякого целого Л > 0 справедливо соотношение 1 / 1~ , хн йш — ехр ~- — ) = Впз — = О. +о1н ~, 1) * е' Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 382 Отсюда вытекает, что Нпз 41"1Я = йпз ехр1 — — ) Р, 1 — ) = О.
+о +о 1 ~) '1 ~) Так как 1пп 4(~) = 0 = 4(0), то функция ф непрерывна в точке О, 1- о а значит, и для всех 1 Е К. Предположим, что для некоторого г ) 0 доказано, что производная д = ф1"1 определена и непрерывна для всех 1 Е И. (Под производной нулевого порядка функции 4 понимается сама функция ф.) Тогда функция д дифференцируема в каждой точке 1 ~ О, при этом 1пп В'(1) = О. ~-о Применяя правило Лопитаяя к соотношению д(1) — д(0) д(М) получим, что функция В дифференцируема также и в точке 1 = О. При этом производная функции д непрерывна в И". Этим д о к аз а н о, что функция у1 принадлежит классу и""+~(К).
По индукции из сказанного следует, что 4 Е и'(К) при всяком т Е г1, т. е. ф б в (К). Положим 71(1) = ~р(1 — 1)~в(4 — ~). Функция О неотрицательна, принадлежит классу и и обращается в нуль в н е интервала (1,4). Определим по ней новую функцию г(~), полагая ТЯ =7 п(1)й, (6.1) где 7 постоянная, значение которой определяется из условия г(0) = 1. Очевидно, функция т принадлежит классу и . При этом тЯ = 1 при 1 < 1 и т(~) = 0 при 1 > 4. Функция т является убывающей, так как ее производная равна -О(1) < 0 для всех 1 Е К и, следовательно, 0 < тЯ < 1 для всех 1 б К.
Напомним, некоторые определения, приведенные в з 6 главы 13. Пусть дана функция У: Š— К. Будем говорить, что функция ~ сосредоточена на множестве А с Е, если Дж) = 0 при всяком я ф А. Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Функция г": У вЂ” К называется финппзной, если существует компактное множество А С У такое, что функция ~ сосредоточена на множестве А, т. е. такое, что Дж) = 0 для всякого ж ф А. з б. Обобщеннал интегральнал теорема Стокса 383 ° Лемма 6.1 (лемма о разбиении единицы). Пусть У есть произвольное открытое подмножество пространства К" и (Б~)~ен есть семейство открытых множеств пространства К" такое, что У = Ц Уе. еен Тогда налдется последовательность (у,) ем неотрицательных функций класса ио (К") такая, что выполнены следукяцие условия: 1) для каждой из функций у„существует с Е Е такое, что у„ сосредоточена в множестве Уи, 2) для всякого компактного множества А С У существует номер Ж(А) Х(А) такой, что сумма 2 4„(~) = 1 для всех ~, принадлежащих некое=1 торому открытому множеству и' Э А; оо 3) для всякого х Е У выполняется равенство 2 у„(х) = 1.
3 а м е ч а н и е. Будем говорить, что последовательность функций (у„)„ем образует разбиение единицы, подчиненное семейству открытых множеств (У~)~ен. Доказательство леммы. Пусть Я есть множество всех точек х Е У, у которых все координаты есть рациональные числа. Множество Я является подмножеством счетного множества и миожитеиеи Шар В(х, и) назовем допустимым, если х е Я, г есть рациональное число и найдется ~ Е Е такое, что замкнутый шар В(х, 2т) содержится в множестве Уе. Множество всех допустимых шаров, очевидно, допускает взаимно однозначное отображение в Я"+1 и, следовательно, не более чем счетно.
Покажем, что всякая точка х Е У принадлежит по крайней мере одному из допустимых шаров. Действительно, пусть = (х1е хз~ ° ° ~ хи) Е У. Так как объединение множеств Уе совпадает с У, то х Е 0'е для некоторого ~ Е Б. Множество Уе открытое, и, значит, найдется о > О такое, что шар В(х,6) С Уе. Пусть |; есть рациональное число такое, что (х; — 1;~ < —, 1= 1,2,...,п. 6 Для точки Ф = (г1, 1з,..., г„) имеем неравенство ~х — 8~ < 6/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
