1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Предположим, что при изменении параметра 1 область С оказывается лежащей слева от кривой Г. Интеграл внешней формы ы по краю многообразия Аа в данном случае равен | (и[х(1), у(1)]х'($) + о[хЯ, у(1)]у'(1)) Ж. о Применяя обобщенную интегральную пзеорел4у Стокса, получим ра- венство | — (х, у) — — (х, у) ахну = (и[и(г)]х'(1) + и(х(1)]у'(г)) М.
(6.18) 1,дх ' дх о о Равенство (6.18) называется ингпегральной формулой Гаусса. 6.5. ОВ АЯ теОРемА БРАУэРА О ненО нижнОЙ тОчке ° Теорема 6.6 (общая теорема Брауэра о неподвижной точке). Пусть В есть замкнутый шар в пространстве К" и непрерывное отображение г':  — + И" таково, что |(В) С В. Тогда найдется точка х Е В, для которой ~(х) = х. 3 а м е ч а н и е. Частный случай теоремы 6.3 был рассмотрен в главе 8 КМА, часть 1, книга 2.
Доказательство теоремы. Пусть В = В(а,т) и В = о(а,т). Рассмотрим сначала сл чай ког а отоб ажение п ина лежит класПредположим, вопреки доказываемому, что точка х е В такая, что Дх)=х, не существует. Этоозначает,чтох~1(х)для всякого х Е В. Наша задача — привести это допущение к п р о т ив о р е ч и ю. Дальнейшие рассуждения состоят из д в у х частей. ! я ннлнн, ущ у, ацмахаанан * *Р нии по |' некоторого отображения шара В на сферу Б (см.
рис. 3). 404 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях Рис. 8 Возьмем произвольно точку х Е В. Найдем точку Дх) и построим луч, исходящий из точки Дх) и проходящий через точку х. Так как, по предположению, х ~ Дх),то такой луч существует и определяется этими условиями однозначно. Пусть >р(х) есть точна пересечения этого луча со сферой Я. Формально это означает, что ~р(х) = Дх) + 1(х — Дх)), где 1 ) О, причем ~>р(х) — а~ = т. Определенное таким образом отображение >р непрерывно и, более того, оно принадлежит классу М'=-, как и исходное отображение ~.
Постараемся это показать. Укажем явное вы ажение ля х . Условие ~у(х) — а~ = т, очевидно, равносильно условию />р(х) — а!~ — т = О. Положим х — Дх) = д(х). Имеем !>р(х) — а~ — т = /Дх) — а + 1д(х)~ — т = (Дх) — а + 1д(х), Дх) — а+ йд(х)) — т = А(х)й~ + 2МВ(х) + С(х), где А(х) = (д(х)>д(х))> В(х) = (Дх) — а,д(х)), С(х) = фх) — а~~ — тт.
з б. Обобщенная интегральная теорема Стокса 405 Положим РЯ = А(х)Р + 2ХВ(х) + С(х). Так как согласно предположению х ~ Дх) для всех х Е В, то А(х) = [д(х)[з > О, каково бы ни было х Е В. Очевидно, функции А, В и С принадлежат классу и" . Так как У(х) Е В, то [У(х) — а[ < т, откуда следует, что С(х) < О. Это позволяет заключить, что авнение Р ~ = 0 имеет ва ве ественных ко ня: $ и 1 о ин из кото ых неположителен. Пусть |1 > ~з. Если [х — а[ < т, то Р(1) < О. Так как А(х) > О, то имеет место неравенство 11 > 1 > 1з.
В случае [х — а[ = т, очевидно, ~1 — — 1 является корнем уравнения Р(1) = О. Если [х — а[ < т, то Р(1) = [х — а[э — тз < О, и, значит, в этом случае 11>1. Т бр, ~, > 1 рд удуши~~„~~ 0„ — В(х) + 11 = 1(х)— А(х) Функция 1(х), очевидно, принадлежит классу М'=-, откуда следует, что ~р Е 'и ' . Если х б Я, то у(х) = х. Действительно, если это х Е Я, то единственное ~ > 0 такое, что [1(х) — а + 1[х — 1(х)][ = т, очевидно, есть | = 1. Отсюда следует, что в этом случае ~р(х) = г"(х) + х — г'(х) = х. Таким образом, нами по с т р о е но отображение ~р шара В на его границу — сферу Б, при котором каждая точка этой сферы переходит в себя. Чтобы почувствовать «парадоксальность ситуации», стоит понять, чтб означает полученный результат хотя бы для и = 2.
2, В р~~~ р,. у д.,«, — ° ° (, « ° топологическая) — имеет целью привести к противоречию возникшую «парадоксальную ситуацию». Пусть и(х) есть дифференциальная форма степени и — 1, определенная равенством и(х) = ~( — 1)' 1(х; — а;)Йх,йхз...бх;...Йх„. 1=1 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 406 Имеем д(х, — а;) ~и(х) = ~ ' ' Йхг~~хг...~~хь = пйхАхг...~~хь ° дх; На основании интегральной теоремы Стокса (см. выше) отсюда получаем (6.19) Я в Здесь р„(В) означает объем шара В.
Оп е елим внешнюю и е ен иальн ю о м д х = *м х В силу установленных ранее (см. ~ 2 этой главы) свойств операции внешнего дифференцирования имеем 60(х) = ~р*йы(х) = пйу)г Л дуг д д сбр„. Для всякого х Е В имеет место равенство Г[~р(х)] = О, где Г(у) = = (у — а,у — а) — т . Функция Г дифференцируема и ее г р а д и е н т отличен от нуля в каждой точке у ~ О. Дифференцируя соотношение У[у(х)] = 0 по переменной х;, получим ~~> — [у(х)] — ' = 0 = ,'~ Л, —, дЕ д~р, ду,.
Я г=г (6.20) где Л = — [у(х)]. Умножая обе части равенства (6.20) на Ых; и сум- дГ ду, мируя по г, получим ~> Лгдср (х) = О. йр, Л йргд "дар„=-О. Из доказанного вытекает, что д(х) = Ид(х) = О. 5 в Для каждого х Е В хотя бы одно из чисел Л в этой сумме отлично от нуля. Следовательно, мы получаем, что внешние дифференциальные формы йр (х) линейно зависимы. Отсюда следует равенство 407 з б. Обобшенная интегральная теорема Стокса Докажем теперь, что б(х) = м(х).
(6.21) а*0(1) = а" [у*со] = [ср о а] "м. Для всякого 1 Е Р точка а(1) Е Я, и, следовательно, имеет место равенство у[о(1)] = а(с). Следовательно, получим ~р о а = о, и, значит. а*д(1) = о м(1). Таким образом, в любой параметризации сферы представления внешних дифференциальных форм д и и совпадают. Отсюда вытекает, что интегралы от этих дифференциальных форм по сфере Я также равны между собой. Тем самым равенство (6.21) д о к а з а н о. Итак, допустив, что х ~ ('(х) для отображения 1' при всех х, ° .. с,~„,...„, ~ ~~ . отоб ажения най ется хотя бы о на точка х такая что х = х . В проделанных рассуждениях предполагалось,что отображение Г" принадлежит классу й . Тепе ь освобо имся от этого ог аничения. Зададим произвольно е ) О. Пусть Л, г = 1,2,...,п, есть компоненты вектор-функции г".
Согласно теореме Вейерштрасса (см. главу 13) при каждом г'найдется полинам и, от и переменных, для которого [и;(х) — Ях)[ <— 2 „/й для всех х Е В. Положим и(х) = (из(х),из(х),...,и„(х)). Тогда, как легко проверяется, [7" (х) — и(х)[ < е/2 для всех х Е В. Пусть 6 = е/2. Очевидно, вектор-функция и принадлежит классу 1в." . Но мы не можем утверждать, что и отображает шар В в себя. Нетрудно видеть, однако, что для всякого х Е В имеет место неравен- ство [и(х) — а[ < [и(х) — 7(х)[ + [г(х) — а[ < 6 + т. Таким образом, мы получаем, что и(х) Е В(а,т + 6) для любого хЕВ.
т у р ау щртир~дщр ды * р некоторый интеграл равен нулю, а с другой — в силу равенства (6.19) он отличен от нуля! Справедливость равенства (6.21) вытекает из того, что для х Е 8 у(х) = х. Действительно, пусть а: Р— Я есть произвольная параметризация сферы Я. Представление дифференциальной формы д в этой параметризации есть дифференциальная форма Гл. 15. Интег альное исчисление на многооб азиях 408 Шар В(а, т + 6) преобразуем в шар В(а, т) подобным преобразованием относительно точки а. Именно, пусть ф(у) = а+ (у — а). Для всякого у Е В(а, т+ 6) будет т !4(у) — а! = — !у — а! < — (т+ 6) = т.
т+6 т+6 Далее, для любого у Е В(а, т + 6) справедливо соотношение т !у — ф(у)! = !у — а! 1 — ) < 6. т+ 6) Полагая в этом неравенстве у = и(х), получим !и(х) — 4(и(х)1! < 6. Пусть д(х) = 4 (а(х)1. Тогда д есть отображение класса М' шара В = В(а, т) в себя.
При этом !д(х) — Ях)! < !д(х) — и(х)!+ !и(х) — г"(х)! < 6+ 6 = е. По доказанному, найдется точка хо Е В такая, что д(хо) = хо. Имеем !У(хо) — хо! = !!У(хо) — хо! — !д(хо) — хо!! < !У(хо) — д(хо)! < е. Отсюда следует, что 1п1 !У(х)-х! < йхо) — хо! < е. мЕВ Так как е > 0 было выбрано произвольно, то мы получаем, что шг Щх) — х! < О, жЕВ и, значит, в силу неотрицательности !Дх) — х! будем иметь шХ !Дх) — х! = О. Функция х ~ /х — У(х)! непрерывна. Так как множество В компактно, то найдется точка х Е В, для которой Щх) — х! = О, т.
е. Дх) = х. Теорема доказана. ° Задачи 409 Задачи 15.1. Сфера радиуса т в пространстве К снабжена ориентацией, индуцированной естественной ориентацией ограниченного ею шара. Показать, что отображение (у,д) ~-~ (гсов усова,тв1п ув1пВ,тв1пВ), где 0 < у < 2х, — х/2 < О < х/2, представляет собой параметризацию сферы.
Определить ориентацию этой параметризации (переменная р считается первой, переменная 0 — второй). Определить ориентации экватора сферы, индуцированные ориентациями верхней и нижней полусфер, х > О, х < О. 15.2. Пусть Т есть тор, полученный вращением окружности радиуса т вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности и проходящей на расстоянии а ) т от ее центра. Показать, что функция т(9, В) = (хМ, У), У(р, У), х('р~ а)) ~ где х = асов~р+ тсовдсову, у = ав1пу+ тсов0в1п~р, х = тв1п ~р, отображает плоскость Кг на Т.
Показать, что ограничение отображения т на всяком интервале (а, 2х+а) х (Д 2х+ 0) представляет собой параметризацию тора Т. Показать, что все получаемые таким образом параметризации одинаково ориентированы. Сравнить ориентацию тора, определяемую данным набором параметризаций, с ориентацией, которая индуцируется в нем внутренней областью тора как трехмерным многообразием в К .
15.3. Сфера Я" = (х Е К"+ ~ ~х~ = т) в пространстве К"+ снабжена ориентацией, индуцированной естественной ориентацией ограниченного ею шара. Показать, что отображения тг — ~1 112, 2;,..., 1~ ~рг ° (21~12~ ° ° ° ~ гя) Е В(01 т) ' ~ 11) ° ° ° ) 11-1~ Фг'. (21,12, ",1в) Е В(0, т) ~-~ 111 ~11-1~— 1~123, ° ° ~ в 1=1 где 1' = О, 1, 2,..., л, есть диффеоморфизмы шара В(0, т) в Я". Показать, что множества ~рг[В(0, т)], ф;[В(0, т)) 1' = 1, 2,..., и+ 1, покрывают всю сферу Я".
Определить, какие из этих диффеоморфизмов ориентированы положительно, а какие отрицательно. 15.4. Пространство Кг" будем рассматривать как произведение и экземпляров пространства К . Пусть Т вЂ” единичная окружность в К . Множество г 2 Т =ТхХх .хХ в раз Гл. 15. Интег альное исчисление на многооб азиях 410 называется и-мерным тором. Показать, что и-мерный тор в Кга может быть определен системой уравнений х1+х2 =1, г 2 2 г г хз + х4 — 1» . х2а-1 + х2а = 1. Определим отображение г: (>Р1, >Рг »... ч>а ) б И" »- (сов >1>1 > вш >Р1, сов >Р2, вы >Рг >..., сов >Ра, вш >Ра ) .
Показать, что отображение г принадлежит классу Ю ' 'р=(р1 >рг>" 2>а) б К" и отображает К" на Та. Каким должен быть и-мерный интервал 1 = = (О1>А) Х (Ог Рг) Х Х (>За>Аь) дпя ТОГО, ЧтОбЫ ОГраНИЧЕНИЕ Г На 1 ПрЕдставляло собой параметризацию Т" 2 Определить формы г*ш для следующих форм: 1 > 2 Й а+ ( а+1« а+2 Й 2а ш=«х Йх ...Йх +Йх Йх ...Йх ш=х х ...х Йх Йх ...Йх +х х ...х а Йх Йх ...Йх". 15.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
