1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 75
Текст из файла (страница 75)
В И4 рассмотрим поверхность Г, определяемую системой уравнений г 2 г 2 2 г х1+ хг + хз + х4 = 2, х1+ хг = хз + х4 Показать, что Г есть двумерный тор. Пусть Š— часть сферы Я~(>/2) = 2 = (х1+хг+из +х4 = 2), в которой х1+хг > хз+х4. Показать, что Е есть 2 2 2 2 трехмерное многообразие с краем и Г = дЕ. Ориентнруем Е, считая правыми те ее параметризации, которые являются правыми параметризациями сферы з~(~Г2). Определить индуцированную ориентацию Г (т.
е. указать хотя бы одну правую параметризацию Г). Построить касательные плоскости многообразий Е и Г в точке (О, 1, О, 1). Указать в этой точке правые реперы многообразий Е и Г. Определить интегралы по поверхности Г следующих форм: ш = хзх4«х1«х2 — х2х4«х1«хз + х2хз«х1«х4+ + хгх4«хг«хз — хгхз«хг«х4 + х1хг«хз«х4, ш = хзх4«х1«хг — хгх4«х1«хз + хгхз«х1«х4+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 г г + х1х4«х2«хз х1хз«х2«х4 + х1х2«хз«х4. 15.6.
Показать, что множество всех ортогональных матриц представляет соаг бой дифференцируемое многообразие в пространстве К" квадратных матриц порядка и (условие ортогональности матриц рассмотреть как систему уравнений относительно и переменных коэффициентов матрицы и определить ранг этой системы). Что представляет собой касательное пространство этого многообразия в точке 1 (1 — единичная матрица)2 Задачи 4'Н 15.7. В четырехмерном пространстве К рассмотрим множество, определяе- мое неравенствами х1 + Хг + хз — Х4 = -1 Х4 > 0 хз — 2Х4 + 2 > 0 2 2 2 2 Доказать, что Е есть многообразие с краем, диффеоморфное трехмерному шару. Ориентируем Е, приняв за нормаль в точке хо = (0,0,0,1) вектор ео = (0,0,0,1).
Построить положительно ориентированную карту многообразия Е. Показать, что точка хо = (0,0,4/3,5/3) принадлежит краю многообразия Е. Построить касательные плоскости многообразий Е и дЕ в точке хо и правые касательные реперы этих многообразий в точке хо. 15.8. Пусть ы ф 0 — внешняя форма степени 1 в К", а — произвольная внешняя форма в К". Показать, что для того, чтобы существовала форма )1 такая, что се = мЛ,9, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство м Л о = О.
15.9. В пространстве К" дана внешняя дифференциальная форма ео=Ых Их +ох Их + ° +Их еЬ где 25 < п. Определим последовательность форм й1, йг,..., й,, полагая Й1 = ы, и если Й. определена, той +1 = Й лы, так чтой = 1о лм л лы. 1 множителей Вычислить форму йй. Доказать, что й = 0 при 1 > х. 15.10. Даноотображение1о: (хз,хг,хз,х4) (уз,уг,уз,у4) пространстваК в себя, где . у1 = х1 хгхзх41 у2 = х2 Х1хзх4~ уз = хз — Х1Х2Х41 у4 = х4 — Х1Х2хз. Определить формы 1о~1м для следующих форм: ы = Х1мх1 + хгеехг + хзмхз + Х4еех4~ м = е(Х14(хг+ 1~хзе(Х4, Ы = 14Х1ПХгдхз12Х4 15.11.
Дано отображение 1о: (х, у) е-е ( — и+-., — ~~ —. 1 области Кг '1 (0) пространства Кг в себя. Определить формы у*1о для следующих форм: м = Ыу + удх, ш = Х1зу — УНХ, ы = (хг — у )Иу — 2хуеЬ. 15.12. Пустыр есть отображение х е-е ф множества К" ~ (О) в себя, ы = 1 ( — 1) + хйдх1...1(хй...1(хн. 4+1 1=1 Найти форму ~р~м. Доказать, что е((~р'и) = О. 412 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 15.13. Лана дифференциальная формам = -*-+:"-~-. Определить форму ~р'в~ *+и для случая отображений у: (и,е) (е созе,е зше), /е" + е е — е ~р: (и,е) ~ сози, — зши ул (и,е) ~-~ (и — е,2ие). 2 2 15.14. Пусть Н С К" — открытое множество в К", У С И™ — открытое множество в К~, ы — форма степени й класса С", определенная в У, и 1: Н -+ )г — отображение класса С .
Показать, что если множество и+1 ДН) содержится в некотором и-мерном многообразии г класса С"+, то дифференциал формы Г'ы равен нулю. 15.15. Лана формам = ™+~~~-* в плоскости с выколотой точкой (0,0). Лов +3 казать, что йе = 0 и форма ы не является дифференциалом в Кз '1 (0,0) никакой функции и. (Указание. Показать, что если ы = аи, то должно выполняться равенство ] ы = 0 для всякой окружности С, с центром в начале координат.) 15.16. Проверить, что дифференциал внешней формы ы = [1(х1) + д(хз) + 1(х1)д(хз)]ах1ахз + [1(х1) — и(хз)]ах1дхз+ + [1 (х1) + е(х4)]их1ах4 — [д(Х2) + и(хз)]ахзихз+ + [Е(Х4) — д(Х2)]вХ2вХ4 + [и(ХЗ) + Е(Х4) + и(ХЗ)Е(Х4)]ахзаХ4 равен нулю (здесь 1, д, и, е — дифференцируемые функции, определенные всюду в К).
15.1Т. Пусть ы(х) = * '+ ~~ . Локазать, что Же(х) = О. По( з+из+,2)з 2 строить форму ~р степени 1, определенную на полупространстве х > 0 и такую, что ы = с~~о. Показать, что не существует формы у степени 1 в области Кз '1 (О, О, 0) такой, что ы = Жр. (Указание. Лействовать аналогично случаю задачи 15.15.) 2в 2в 15.18. Пусть ы = 2 2 а; ах;ах — внешняя форма степени 2 в про1ж1 1=1 странстве К2", а;1 — — -аз,. Тогда 1ед1ед ° ° ° Лы = Нйхзахз ...йхзв, где в миожитвиея Н = сопзФ. Найти множитель Н в этом представлении. 15.19.
Лана форма ы = аЫу<Ь + бдят + сНхау, где а, 6 и с — постоянные. Определить все линейные преобразования Л: Кз — Из, сохраняющие эту форму, т. е. такие, что Л'1е = м. 15.20. ш = ходах — 22Ду)Мха+ уДу)ЫЫХ, где Р: К -~ К и Д1) = 1. Определить те Г", для которых: а) йе = Их Д Иу Д ~Ь и б) йе = О. ЗАКЛЮЧЕНИЕ О ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Гирлянды цифр, поля решений, цепь интегралов в звездной пене, цветы дробей, сны приближений и боль границ в садах сомнений. Г. Каяааутдинов, студент НГУ, 1988 г.
На этом «Курс математического анализа» в двух частях — четырех книгах заканчивается. Молодой читатель нашел здесь (как надеется автор) необходимые для себя знания, накопил опыт математической культуры, приобщился к пониманию проблем математического анализа, получил заряд творчества для будущей работы как в области теоретической («чистой») математики, так и в различных разделах науки и техники, где применяются математические методы исследований. Курс может быть полезным и опытному преподавателю, и исследователю в области математики — здесь он, возможно, найдет для себя что-то новое, интересное.
Ю. Г. Решетняк СПИСОК ОСНОВНЬХХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 1" > д на множестве А, 12 > д,12 Уи / Л12 У ~ Х13 1+, 14 У, 14 11А, 14 р„(а), 16 Я(вв"), 22 ) 1(х) с1х, 23 Х, 32 1:Х вЂ” ~ Е,32 (М,Х,1), зг Х+, 34 )(УЦ,,(, ~,1, зв ~)дс,(х), зв ЦДьм 36 Х'(Е), 36 ) Дх)4ю(х), 64 (м,ж(м), ~), то М М(Е), 86 М+(Е), 93 нт.(А), 100 Е1(1), 104 Е1(1), 104 а(у, С), 104 в(у, 1), 104 а,(х), 109 ЯвЕ, 130 а,Е, 130 Р1(1), 138 Р1(1), 1зв д(х, 1), 145 Я(Я), 173 св ж 1 ) Р(х)е ™в Их, 190 -х вв = 1 ~ Р(х) Ых, 190 Р„(х) = ~, есвв, 191 с„= 1 ~ 1(х)с '"* Нх, 194 а„= 1 ~ 1(х) совххЫх, 194 5„ж 1 ~ Ях)в1н охрах, 194 (х,у), 203 .вд = .вв(Е), 205 5„(Х; х), 228 в1н х ж х П ~1 — -.$--х), 253 их1 ПРЕЛМЕТНЫЙ 'УКАЗАТЕЛЬ Брус н-мерный, 16 Вектор внешней нормали в точке крам многообразия, 371 —, касательный к многообразию в точке, 338 Векторы гильбертова пространства ортогональные, 210 Внутренность множества, 323 й-вектор, абсолютнал величина, 293 — в пространстве К", 289 — единичный, 292 Гиперповерхность класса М'" в К", 333 Гомеоморфизм дифференцируемый класса С", 145 — класса С", 145, 326 Ливергенция векторного поля, 397 Лиффеоморфизм простой, 149 Лифференциал внешней дифференциальной формы, 307 — — формы, 365 Замыкание множества в метрическом пространстве, 351 Индикатор множества, 14 Интеграл в системе с интегрированием, 33 — — — — —, его линейность, 33 Интеграл в системе с интегрирова- нием, свойство неотрицатель- иосги, 33 — — — — —, свойство непрерывности, 33 — в смысле Ньютона, 120 измеримой функции по множеству, 100 как функция множеств, свойство счетной аддитивности, 101 Лебега — Стилтьеса функции 1 относительно функции Ф, 59 — относительно меры на кольце множеств, 64 — функции 1, ЗЗ вЂ” — класса .Р'(К"), 23 — — по плоскости, 295 Интервал й-мерный, 331 Карта, определенная на окрестности точек многообразия, 334 — й-ячейки г', 333 Класс эквивалентности, 173 Кольцо, 59 Контингенция многообразия, 338 Коэффициент полилииейной формы относительно данного базиса, 282 Край многообразия, 336 — полуинтервала, 331 11 едметный казатель Кривая в пространстве И" параметризованная, 338 — класса Ъ'", 333 Критерий ариентируемости многообразия, 369 Куб двоичный ранга г, 17 — допустимый, 109 — экстремальный, 109 о-кольцо множеств, 62 Лемма о кубическом подразделении, 109 — — приближенно мажорируемой последовательности, 169 — — разбиении единицы, 383 — — субаддитивности Ь|-нормы, 73 Лист (лента) Мебиуса, 376 Мера (объем) л-мерного прямоугольника, 16 — на кольце множеств, 60 †, свойство аддитивности, 60 —, свойство счетной аддитивности, 102 Многообразие ориентируемое, 366 — к-мерное класса в ", 333 — — — — элементарное, 332 Множества Лебега вещественной функции, 103 Множество в И" элементарное, 113 — измеримое, 86 †,измеримое на к-мерном многообразии, 352 — меры нуль, 48 —, открытое относительно А, 323 — пренебрежимое, 48 — регулярное, 323 Набор индексов„ 298 Неравенство Бесселя, 213 — Коши — Буняковского, 203 Ьынорма функции в системе с интегрированием, 36 Область класса в .
в И", ЗЗЗ вЂ” стандартнал к-мерная, 331 Объем единичного шара в пространстве И", 357 — шара радиуса В в пространст- ве И", 357 Огибающая последовательности функций верхняя, 76 — — — нижняя, 76 Окрестность точки в множестве, ЗЗЗ Операция огораживания функции по множеству А, 96 Ориентация к-мерного подпространства, 367 — многообразия, 366 — области в И" естественная, 396 —, определенная внешней дифференциальной формой, 370 Отношение порядка, 174 — рефлексивное, 172 — симметричное, 172 — транзитивное, 172 — эквивалентности, 172 Отображение аффинное, 345 — — ортогональное, 345 — класса в", 321 Параметризации многообразия когерентные, 365 — — перекрывающиеся, 334 — одинаково ориентированные, 365 — противоположно ориентированные, 366 Параметризация и-мерного многообразия локальная, 333 — к-мерной плоскости в И" аффинная, 345 — к-ячейки, 333 — окрестности, 334 Перестановка независимых переменных, 150 — нечетная, 285 — порядка и, 149, 284 — четная, 285 Период функции, 187 418 П енметньгй казатель Плоскость 1с-мернаи пространства К", 345 — х-репера в К", 289 Плошадь верхней полусферы, 356, 357 — л-мерной сферы в йь"+с, 359 — множества на Й-мерном многообразии, 354 — нижней полусферы, 357 Поверхность к-мерная класса и"", 333 Подмножество всюду плотное, 323 — многообразии ограниченное, 352 Полипом тригонометрический степени не выше л, 188 Полиномы Чебышева, 222 — Лежандра, 224 Полуинтервал двоичный, 17 — —, его ранг, 17 — й-мерный, 331 Полунорма, 172 Полупространство, касательное к многообразию в краевой точке, 341 Последовательность множеств исчезающая, 60 — —, покрывающая данное множество, 114 — подмножеств возрастающая, 112 — функций возрастающая, 12 — —, мажорирующая функцию 1, 36 — — монотонная, 12 — —, сходящаяся сверху к функции 1, 13 , сходящаяся снизу к функции 7", 12 — — Ьс -сходящаяся, 42 — — убывающая, 12 Предел нижний, 79 Представление дифференциальной формы в параметризации, 360 — каноническое кососимметрической полилинейной функции, 285 Преобразование Фурье, правило обращения, 268 Преобразование Фурье функции 1, 261 Произведение внешнее дифференциальных форм, 301 — скалярное функций из Ьз(Е), 207 — — элементов предгильбертова пространства, 203 Пространство гильбертово, 205 —, касательное к многообразию в данной точке, 341 — предгильбертово, 203 Прямоугольник л-мерный, 16 — — полуоткрытый, 16 Путь в Кз, 338 —, исходящий из точки р, 338 —, лежащий в множестве Е, 338 Равенство Парсевали, 214 — — для тригонометрической системы функций, 219 Разбиение единицы, 383 — (подразделение)двоичное ранга т пространства Ки, 21 Разложение в бесконечное произведение функции сои х, 256 — — — — — зшх, 253 Репер ориентированного подпространства левый, 367 — — — правый, 367 — параметризации координатный, 367 Ряд тригонометрический, 193 — —, вещественная форма, 193 — —, комплекснаи форма, 193 — функциональный нормально схсшящийся, 72 — Фурье интегрируемой функции, 195 Й-репер в касательном пространстве ориентированного многообразии левый, 367 — — — — — — правый, 367 — — пространстве К", 288 — — — — выролсденный, 288 П едметный казатель к-репер в пространстве зь" невырожденный, 288 — ортогональный, 290 — ортонормальный, 290 к-реперы в Е" подобные, 289 — — — эквивалентные, 289 Сигнатура перестановки, 285 Система векторов в гильбертовом пространстве ортогональная, 210 — — — — — ортонормальная, 210 Система координат линейная, определенная данным 1с-репером, 290 — — Й-мерного многообразия локальная, 334 — — я-ячейки Р, 333 Система с интегрированием, 32 — — †, базисное пространство, 33 — — — дискретная, 70 — — — евклидова, 33, 120 — — †, основная функция, 33 — — †,простая функция, ЗЗ вЂ” — †, счетная в бесконечности, 103 — функций на промежутке [-я,я]тригонометрическая ортогональная, 219 Субаддитивность Бюнормы, 39 Сходимость в Ьы 165 — — —, критерий Коши— Больцано, 166 9-сечение множества, 130 з-сечение множества, 130 Теорема Брауэра о неподвижной точке общая, 403 — Валле — Пуссена, 170 — Дини, 58 — Дирихле о сходимости ряда Фурье, 240 — Лебегао предельном переходе, 82 — Леви, 123 — — для последовательностей функций, 74 Теорема Леви для функциональных рядов, 74 — о замене переменной в кратном интеграле, 145 — — нормально сходящемся ряде, 72 — — существовании интеграла Стилтьеса, 58 — Остроградского интегральная, 400 — Пуанкаре вторая, 317 — — первая, 309 — Рисса — Фишера, 207 — Стокса обобщенная интегральная, 392 — Тонелли, 132 — Фату о предельном переходе, 80 — Фубини, 128 Точка многообразия внутренняя, 336 — — краевая, 336 — множества внутренняя, 323 — полуинтервала краевая, 331 Транспозиция, 284 Тригонометрический полипом, вещественная форма, 189 — —, комплексная форма, 189 Условие, выполняющееся почти всюду на множестве А, 49 — Дини в точке я для функции, определенной в зь", 227 Факторизация по отношению эквивалентности, 173 Форма билинейная, 281 внешняя дифференциальная на многообразии финитная, 387 — — степени си на многообразии, 359 — — степени 1, каноническое представление, 300 — — — степени п — 1 в Е каноническоепредставление, 300 — — — степени г, 298 420 Предметный указатель Форма внешняя дифференциальная степени г,каноническое представление, 299 — — степени )с, 295 — дифференциальная ориентированного многообразия единичная, 368 — Ь-линейная, 280 Формула Гаусса интегральная, 401 — для вычисления площади поверхности, заданной уравнением, 356 — — объема шара в Иа, 160 — дополнения для гамма-функции, 258 — Кавальери — Лебега, 139 Функции перехода для перекрывающихся параметризаций многообразия, 334 Функция в Ка ступенчатая, 21 — вещественная невозрастающая, 138 — билинейная кососимметрическая, 283 — билинейная, 281 — †,матрица коэффициентов, 283 — — симметрическая, 283 — измеримая, 86 †, измеримая на Й-мерном многообразии, 352 —, интегрируемая в системе с интегрированием, 42 —, — в смысле Лебега, 123 —, — — — — относительно веса са, 57 —, — — — Лебега — Стилтьеса относительно функции сЬ, 59 Функция, интегрируемая в смысле Ньютона, 120 †, — на /с-мерном многообразии, 352 —, — по плоскости, 294 — комплексная интегрируемая, 259 — конечного типа, 68, 69 — /с-линейная, 280 —, локально интегрируемая на Ь-мерном многообразии, 352 — множества характеристическая, 14 — обобщенно измеримая, 100 †, определенная почти всюду на множестве А, 49 — полилинейная кососнмметрическая, 284 —, пренебрежимая в системе с интегрированием, 48 — — степени Ь, 280 — Т-периодическая, 187 †, ступенчатая относительно кольца множеств, 63 — финитная, 118 —, — в (а, Ь), 57 —, — относительно 17, 141 Часть функции отрицательная, 14 — — положительная, 14 Число двоично рациональное, 20 — последовательности верхнее, 79 — — нижнее, 79 — функции верхнее в системе с интегрированием, 36 Элемент многообразия линейный, 349 Ядро множества открытое, 323 Ь-ячейка класса е с, 332 ИМЕННОЙ Ъ"КАЗАТЕЛЬ Адамара — Коши формула радиуса сходимости степенного ряда Александрова теорема об интегральной кривизне кривой Теория особенностей (теория катастроф) Архимеда аксиома; Архимеда спираль Банахово пространство '1 Данные об упомянутых в «Курсе математического анализа» ученых взяты (в основном) из следугощих источников: Математический энциклопедический словарь, 1988; Большая советская энциклопедия, 1970; 1пзегпец Абель Нильс Хенрик (1802, близ Ставангера,— 1829, близ Арендаля), норвежский математик Адамар Жак Саломон (1865, Версаль,— 1963, Париж), французский математик Александров Александр Данилович (1912, село Волынь, ныне Рязанская обл.,— 1999, С.-Петербург) русский математик Арнольд Владимир Игоревич (р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
