1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 73

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

Так как С+(61) с множеством М не пересекается, то из доказанного вытекает,что хо есть граничная точка М. Предложение доказано. в 6.4.2. окажем о ин важный частный сл чай обоб енной интег аль- ной тео емы Стокса — интег альп ю тео ем ст ог а ского.

Предположим, что множество М в пространстве К" является и-мерным многообразием класса й', где г ) 1, и каждой точке х Е М сопоставлен вектор п(х) = (и1(х), из(х),...,и„(х)) б К". В этом случае будем говорить, что на множестве М определено векторное поле ц(х). Предположим, что векторное поле и принадлежит классу 1в."1. Величина Йчц(х) = ~1 — (х) диь ,,ах; называется дивергенцией векторного поля п(х) в пъочке х. Напомним обозначения, введенные в З 2. Символ е", 1 = 1, 2,..., и, означает базисную внешнюю дифференциальную форму степени и — 1, определенную условиями е ' = дхз...

дх 1дх™ е'" = дх1с~хг . дх а если 1 < Й < и, то е*' = Ых'...дх"...дх", где запись Ыхь означает, что множитель Ихь должен быть пропущен. 398 Гл. Ж Интегральное исчисление на многообразиях Всякому векторному полю п(х), заданному на множестве М, может быть сопоставлена внешняя дифференциальная форма степени и — 1, которую будем обозначать символом *п(х). Пусть п(х) = (и1(х), из(х),..., и„(х)) для всех х Е М. Полагаем эп(х) = ~~> ( — 1) иь(х)е'".

я=1 Как показано в 3 2, имеет место равенство д[ьц(х)], "~~ „— (х)дхздхз,дхк д~ч ц(х)дхздх2 дхп ди~ , дх; ° Лемма 6.4. Пусть дана ортолормальлая система пы пз,..., и„ из и — 1 векторов'пространства:К". Определим вектор по, полагая по — — (и,из ° ° °,к„), где иь = ( — 1)» 1е" (пз,пз,...,п„1). Вектор по ортогоналел каждому из векторов пы й = 1,2,..., и — 1, длина его равна единице, и ортогональный репер (цо, пз,,'., п„з ) в пространстве К" является правым. Яоказательство. Пусть дана произвольная система векторов Хы Хз,..., Х„1 в пространстве К". Рассмотрим (и — 1) х п-матрицу, составленную из компонент векторов Х;: Хы Хгз ...

Х~ „~ Хы х х ... Х,„х„ (6.13) Х„„Х„„... Х„,,„, Х„ц„ Положим сь(Хз,Хз,...,Х„з) = ( — 1)~ 1е" (ХыХз,...,Х„з). Величина е" (ХыХз,...,Х„з) есть значение определители квадратной л4атприцы, получаемой из матрицы (6.13) вычеркиванием й-го столбца. Таким образом, определен вектор ЯХ„Хз,...,Х„,) = ®,~„...,~„), где ~ь (Хы Хз,..., Х„1) = ( — 1) ~ ' е" (Хы Хз,..., Х„з ). з 6.

Обобщенная интегральная теорема Стокса 399 Пусть дан вектор У = (У1,У2,...,У„). Тогда в силу известной из алгебры д1ормулы разложения определителя по минорам первой строки величина и (У,Я = ~ ( — 1)» 'У»е" (Х1,Хг,...,Хп-1) »=1 равна определителю У1 12 Хы Хгг .. Х1„ (6.14) Х 1,1 Х 1,г ... Х„ Если У = Х» для одного из номеров и = 1,2,...,и — 1, то определитель (6.14) содержит две одинаковые строки и, следовательно, равен нугпо.

Мы получаем, таким образом, что скалярное произведение (с, Х») = О при каждом к = 1,2,...,п — 1, т. е. вектор с ортогонален каждому из векторов Х1, Хг,..., Х„ Рассмотрим случай, когда векторы Х; = п;, 1 = 1,2,..., и — 1, образуют ортонормальную систему. Пусть й есть единичный вектор, ортогональный каждому из векторов п;, где 1 > О, и такой, что и-репер (П,пг,пг,...,па 1) (6.15) является правым.

Векторы п;, 1' = 1,2,...,п — 1, линейно независимы, и, значит, множество решений системы линейных уравнений (к,п;) = О, 1 = 1,2,...,п — 1, одномерно. Отсюда следует, что вектор по — — Опг, пг,..., п„1) равен Лй, где Л Е К. Вычислим значение определителя (6.11) для случая, когда У = й, а Х, = пг. Тогда матрица определителя (6.14) будет ортогональной. Так как и-репер (6.15) является правым, то определитель (6.14) в этом случае положителен и его значение равно единице. По доказанному, значение этого определителя равно (й,по) = Л.

Следовательно, мы получаем, что по — — й. Лемма доказана. ° 3 а меч ан не. Для систем из и — 1 векторов Х1,Хг,...,Х„1 пространства К", как показано в доказательстве леммы, определен вектор с = с(Х1,Хг,...,Х„1), координаты которого задаются равенствами; 6 = ( 1) 1е" (Х1,Хг, ° ° .,Х„1) при каждом 1с=,1,2,...,п — 1. Вектор С называется векторным произведением векторов Х1, Хг,... ...,Х„1. Будем обозначать его символом Х1 х Хг х . х Х„1.

Как Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 400 установлено при доказательстве леммы 6.4, вектор Х, х Хз х х Х„ ортогонален каждому из векторов Хы й = 1,2,..., и — 1. Произведение Хз х Хз х х Х„1 является полилинейной кососимметрической функцией векторов Хм Хз,, Х -з Предоставляем читателю проверить, что длина вектора Х, х Хз х .. х Х„з равна абсолютной величине поливектора [Хы Хз,..., Х„ Если векторы ХмХз,...,Х„з линейно независимы, то п-репер (Хо,Хы...,Х„), где Хо = Хз х Хз х х Х„ы является правым, т.

е. ориентирован одинаково с базисным репером (ем ез,..., е„) пространства К". В случае и = 3 определенное здесь понятие векторного произведения совпадает с понятием векторного произведения, известного из курса аналитической геометрии. ° Теорема 6.2 (интегральная теорема Остроградского). Пусть М есть и-мерное многообразие класса У' с краем в пространстве К".

Пусть п(х) есть единичный вектор внешней нормали в точке х б дМ. Предположим, что на множестве М задана вектор-функция и: х (из(х), иг(х),..., и„(х)), причем существует компактное множество А С М такое, что п(х) = 0 при х ф А. Тогда имеет место равенство ам 3 а м е ч а н и е. Равенство (6.16) носит название интегральной формулы Остроградского. Доказательство теоремы. Применяя обобщенную теорему Стокса получим, что имеет место равенство | *и(х) = д(*п(х)). ам м Правая часть этого равенства есть интеграл Йч п(х) Ых'ах ...

дх". Доказательство теоремы поэтому сводится к преобразованию интеграла в левой части последнего равенства. Пусть г„1 есть единичная внешняя форма степени п — 1 на многообразии дМ. Тогда (6.17) *п(х) = Л(х)е„ з(х) 401 З б. Обобщенная интегральная теорема Стокса для всех х Е дМ, причем имеет место равенство ам Пусть пы пз,..., п„1 есть правый ортонормальный репер в касательном пространстве Там(х) многообразия дМ в точке х. Тогда а» 1(п1>пг»...пи 1) = 1, и, следовательно, множитель Л(х), стоящий в равенстве (6.17), равен *п(х)(пм пз,..., п„~). Имеем а п(х)(пы пз,..., п„1) = ( — 1) 'иь(х)е" (пы пз,..., и„,) = ~~> иь(х)пь(х) = (п(х), п(х)).

Здесь п(х) есть вектор, й-я координата которого равна е'" (п1, пз,... ..., п„1) при каждом 1с = 1, 2,..., п. Согласно лемме 6.4 вектор п(х) ортогонален плоскости Там(х), [п(х)[ = 1 для всех х Е дМ и и-репер (п,пыпз,...,п„1) является правым в пространстве К". Это означает, что п(х) есть вектор внешней нормали многообразия М в точке х. Теорема доказана. ° 6.4.3. Интег альная о м ла Га сса. Под интегральной формулой Гаусса понимается тот частный случай обобщенной теоремы Стокса, который соответствует значению и = и = 2.

Пусть 6 есть ограниченное открытое множество на плоскости, граница которого есть гладкая замкнутая кривая Г. В данном случае гладкость кривой означает, что замкнутая кривая Г допускает параметризацию г:[О, Ц вЂ” К , ко- 2 торая удовлетворяет следующим условиям: 1) производные г>(1) и г" (1) определены и непрерывны для всех 1 Е [О, Ь), причем г'(1) ~ 0 для любого 1 б [О, Х]; 2) г(0) = г(Х) и г'(0) = г>(Ь), а также и г" (0) = г" (Х); 3) при 11 ~ 1з равенство г(11) = г(1з) имеет место в том и только в том случае, когда одно из данных значений $1 и 1з равно нулю, а другое равно Х.

При этих условиях множество О 0 Г представляет собой двумерное многообразие класса в з. Действительно, пусть р = (а, 6) есть произвольная точка М. Если р Е О, то найдется б ) 0 такое, что круг В(р,б~(2) С О. Тогда Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 402 квадрат С~<р,6) С В(р,6~/2) С 6. Полагая Р = ®р,6) и ~р = 1с1з, получим параметризацию окрестности точки р, удовлетворяющую всем условиям определения многообразия. Предположим, что р Е Г.

Тогда а = х<8о), Ь = у(~о), где 0 < Мо < Т. Ограничимся случаем 0 < 1о < Е. Имеем х'(1о) = <х'<Со),у'<1о)) В силу условия 1) по крайней мере одно из чисел х'(Хо) и у'(йо) отлично от нуля. Лля определенности предположим, что х'(йо) ~ О. Пусть е > 0 и ~р есть отображение (С, О) (х(Хо + ту), у(йо + О) + 4') интервала Р, = < — е, е) х ( — е, е). Если е > 0 достаточно мало, то у отображает Р, взаимно однозначно на некоторую окрестность Н точки х(1о). Кривая Г разбивает Н на две части, одна из которых содержится в М <см.

рис. 2). Рис. х. Якобиан отображения у, как легко вычисляется, равен — х'(1о + л) и при ~у~ < е отличен от нуля, если е > 0 достаточно мало. Если та из половин множества Н, которая содержится в М, соответствует значениям ~ < О,то ограничение м на прямоугольнике < — е,О] х ( — е,е) есть параметризация окрестности точки х(~о) в М. Если часть множества Н, содержащаяся в М, образована точками ~р(С,у), для которых с > О, то ограничение функции у< — с, и) будет параметризацией окрестности точки х<1о) в многообразии М. Будем говорить, что область 0 расположена слева от кривой Г, если параметризации окрестности точки у, построенные, как описано выше, являются правыми.

(Рассмотрение случая, когда в точке 1о х'<1о) = 0 и у'<~о) ~ О, а также случаев 1 = 1о и 1о — — Т,, мы предоставляем читателю.) Пусть м = и(х,у)Их + о<х,у)Ну есть внешняя дифференциальная форма первой степени, определенная на множестве М = С О Г. Тогда дифференциал внешней формы и есть внешняя форма < д. ди — <х, у) — — <х, у) Ихйу. дх ' дх з 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 403 Пусть задана параметризация х(з) = (х(1),у(1)) граничной кривой Г, удовлетворяющая всем указанным выше условиям 1) — 3).

Характеристики

Список файлов книги