1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

й . до Р Имеем отображение у: (8г,...,Мь) Е ддР ь (Ьг,Мг,...,йь). Нетрудно видеть, что у*и есть форма м1(6ы1г,...,$ь)й ...й . Следог вательно, величина Хг равна интегралу формы ы по краю дР прямоугольника Р. Рассмотрим те слагаемые в сумме (6.6), которые соответствуют значениям г' > 1. Пусть Х; = ! — '(г) й~йг...

й~. ,/ д1; Рассуждениями, аналогичными проделанным при доказательстве леммы 6.2, устанавливается, что при г' > 1 величина Х; = О обращается в нуль. В результате получаем йо(~) = и(~). Р дР Лемма доказана. ° Тепе ь мы можем с о м ли рвать и оказать основной ез льтат йЖЮ 2ЮКйй. ЗО2 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях ° Теорема 6.1 (обобгценная интегральная теорема Стокса).

Пусть М есть ориентируемое к-мерное многообразие класса Ъ'~, т > 2, в пространстве К". Предположим, что задана некоторая ориентация М и на многообразии М определена внешняя дифференциальная форма ш класса Тз и степени к — 1, финнтнвя относительно многообразия М. Тогда если М не имеет краевых точек, то | аш(х) = О. м Если же край многообразия М не пуст, то имеет место равенство аш(х) = ш(х). м ам (6.7) При этом предполагается, что край дМ многообразия наделен ориен- тацией, каторги индуцирована ориентацией многообразия М.

3 а м е ч а н и е. Формула (6.7) носит наименование обобщенной интегральной формулы Стокса. Доказательство теоремы. Пусть А С М есть компактное множество такое, что ш(х) = О при х ф А. Рассмотрим сначала частный случай, когда множество А является малым в том смысле, что можно указать параметризацию ~р: Р— М многообразия М, для которой множество А содержится в элементарном и-мерном многообразии Г = ф(Р). В силу предложения 6.1 имеем (6.8) По условию, А С Р и ш(х) = О при х ~ А. Отображение ~р непрерывно, и, значит, множество Е = ~р '(А) С Р компактно. При г ф Е, очевидно, р"ш(г) = О.

Предположим, что Г не содержит краевых точек многообразия М. Так как А С Г и ш(х) = О при х ф А, то форма ш(х) тождественно равна нулю на многообразии дМ и, следовательно, 'З б. Обобщенндл интегральная теорема Стокса 393 Покажем, что в данном случае равен нулю также и интеграл: | Ни(г) = О. м действительно, в этом случае Ь-мерная стандартная область Р является Й-мерным интервалом, а внешняя дифференциальная форма у*и(1) обращается в нуль вне компактного множества Е С Р. На основании леммы 6.2 отсюда следует, что В силу равенства (6.8) отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае и, значит, в этом случае обобщенная интегральная формула Стокса верна. Предположим, что Г содержит краевые точки многообразия М.

В этом случае область определения параметризации у есть Ь-мерный полуинтервал, Р = (амЬз] х(аз, Ьз) х х(аю Ьь). Пусть Ьу: доР - дМ есть параметризация элементарного Й-мерного многообразия Р П дМ, порожденная параметризацией у. Если ~р есть правая параметризация М, то параметризация Ььэ также является правой, а если ~р — левая параметризация М, то Ьу есть левая параметризация дМ. Согласно предложению 6.1 имеем дм дР Так как у'йо = сЬР'ш, то в силу леммы 6.3 имеем У'йо(Г) = <Р*м. д1 Заметим, что Б<р = ~ро1, где у есть отображение (гз,...

~ь) е доР (Ьы гю...,гь) и, значит, ~о"м = у" р"щ = 1о~р) "и. дР доР доР 394 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях В результате получаем, что ~р* би1(1) = (б~р)*и1. доР В силу равенств (6.9) из доказанного вытекает равенство Й >(х) = и1(х). М дм Таким образом, справедливость обобщенной интегральной формулы Стокса установлена для случая внешних дифференциальных форм, обращающихся в нуль вне некоторого малого множества. Рассмот им об ий сл чай. Пусть А С М есть компактное множество такое, что форма и1(х) обращается в нуль вне множества А.

Лля всякой точки в Е М существует параметризация у: Р— М многообразия М такая, что т Е Г = р(Р). Множество Р является открытым относительно М, и, значит, найдется открытое множество У в пространстве К такое, что Р = У~ П М. Таким образом, мы получаем некоторое семейство открытых множеств У„„покрывающее многообразие М. По теореме о разбиении единицы найдется последовательность (а„)„ен неотрицательных финитных функций класса и =-, каждая из которых сосредоточена в одном из множеств Уе, причем для всякого компактного множества А С М существует номер Л = Л(А) такой, что (6.10) для всех в, принадлежащих некоторому открытому множеству Ъ' Э А.

Пусть А С М есть компактное множество такое, что и1(ж) = 0 при х ф А. Пусть 1"1' = Х(А) есть номер, отвечающий данному компактному множеству А в указанном выше смысле. Тогда для всех х б А выполняется равенство (6.10). Пусть ~р„: Р„- М есть параметризация многообразия М такая, что функция а, сосредоточена на множестве У„= У „. Положим и1„(х) = а„(х)ь1(т). Тогда для всех т Е М справедливо равенство 395 З б. Обобщенная интегральная теорема Стокса Для х ф А равенство верно в силу того, что м(х) = О для такого х и, значит, также и ы„(х) = О для всех и = 1, 2,..., Л.

Если же х б А, то М равенство (6.11) верно в силу того, что для таких х сумма 2 о„(х) = 1. и=1 Имеем Й ~(х) = ~~) Йо„(х), откуда следует, что (6.12) Имеем ы„(х) = а„(х)м(х). Функция а, обращается в нуль вне некоторого компактного множества Е, С У„, м(х) = О при х ф А, где А компактно. Отсюда следует, что форма м„(х) обращается в нуль, если х ф А„= Е„П А. Множество А„компактно и содержится в к-ячейке Г„. Для каждой из дифференциальных форм ю„, и = 1, 2,..., Ф, в силу установленного в первой части доказательства теоремы имеет место равенство | па „(х) = ы„(х). М дм Суммируя данные равенства почленно по и = 1,2,..., Ф, в силу равенств (6.11) и (6.12) получаем искомое равенство (6.7): аы(х) = ы(х). ам Теорема доказана.

° 6А. Инткгглльнык фогмулы Остгогглдского и Глуссл 6.4.1. Рассмотрим специально случай, когда размерность многообразия в пространстве К" с краем равна размерности и, т. е. размерности пространства К". Всякое и-мерное многообразие в пространстве К" ориентируемо. Действительно, пусть М есть и-мерное многообразие в пространстве К". Пусть у: Р -+ М есть произвольная параметризация многообразия М. Множество Р представляет собой п-мерный прямоугольник, 396 Гл. 15. Интегральное исчисление иа многообразиях и, следовательно, в каждой точке 1 Е М матрица Якоби отображения у является квадратной и ее определитель, т.

е. якобиан отображения у в точке 1, отличен от нуля. Так как область определения отображения у есть и-мерный прямоугольник, то д(1, у) = Йе$ ду(1) имеет один и тот же знак во всех точках множества Р. Назовем параметризацию р: Р -+ М и-мерного многообразия М С К" правой, если якобиан отображения у положителен для всех 1 е Р. Нетрудно показать, что все условия определения ориентации многообразия в данном случае выполняются. Получаемую описанным способом ориентацию многообразия М С К" будем называть его естественной ориентацией.

Пусть М есть и-мерное многообразие в пространстве К". Для произвольной его параметризации у: Р— М образ всякой внутренней точки и-мерного прямоугольника Р согласно теореме о локальном диффевморфизме является внутренней точкой М как подмножества К", т. е. если з = <р(г), где 1 Е Р', то можно указать б > О такое, что шар В(х,б) содержится в М. в Предложение 6.2. Пусть М есть п-мерное многообразие с краем в пространстве К". Тогда если точка х Е М является краевой точкой многообразия М, то х является граничной точкой М как подмножества пространства К". Доказательство. Действительно, пусть кв есть краевая точка многообразия М.

Пустыр: Р— М есть произвольная допустимая параметризация М такая, что хв — — у(1в). Тогда согласно определению краевой точки многообразия Р есть и-мерный полуинтервал и 1в Е дР. Пусть Р = (а,,Ь1]х(аз, Ьз)х х(а„,Ь„). Множество Е = ~р(Р) является открытым относительно М, и, значит, найдется открытое множество У пространства К" такое,что Г = У й М. Пусть ~р*: $' — К" есть отображение, определенное на некоторой окрестности У = В(гв, 6) точки зв такое, что у* Е ~и'" и у*(1) = р(1) для всех 1 Е Р й У. Согласно определению диффеоморфизма, данному в з 3, дя дф* векторы — (1в) = — (1в), 1 = 1,2,..., и, линейно независимые и, значит, якобиан отображения ~р' в точке 1в отличен от нуля. По теореме в локальном диффевмврфизме найдется бз > О такое, что О < 61 < 6 и отображение у* на шаре Вв — — В(~в,б1) взаимно однозначно, причем у*(Вв) содержится в открытом множестве У, пересечение которого с М есть множество Г = ~р(Р П Ъ').

Пусть Р = (аыЬ1) х (аз,Ьз) х ° ° ° х (а„,Ь„). Пусть т таково, что О < г < бз. Плоскостью 1з —— Ьз шар В(1в,т) делится на две половины. Пусть В+(г) есть верхняя половина, т. е. множество точек 1 = (1м1з,...,1„) Е В(1в,т) таких, что 11 > Ь1, а В (т) — нижняя 397 з б. Обобщенная интегральная теорема Стокса половина шара В(1в, г), состоящая из тех его точек, у которых г1 < 61. Так как отображение р* на шаре В(1о,61) взаимно однозначно, то множества С+(т) = р" (В+(г)1 и С (г) = у*(В (г)) не имеют общих точек. Если г достаточно мало, то множество С+(г) не содержит точек множества М.

Действительно, допустим, что это не так. Тогда для всякого о б 1з1 найдется точка х, Е М, принадлежащая множеству + /61'1 С ~ — ). Очевидно, х„Е Г и при и — со имеем х„- хв. Так как отображение д ~ непрерывно, то при и — оо точки 1, = ~р '(х„) сходятся к точке 1в = у '(хо). Значит, при достаточно больших и точка Г„б В+(61) и, следовательно, точка х„= ~р(1„) принадлежит множеству С (61). В то же время х„б С+(бз).

Таким образом, мы получаем п р о т и в о р е ч и е с тем фактом, что множества С+(61 ) и С (61 ) не имеют общих элементов. Отсюда заключаем, что найдется значение 6в такое, что 0 < 6в < 6~ и множество С+(6в) не содержит точек множества М. Множество С+(бз), очевидно, содержит точки, сколь угодно близкие к точке хо.

Характеристики

Список файлов книги