1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Пусть г есть рациональное число такое, что ~х — ~~ < т < 6/3. Шар В(г,г) Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 384 и Л„(х) = П [1 — дь(х)] = Л, г(х)(1 — д„(х)). (б.2) При каждом и Е М определим следующие множества: Каждое из множеств У„является открытым как объединение некото- рого множества открытых шаров, а каждое множество Г„компактно как объединение конечного числа замкнутых шаров. При этом имеют место включения 1~„С Р„С К Всякая точка х Е У, как показано выше, принадлежит некоторому допустимому шару, т.
е. одному из шаров В„. Отсюда следует, что содержит точку х. Для всякого у Е В(г,2т) имеем: /у — х/ < /у — Х/ + +~1 — х! < 26/3 + 6/3 = 6 и, значит, В(1,2т) С В(х,6) С У~. Мы получаем, что если т удовлетворяет неравенствам ~х — ~~ < т < < 6/3 и является рациональным числом, то открытый шар В(г, т) содержит данную точку х Е У, а замкнутый шар В(1,2т) содержится в одном из множеств У~. Шар В(г,г), следовательно, является допустимым. Множество всех допустимых шаров не более чем счетно. Это множество бесконечно и, следовательно, счетно. Занумеруем произвольным образом множество всех допустимых шаров.
Пусть В„есть шар с номером и. Пусть х„есть центр шара В„, г„— его радиус. Обозначим символом В„замкнутый шар В(х„,2г,), концентричный шару В„и такой, что его радиус в д в о е б о л ь ш е радиуса ~г1 шара В„. Пусть В„(х) = т ~ ), где т есть функция в гь, опредег~ )х — х„)г ленная равенством (8.1). Тогда д„(х) = 1 при < 1 и 0„(х) = О, г~ (х — х„)г если " > 4, т. е.
при ~х — х„~ > 2г„. Мы получаем, таким обрагг зом, что д„(х) = 1 при х Е В„и д„(х) = О, если х ф В„. Для всякого х Е яь" выполняются неравенства О < д„(х) < 1. Положим Лг(х) = 1 — дг(х). При и > 1 полагаем з б. Обобщенная интегральная теорема Стокса 385 Функция 1 — д„(х) обращается в нуль при х Е В„и равна единице при х 1с В„. Для всех х Е К" выполняются неравенства О <1 — В„(х) <1.
Отсюда следует, что функция Л„неотрицательна, обращается в нуль на множестве $~, и равна единице в н е множества Р„. Искомую последовательность функций (у„)„ен мы получим, полагая у1(х) = 1 — Лз(х) = д1(х), а при и > 1 — задавая функцию у„ равенством у„(х) = Л„ 1(х) — Л„(х). В силу (б.2) при каждом и > 1 верно равенство Р„(х) = Л„ 1(х)д„(х). Отсюда следует, что функция у„неотрицательна и принадлежит классу в" Заметим, что в данном случае функция <р„обращается в нуль на множестве Ъ'„ы так как функция Л, 1 обращается в нуль на этом множестве.
Функция д„обращается в нуль в н е шара В„, и, значит, также и функция у„обращается в нуль вне этого шара. Согласно определению допустимого шара найдется с Е Е такое, что В„С Уг. Таким образом, мы получаем, что для любого номера и Е М функция у„неотрицательна и финитна, принадлежит классу и (И") н сосредоточена в одном из множеств (04)4еи данного открытого покрытия множества О. Это означает, что для построенной последовательности функций (у„)„ен выполняется условие 1) формулировки леммы. Обозначим через Фн сумму первых М функций ~р,. Имеем Фн = ~ ср„= (1 — Л1)+(Л1 — Лз)+ +(Лн 1 — Лн) = 1 — Лн.
Величина Фн(х) обращается в нуль при х ф Гн и равна единице при х Е $'и. Пусть А С У есть компактное множество. Каждая точка х Е А принадлежит по крайней мере одному из открытых шаров В„. Значит, по теореме Бореля (глава 9, теорема 2А) найдется конечное семейство допустимых шаров (В„,, В„„..., В„), объединение которых содержит множество А. Гл. 15.
Интегральное исчисление на многообразиях 38б Пусть Х = М(А) есть наибольший из номеров иы из,..., и, Тогда, очевидно, А С Ъ'и С Гн С У. Отсюда следует, что для всех х Е Ъ'и имеет место равенство Мы полУчаем, следовательно, что последовательность фУнкций 1Р„),ен удовлетворяет также и условию 2) формулировки леммы. Заметим, что при и > М функция у„обращается в нуль на множестве Ъ'и. Следовательно, для всех х Е К~ имеет место равенство Применяя этот результат к тому частному случаю, когда множество А состоит из единственной точки, получаем, что условие 3) формулировки леммы для построенной последовательности функций (у„)„ен выполняется. Лемма полностью доказана.
° 6.2. ОПРЕЛЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО ПРОИЗВОЛЬНОМУ Й-МЕРНОМУ МНОГООБРАЗИЮ Пусть М есть /с-мерное многообразие класса й ', т > 1, в пространстве И". Предположим, что многообразие М ориентируемо. Зададим произвольно ориентацию многообразия М, и пусть е есть единичная внешняя форма степени Й на многообразии М, соответствующая данной ориентации многообразия.
Предположим, что на многообразии М задана внешняя дифференциальная форма ы, степень которой также равна числу к = с11ш М. Тогда для всякой точки х е М определено некоторое число Дх) такое, что ш(х) = Дх)е(х). Мы будем говорить, что внешняя форма м(х) интегрируема по многообразию М, если функция ~ интегрируема по многообразию М относительно поверхностной меры на М. Интегралом внешней формы м(х) по многообразию М называется число, равное интегралу от функции Дх) по многообразию М относительно площади.
Интеграл от формы м(х) по многообразию М обозначается символом ) м(х). В соответствии с определением имеем М з 6. Обобщенная интегральная теорема Стокса 387 Заметим, что если ориентацию многообразия М изменить на противоположную, т. е. переименовать все правые параметризации в левые, а левые в правые, то внешняя форма е при этом умножается на — 1. Отсюда следует, что при этом также и функция 1(х) заменяется на — Г(х), и в результате мы получаем, что интеграл внешней формы ш по многообразию М при изменении ориентации многообразия на противоположную умножается на — 1. Внешняя дифференциальная форма м(х), определенная на и-мерном многообразии М класса и"', т > 1, называется финипзной, если существует компактное множество А [ М такое, что ш(х) = О в каждой точке х ф А.
Далее используется следующий простой факт. ф Предложение 6.1. Пусть М есть ориентированное И-мерное многообразие класса М'~, г > 1, и чд: Р— М есть допустимая параметризация многообразия М. Предположим, что на М определена внешняя дифференциальная форма [о степени Й, причем существует компактное множество А [ Р = др(Р) такое, что м(х) обращается в нуль вне этого множества. Тогда где и([р) = 1, если параметризация [р правая, и и([р) = — 1, если параметризация[р левая. Действительно, имеем ш(х) = Дх)е(х). Отсюда р*шЯ = У[р(~)]р*Ф) = Х[р(1)] ~А(~) й'й' " й". Согласно определению | [*[ = |[[*[дд,[*[ = | у[д[д[[д[д[цдддд'...дд'. [дд[ м М В силу равенства (5.8) справедливо соотношение [р*е(1) = и([р)~/д, (1) й[йз...
йь, и, значит, подынтегральное выражение правой части равенства (6.3) может быть представлено в виде Ы(1)Ъ|р Яй'й'" йь= (р)[р* (~). Отсюда получаем требуемый результат. Предложение доказано. я Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях 388 6.3. ОБОБ ЕННАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА СТОКСА и(1) = ~~~ ( — 1)' 'ш;(1)Й., есть каноническое представление внешней формы м(Ц, где й,, есть базисная внешняя форма Йз... Й;...
Йь, знак над каким-либо множителем означает, что этот множитель пропускается. Имеет место равенство Йо(1) = ~> — '(1)Й~Й~...й д1; (6.4) Действительно, согласно определению имеем (6.5). При у ф г произведение йз Л Й~,. = й' Л Й1- Л Й' ~ Л Й'+ Л ... Л й~ содержит два одинаковых множителя и, следовательно, обращается в нуль. При з = г мы получаем произведение Й' Л й' Л Й' ' Л Й'+' Л .. Л Й, которое преобразуется в Й~йз...Й~ выполнением г' — 1 транспози- ций. При каждой транспозиции перед произведением появляется мно- житель — 1, и в результате будет Й'Лй'ЛЙ' 'Лй*+'Л ЛЙ'=( — 1)'-'Й'й'...Й".
Окончательно получим Йо(1) = ~) — (1)й~й~... Й . д1; Таким образом, равенство (6.4) доказано. Сначала докажем некоторые предложения, являющиеся частными случаями общей теоремы. Доказательство общей теоремы основано на сведении к рассматриваемым ниже частным случаям в леммах 6.2 и 6.3. Формулировка и доказательство общего утверждения будут даны в конце этого раздела.
Пусть ьз(г) есть внешняя форма степени й — 1 в пространстве Е~. Предположим, что внешняя форма м принадлежит классу в1. Тогда определена форма Йо(1) степени Й вЂ” дифференциал формы м(1). Пусть 3 б. Обобщенная интегральная теорема Стокса 389 Используя выражение для дифференциала внешней формы степени й — 1 в пространстве К~, которое дается формулой (6.4), мы можем теперь доказать следующие леммы 6.2 и 6.3. ° Лемма В.2. Пусть даны И-мерный интервал Р = (ам 6з) х(аз,6з) х х (ая, 6ь) и внешняя форма ы степени й — 1 класса бл, определенная н финитная на интервале Р.
Тогда имеет место равенство ь Доказательство. Пустьа(~) = 2;(-1)' 'м;(1)й, естьканоничев=1 скос представление внешней формы и. По условию, существует компактное множество А С Р такое, что ш;(1) = О, если 1 ф А. Прямоугольник Р рассматриваем как ориентированное й-мерное многообразие, ориентация которого определена соглашением: тождественное отображение 1бь. 1 Е Р 1 есть правая параметризация Р. Имеем йод = А(1)й~йз...й~. Из условий леммы следует, что А(~) = О, если ~ лежит вне множества А. Форма е(г) в данном случае есть внешняя дифференциальная форма й'йз... й~. Применяя общее определение к данному случаю, получим равенство В силу равенства (6.4) справедливо соотношение Лемма будет доказана, если мы покажем, что при каждом г = 1,2,..., й.
Применяя теорему Фубиии (глава 13, 3 7), получим 390 Гл. 15. Интегральное исчисление на многообразиях (Здесь Р; есть открытый прямоугольник в Кь з.) При фиксированных значениях переменных 1з, где / ф г, функция м, обращается в нуль вне некоторого интервала (а; + 6, б; — 6), н, значит, ь, Ь,-Ь | Ь(Х) ~/~Ь = 1 М (/) «Ь = ~Ь(... б; — 6 . ) — ;( ; + 6 ) дь,,/ В, а,+Ь следует, что при каждом г' = 1, 2,..., /с выполняется равенство | — '(ь) й~Ь1ь~... й" = О.
д1ь Лемма доказана. ° ° Лемма 6.3. Пусть даны а-мерный полуинтервал Р = (аз, бз~ х х(аг бг) х ° ° ° х (аь, бь) и внешняя форма ш степени /с — 1 класса ~Р, х аг> определенная и финитная на полуинтервале Р. Тогда имеет место равенство ьбз(х) = ы(т). ан яаоказательство. Пусть форма ы удовлетворяет условиям леммы. Прямоугольник Р мы рассматриваем как ориентированное к-мерное многообразие с краем. При этом ориентацию Р определим посредством соглашения, что тождественное отображени ь: Р е 10: 1 Е Р ~-~ 1 Е есть правая параметризация Р. Край многообразия Р есть множество всех точек 1 = (бз, 1г,..., 1ь), где а; < 1; < б; при каждом 1 > 1. Применяя формулу (б.4), получим, что и в этом случае йо(1) = ~Ь вЂ” "' (1) /1' йР... И' ~,/ д1; Ь=1 Применяя к интегралу / ~~1( )й з,//г ./ д~, Р теорему Фубиии, найдем, что ь, воР 6 6.
Обобщенная интегральная теорема Стокса Функция мг(1) согласно условию леммы обращается в нуль вне некоторого компактного множества А С Р. Отсюда следует, что при фиксированных значениях переменных 1г,..., 1ь найдется Ь > О такое, что мг(1г,1г,...,1ь) обращается в нуль при 1г ( аг + Ь. Отсюда следует, что в этом случае ь, ь, | '"'(~)й,= ( '~(~)кй,= д~1 Х д~, а1+6 = ь~г(Ьы ~г,, 8ь) — мг(ог + Б ~г,..., ~ь) = юг(6ы ~г,...,1ь), ибо а~г(аг + б, 1г,...,1ь) = О. В результате получим Хг — — мг(Ьы1г,..., 1ь) й ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
