1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 36
Текст из файла (страница 36)
13.41. Пусть (М, Зт, 1) — система с интегрированием, причем р(М) < оо, р(М) > О. Пусть 1: М вЂ” т К вЂ” измеримая и неотрицательная почти всюду 1/т' функция. Положим МтЦ) = — ~-) ] [1(х)]" т!р(х)) (г > О). Показать, М что Мт(1) есть возрастающая функция переменной т в (О, оо). Показать, что если М„(1) конечно хотя бы для одного г > О, то !пп М, (1) т о =ехр — Гм ] )п1(х)йх . ь" и Задачи 185 13.42.
Пусть Мг(~) определено, как в предыдущей задаче. Существенной точной верхней границей функции у: М вЂ” Й называется точная верхняя граница чисел А таких, что мера множества тех х Е М, для которых 1(х) > Л, положительна. (Обозначение: евввцрДх).) Показать, что в условиях преды- хеМ дущей задачи !!щ М,(у) = евввирДх). х оо ееМ 13.43. Пусть для х б К, у б К выполняется [С(х,у)[ < [х — у] + е причем функция С непрерывна во всякой точке (х, у) б К такой, что х ф у. Показать, что для всякой ограниченной измеримой функции йп К" — К функция у: х ] 0(х, у)6(у) Ну непрерывна. 13.44. Функция К интегрируема по Лебегу на квадрате [а, 6] х [а, 6]. Лля поч- Ь ти всех х е [а,6] выполняется |К(х,у)Иу < В, и для почти всех ь в у б [а,6] выполняется ] К(х,у) с!х < В, где В постоянная.
Пусть у: [а,6] — К а и д: [а,6] - К неотрицательны и убывают. Показать, что Ь Ь Ь | К(х, уЩх)д(у) Иха < В Дх)д(х) <Ьх. 13.43. Пусть Е = (М, !я, 1) есть счетная в бесконечности система с интегрированием. Показать, что если функция Х: М вЂ” Й такова, что для всякого рационального числа ! Е К множество Лебега Еу(!) = (х б М [ 7(х) > !) является измеримым, то функпия у измерима. Показать, что если множество Еу(!) = (х б М [ Дх) > г) измеримо для любого рационального г, то функция у измерима. Глава 14 РЯДЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ° Тригонометрические полиномы ° Комплексные тригонометрические функции ° Понятие тригонометрического ряда е Ряя Фурье интегрируемой функции ° Теорема Римана — Лебега ° Пространство Хз ° Теорема Рисса — Фишера а Ортогональная система функций в пространстве ьз е Полнота системы тригонометрических функций в пространстве з.з([ — к, т)] ° Критерий сходимости ряда Фурье в точке ° Формула Парсеваля ° Вычисление интег(яв х рала / — йх ° Теорема о поточечной схолнмости х о ряда Фурье функции ограниченной вариации ° Примеры разложений функций в ряд Фурье е Разложение функции яп х в бесконечное произведение ° Теорема об обращении преобразования Фурье ° Инъек тинное та преобразования Фурье на множестве функций класса з з ° з 1.
Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты 187 й 1. Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты В этой главе изучаются так называемые тригонометрические ряды, т. е. ряды вида ао — + хз (а„созна+ Ь„зшпа), где ао, аз,..., а„,... и Ьы Ьз,..., Ьа,... — последовательности вещественных чисел. Такие ряды применяются для изучения периодических функций и являются средством, полезным при описании различных колебательных процессов и исследовании их свойств. Они находят применение также и в теории дифференциальных уравнений.
Представление периодической функции в виде суммы тригонометрического ряда физически интерпретируется как разложение произвольного колебательного процесса в сумму (вообще говоря, бесконечную) некоторых простейших колебательных процессов — так называемых простых гармоник. Лля непериопических функций подобного рода представление строится с помощью преобразования Фурье, которое также изучается в этой главе.
Преобразование Фурье является важным инструментом теории дифференциальныхх уравнений. Наша задача — указать критерии, выполнение которых гарантирует, что данная функция может быть представлена в виде суммы тригонометрического ряда. В этом параграфе рассматриваются формальные свойства тригонометрических рядов, определено понятие ряда Фурье функции.
Здесь доказывается теорема Римана — Лебега о поведении функции при больших значениях ее аргумента, задаваемой интегралом некоторого специального вида. Эта теорема существенно используется при исследовании вопроса о поточечной сходимости рядов Фурье функций. 1.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОЛИНОМЫ Пусть даны множество А С К. Функция 1: А -+ М со значениями в произвольном множестве М называется периодической, если выполнено следующее условие: существует число Т ф О такое, что для всякого х е А точки х+Т и х-Т принадлежат множеству А и выполняется равенство Дх+ Т) = Дх). Число Т, удовлетворяющее этим условиям, называется периодом ~дикции 1.
Если функция 1 имеет период, равный Т ф О, то говорят также, что 1" есть Т-периодическая функция. Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 188 Обращаем внимание читателя на тот факт, что условие периодичности включает в себя некоторое требование, которому должна удовлетворять область определения функции ~, а именно, если х е А, то также и точки х + Т и х — Т принадлежат А. Если функция ~ периодическая и Т есть ее период, то любое целое кратное Т, т. е.
число Т' = пТ, где и у- '0 — целое число, также является периодом функции ~. Тригонометрические функции х соя пх и х я1п пх, где и — неотрицательное целое число, являются примером периодических функций. Эти функции определены и принадлежат классу С . Для всякого х Е К имеем соя п(х + 2к) = соя пх, я1п п(х + 2я) = я1п пх. Р(х) = — + ~~ (а„сояпх+Ь„я1ппх) 2 я=1 (1.1) для всех х й К, где ао, а1,..., а„, Ьм..., ܄— вещественные числа. Далее нам потребуются комплексные тригонометрические функции, т. е.
функции вида х ~ е'"*, где п — произвольное целое число (допускаются значения и ( 0). Имеют место следующие равенства — формулы Эйлера: совках = — (е' *+ е ' *), яш/сх = — — (е' * — е '"*). 2 2 Подставляя в (1.1) значения для соя Ьх и яш Ьх, из формул Эйлера по- лучим, что всякий тригонометрический полипом степени не выше и может быть записан в виде и Р(х) = — о + — ~~) [(аь — ьЬь)е™х + (аь + йь)е '~*]. 2 2 1 В частности, функция х —, тождественно постоянная на К, а также функции х соя пх и х яшпх при любом и являются Функции х ~ соя пх и х ~ я1п пх, таким образом, периодические, и число 2я является периодом каждой из них.
Функция Р: К вЂ” С называется тригонометрическим полиномом степени не выше п, где п > 0 — целое число, если она допускает представление з 1. Ряды Фурье. Определение н предварительные результаты 18 1ЯО аа аь — 1Ьь тригонометрическими полиномами. Полагая со = —, 2 и с ь = для Й = 1,2,...,п, получим, что всякий тригономе- 2 в е тр ический полинам степени не выше и может быть представлен в ид н Р(х) = ~) сье'~*, (1.2) | 1 2я, если т=Й, ног -Иг й О, если т~Й.
(1.4) Лействительно, если Й = т, то е' *е 'ь* = 1, и в этом случае е цта-Ь)г Тогда функция Г(х) = является перво- 1(т — Й) е'<"' ь>*. Функция Г имеет период, равный 2я, Г(х) — Г(-к) = 0 и,значит, в этом случае Пусть т ф Й. образной функции х откуда следует, что е* *е ' * ах = Г(и) — Г(-и) = О, и равенства (1.4) доказаны полностью.
где числа сь Е С удовлетворяют условию: с ь = сь при каждом Й = О, 1,2,..., и. Правую часть равенства (1.1) будем называть вещественной, а правую часть (1.2) соответственно комплексной формой тригонометрического полинома Р. В соответствии с введенной терминологией числа ао,аы...,а„, Ь ... Ь азываются коэффициентами еещестеенной формы, а числа ы з и н сЬ, -и < Й < и, — коэффициентами комплексной формы тригонометрического полинома Р. Коэффициенты вещественной формы тригонометрического поли- нома Р выражаются через коэффициенты его комплексной формы следующим образом: ас — — 2со, а при Й = 1, 2,..., и аь = сь + с ь = 2 Весь, Ьь = 1(сь — с ь) = — 21шсь.
(1.3) Всякая функция Р, допускающая представление вида (1.2) с коэффициентами сь, удовлетворяющими условию с ь = сь при каждом Й = 0 1 2 ... п является тригонометрическим полиномом степени Ф 1 $''') ) не еьиие и. Для любых двух целых чисел Й и т имеют место равенства Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 190 Равенства 1.4 позволяют найти некото ые интег альные п е г ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ к ~ « ~ ь ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ь и а Фй = — в ы=-в В силу равенства (1 4) в последней сумме справа отлично от нуля единственное слагаемое, а именно, то, для которого т = й.
Это слагаемое равно 2ксь, и, стало быть, Р(х)е '~* ах = 2ясы к ~ ~ь Таким образом, мы получаем следующее представление для коэффициентов комплексной формы тригонометрического полинома Р: 1 Г сь = — / Р(х)е ' * ах. 2к,/ (1.5) Из доказанного, в частности, следует, что коэффициенты сь комплексной формы тригонометрического полинома Р однозначно определяются этим полиномом как функцией, т. е. если т игономет ические полиномы Р и Р таковы что Р х = Р х для всех х то комп- лексные о мы этих полиномов совпа ают. Так как комплексная форма тригонометрического полинома однозначно определяет его вещественную форму, то тем самым мы получаем, что вещественная форма тригонометрического полинома однозначно определяется этим полиномом как функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
