1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть И~1 — — 4 (В(хе, б)], И'з — — д(И'з) и, наконец, И "з — — ~(Игз). В силу доказанного выше теорема 8.1 верна для каждого из диффеоморфизмов 4: И'е — И~ы 0: И'|в И'з и с: И'з — И"з. Для диффеоморфизма б это следует из рассмотрений, касающихся первого случая (см. выше). Для диффеоморфизма 4 справедливость теоремы 8.1 вытекает из рассуждений, относящихся ко второму случаю. Третий случай позволяет заключить, что теорема 8.1 верна для диффеоморфизма д.
В силу леммы 8.3 из сказанного следует, что теорема 8.1 верна также и для ограничения диффеоморфизма у на множестве И'о. Заметим, что <р(гУо) = И'з. Пусть уе — — <р(хо). Положим И"з —— = И"(ро). Множество И1(уо) открытое. Пусть и есть произвольный двоичный куб такой, что его замыкание й содержится в множестве У. По доказанному, для всякой точки у б й найдется открытое множество И~(у) такое, что теорема 8.1 верна для всякой интегрируемой функции, равной нулю вне множества И~(у). Множества гУ(р), где у Е д, образуют открытое покрытие замкнутого куба о. По теореме Лебега об открытом покрытии (теорема 2.3 главы 9) найдется е > О такое, что для всякой точки у Е д шар В(у, е) содержится в множестве И~(у ) для некоторой точки у' Е д. Пусть т б Х таково, что выполняется неравенство,,/й2 " ( е.
Будем считать также, что ранг куба и меньше т. Тогда куб и разбивается на конечное число двоичных кубов ранга г. Каждый из этих кубов содержится в одном из множеств Иг(р). Отсюда вытекает, что теорема 8.1 верна для случая, когда функция ~ является индикатором любого из этих кубов. Сумма индикаторов двоичных кубов, на которые разбивается куб и, есть г . Это позволяет заключить, что теорема верна для функции з . Так как е есть произвольный двоичный куб, замыкание которого содержится в множестве У, то в силу леммы 8.4 из доказанного следует справедливость теоремы 8.1 в общем случае. Теорема 8.1 полностью доказана.
° 158 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 8.6 Вычисление некОтОРых меР и интеГРАлОВ Множество Нр(р) открытое и, следовательно, измеримое. Для всякого х = (х1, хз,..., х„) б Нр(р), очевидно, имеем ~х;~ < р~~', откуда заключаем, что множество Н„(р) ограниченное. Докажем, что при всяком р > 0 имеет место равенство д 1Н (р)] д 11Н (1))~Р1+Р2+" +Р (8.10) где /з„означает меру Лебези в И". Пусть Хр есть иидикатпор миоже- сшва Нр(р). Для всякого х Е К" справедливо равенство 1 Х1 Х2 Ы Хр(х11хз~ ° ~хп) Х1 ~ ~ з .
~ ) Ь" ' р" ' р"" ) (8.11) хь Действительно, пусть — = 1ь, 1 = (11,$2,...,1„). Тогда если рРк Хр(х) = 1, то х б Нр(р), и выполняются неравенства (8.9), т. е. 1х!'/ +1хз)1/'+".+х!'/- < р Отсюда вытекает, что Р ~1/Р1 + ~1 ~1/Р2 +... + Р ~1/Р 8.6.1. Используя результаты предыдуших разделов данного параграфа, найдем значения мер некоторых специальных множеств в пространстве И".
В частности, будет вычислена мера или, что то же самое, объем произвольного шара радиуса г в пространстве К". В приложениях интегрального исчисления часто встречается ситуация, когда вопрос об интегрируемости или неинтегрнруемости функции определяется ее поведением вблизи отдельных точек ее области определения. Решение вопроса об интегрируемости функции, следовательно, сводится к исследованию строения функции вблизи таких «особых» точек. Мы рассмотрим некоторые простые примеры, которые могут быть полезны при проведении такого исследования. Зададим произвольно положительные числа р1, рз,..., р„и число р > 0.
Обозначим через Нр(р), где р = (р1,рз,...,р„) б К", множество всех точек х = (х1,хз,...,х„) Е К", для которых выполняется неравенство 1*! "'+ 1*.! '" + + !. ! ' < р (8.9) З В. Формула замены переменной в кратном интеграле ].]"" +]х]'" + +]*.]'"- >' Отсюда получаем, что ]1 ]>(Р> > ]Г ]>>Р2 ~....
> ]1 ]>IУ ) 1 т. е. ~ ф Н (1) и, значит, Х1(1) = О. Это показывает, что равенство (8.11) верно и в этом случае. Отображение хг хг х = (хг>хг»... х~) > —, —,... >— 1 рР> рРя рР ( представляет собой диффеоморфизм множества И" '1 (О) на себя. Якобиан этого диффеоморфизма равен р ю з' "' з". Применяя теорему 8.1, получаем следующее равенство: | / ~,рз> * ряг ' ' ' ' ' ря Ж Хг(1г > 1г> ° ° °, г, ) СМ1гВ1г ° .. Й» Р [Нр(1)].
В силу равенства (8.11) отсюда вытекает, что [Н (р)] — р [Н (1)]рР>+Р~+' "+Р и равенство (8.10) доказано. Введем обозначение о„(р) = р„[Нр(1)]. Тогда формула (8.10) может быть переписана в виде р„[Н (р)] = о„(р)р"'+з'+ +"". (8.12) 1 В частном случае, когда рг — — рг = = р„= —, множество Нр(р) есть шар радиуса г = /р с центром в точке О.
т. е. г б Нр(1) и, значит, Хг(г) = 1. Таким образом, в этом случае равенство (8.11) выполняется. Если Хр(х) = О, то х ф Нр(р) и, значит, имеет место неравенство 160 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Итак, мы получили о м л ля объема ша а В О г в К": ,а„[В(О,т)] = а„р"~~ = о„г", (8.13) где а„— мера единичного шара е К", а„= а„~ 2, 2,..., — ].
аз(р) = рз[Нр(1)] = р~[А(х)] Нх. Множество А(х) при ]х] > 1 пусто, и, значит,,и~[А(х)] = О при ]х] > 1. При -1 < х < 1 множество А(х) есть отрезок ( (1 ]х]лР )РР (1 ]х]~IР )Р ) Отсюда 1 1 аз(р~,рз) = 2 (1 — ]х]~~Р')РР Их = 4 (1 — х~~Р')Р' с1х. -1 о (Мы воспользовались здесь тем, что подынтегральная функция в пер- вом из последних двух интегралов четна относительно х.) Произведя в интеграле замену переменной х = Р', получим аз(р~,рз) = 4р~ (1 — 1)р'Р" ' й. о Полученный интеграл выражается через бета-функцию Эйлера, вве- денную в п.
5.5 главы 12. Напомним эту формулу. Лля 1 > О и и > О 1,, „, Г(1)Г(и) В(1,и) = / х~ ~(1 — х)" ~ Ых = о 8.6.2. Пля случая и = 2 построим некоторое интегральное предста- вление для величины аз(р) = аз(р~,рз), где р~ > О, рз > О. Зададим произвольно х Е К. Пусть А(х) есть множество всех у Е К таких, что точка (х, у) Е Нр(1), т. е. ]х]~~Р' + [у]~~Р' < 1. Тогда получим 161 з 8. Формула замены переменной в кратном интеграле Применяя это равенство, получаем г( г,рг) = 4ргВ(рг+ 1,рг) Используя представление бета-функции через гамма-функцию, получим Г(рг+ 1)Г(Р1) 4р|рг Г(р1)Г(рг) "' Г(Р, + Рг + 1) Р, + Р, Г(Р, + Рг) ' т.
е. мы получаем ог(рг,рг) = В(рг,рг). 4ргрг Рг +Рг 8.6.3. Рассмотрим интеграл й(р) = . ехр( — ~жг)~7г' — ~хг~~7Я' †. — )х ~~7Я") Их. (8.14) Вычисляя этот интеграл двумя способами, мы получим два выражения, равных д(р). Одно из них, как мы увидим далее, содержит величину о„(р). Приравнивая полученные разными способами представления для д(р), мы сможем указать явное выражение для о „(р).
Сначала воспользуемся теоремой Тонелли (теорема 7.2). Применяя эту теорему к интегралу, стоящему в правой части равенства (8.14), получим (8.15) Для всякого вещественного Р > 0 имеем | ехр(-~х~~7з) от = 2 ехр( — тги) Нт = -~о о = 2р е 'гг ' о1 = 2РГ(р) = 2Г(р+1). (8.16) о (Под знаком интеграла произведена замена переменной интегрирования по формуле хг7" = $.) 162 Гл.
13. Интегральное исчисление функций многих переменных Полагая в равенстве (8.16) р = ры рз,..., р„и подставляя полученные выражения в (8.15), получим и 0(р) = 2 П Г(рь + 1). а=1 (8.17) Другое представление интеграла 0(р) мы найдем, применяя формулу Кавальеро — Лебега (теорема 7.3). Пусть ЕЯ = 1(хы хз,..., х„) е К" [ ехР( — ]х1[~7ю — ]хз] 7аз — — ]х ] 7а" ) > 1 [. Е(1) = Н„1 Отсюда по формуле (8.12) получим 1 '~ ю+Рз+"'+Р» р„[Е(1)] = о„(р) 1п — ) и, следовательно, СЮ 1 1'~ Р1+Ръ+"'+Р 0(р) = Н [Е(1)]й = о„(р) 1п — ) й. 1 Произведя в последнем интеграле замену 1п — = и, получим, что этот интеграл равен | е "ию+Я +"'+"" Ни = Г(р1 + рз + ° ° ° + р„+ 1), о откуда 0(р) = п„(р)Г(ра + рз + ° +р„+ 1).
Сравнивая выражения (8.17) и (8.18), получим (8.18) а 2" П Г(рь + 1) е (р)— Г(р, + р, + " + р„ + 1)' (8.19) При 1 > 1 множество Е(1) пусто и р„[Е(т)] = О. Пусть О < 1 < 1. Условие ехр(- [х1] ~ 7ю — [ха [17"' — — ]х„]17 я" ) > 1 равносильно условию ]хз]~7"' + ]ха]17"'+ + ]х„]~7а" < 1п —, и, значит, з 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 163 Рассмотрим особо случай, когда р1 —— рз —— , — — р„= 1/2. Тогда равенство (8.19) позволяет получить выражение для обьема единичного шара в К": 2" [Г Я] Г( — +1) Замечая,что Г ~-) = -Г д = — /к,получим 1,2) 2 л2) 2 и/2 (8.20) Г (-+ 1) 8.6.4. Пусть дана функция Г: К" — ~ И. Будем говорить, что функция К интегрируема в окрестности точки О, если найдется е > 0 такое, что функция К интегрируема на шаре В(О,г).
Если существует конечное число Е > 0 такое, что функция Г интегрируема на множестве К" 1 В(0, Е), то говорим, что г' интегрируема в окрестности точки оо. Применим установленные выше результаты к исследованию вопроса об интегрируемости в окрестности точки 0 и в окрестности со функции, определенной в И" равенством Ях) = (]х1]~~Я' + ]хз]~~Я'+ + ]х„]~~"") л, (8.21) где числа р~, рз,..., р„и А все положительны.
Пусть дано число й > О. Положим ил(х) = Щх) — Ь]+ и ил(х) = ппп(л,Дх)). Рассмотрим отдельно вопрос об интегрируемости в К" функций ил и ол. Для 1 > 0 пусть Е„„(~) есть множество Лебега (х б К" ] ил(х) > М) функции нл. Условие ил(х) > 1 при ~ > 0 равносильно условию ]х ] ~я' + ]х ] ~"' + + ]х ] ~г" ( 1 (Ь+ ~)1!л ' откуда следует, что 1 Е"л(~) Вя (8 „1)~ул 164 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Применяя формулу Каеальери — Лебега, получаем, что ил(х) Их = д„~Е„„(1)] а1 = о„(р) Н ог Ж" о о Интеграл справа сходится в том и только в том случае, если выполняется неравенство р1 + рг + ' ' ' + ра Л В результате мы получаем, что функция нл(т) интегрируема, если Л < р1+рз + ° ° ° +р„, и не интегрируема, если Л > р1+ рз+ + р„. / 1 'Л Множество Н ~ — / открытое 0 Е Н ~ — ) и значит найя ~уел ~ Р ~уел)' \ /1~ дется е > 0 такое, что В(0, е) С Нр ~ — „).
Для всех х б В(0, е) имеем ~(л) = Ь + ил(з). В силу доказанного мы получаем, что функция 1 интегрируема в окрестности точки ж = 0 в случае, если Л < р1 + рз + + р„. Предположим, что функция 1 не интегрируема ни в какой окрестности точки О. Множество Нр(р) является открытым при каждом р > О. Предположим, что для некоторого 6 > 0 функция ил интегрируема.
Множество тех х Е К", для которых ил(х) > О, совпадает с множе- / 1 /1л, ством Нр ~ — ). Пусть е > 0 таково, что шар В(О,е) С Нр 1 — ). Тогда нл(т) = Дт) — Ь на этом шаре. Так как функция 1, по предположению, не интегрируема по шару В(О,е), то, значит, также и щ не является интегрируемой по этому шару и, значит, Л > р1+рз+. +р„. Таким образом, мы получаем, что для того, чтобы функция 1, заданная равенством (8.21), была интегрируема в окрестности точки О, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Л < рь +рз+ '''+ р ° Теперь рассмотрим вопрос об интегрируемости изучаемой функции 1' в окрестности точки оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
