1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Интегральное исчисление функций многих переменных Для всякого у Е К~ в силу (7.б) выполняется неравенство Г(у) = !!~„Ль,(и-) < 1~ Ф.(у). Мы получаем, что последовательность ступенчатых функций (Ф ) ен мажорирует функцию Г. Отсюда следует, что !!Г!!ь,(и.) < Бш Ф„(у) Иу = 1пп р„(х) Их < !!Дь,(и-) + е. Так как е > 0 было взято произвольно, то отсюда, очевидно, вытекает первое из неравенств (7.4).
Второе неравенство (7.4) доказывается аналогичным образом. Лемма доказана. ° Теперь мы можем доказать основное утверждение о сведйнии вычисления интеграла функции п переменных к отысканию интег алов ля нк ий меньшего числа пе еменных. Это утверждение содержится в формулируемой далее теореме. Оно является одним из главных средств, применяемых для отыскания значений тех или иных конкретных интегралов. ° Теорема 7.1 (теорема Фубини). Пусть 7': К" — К есть интегрируемая функция в К". Тогда для почти всех у Е К функция ь Я„7: з ((у, з) интегрируема по К, для почти всех з Е К функция п,г: у ~ Ду,г) интегрируема по К~. Пусть Г(у) = ! 7"(у, г) пз, 0(з) = ! 7"(у, г) Ну. Тогда функция Г и и~ интегрируема по К, функция 0 интегрируема по К, причем имеют место равенства ! Г(у) Иу = ! 0(з) пз = 1 7(х) пх.
Ф и Ж" Доказательство. Пусть 7: К" — К есть произвольная интегрируемая функция. Для всякого и Е г( найдем ступенчатую функцию у„ такую, что 1 !!У вЂ” чз~!!ь,(и-) < —. Положим 1 — ~р„= т„. Для всякого у Е Кь в К определена функция Я„т„= Я„7" — Я„~р„. Положим Л„(у) = !!т„!!ь,(и ). Согласно лемме 7.2 выполняется неравенство 1 !!д !!ь,(и) < !!' !!ь,( ") < р. Из последнего неравенства, очевидно, следует,что з 7. Теорема Фубини и ее следствия 129 В силу теоремы о нормально сходящемся ряде (теорема 4.1) отсюда вытекает, что Л„(у) — О для почти всех у б К». Пусть Е есть множество меры нуль в пространстве К», состоящее из всех точек у Е К, для которых Л„(у) не стремится к нулю при и -+ ао. Пусть у ф Е, Тогда Л„(у) — + О при и — + со, т. е.
для этого у стремится к нулю при и ~ оо. Функция Я„у„является ступенчатой. Из доказанного поэтому следует, что функция Я„|' интегрируема для всякого у, не принадлежащего множеству Е меры нуль в пространстве К». Таким образом, мы получаем, что для почти всех у б К» функция г 7"(у,г) интегрируема по пространству К™. Для у р Е положим Г(у) = Ду,я) Ня = Вяжя) сЬ. Для у б Е считаем, что Г(у) = О. Пусть Ф„(у) = | ~р„(у, я) ~Ь. Ж Согласно лемме 7.1 функция Ф„является ступенчатой в К». При всяком у ф Е имеем !ГЬ) — Ф,Ь)! = < !АУ вЂ” ~яр~!1г,,(и-) = Кь(у). (7 7) Имеем также 11Л Ь,(и ) < 11У вЂ” Р Ь,( -) Пе п елим нк ию Л„, полагая Л„(у) = оо при у б Е.
Значение б»-нормы функции Л„при этом не изменится. В то же время неравенство (7.7) для переопределенной функции Л„будет выполняться уже для всех у Е К». Это позволяет заключить, что 11à — Ф 11»,(я ) < !1Л 11»,(иь) < 11У вЂ” ж.!1»,(и-) и, значит, 11à — Ф„1!ь,бяь~ О при и -+ оо. Функции Ф„согласно лемме 7.1 являются ступенчатыми. Из доказанного поэтому следует, что функция Г интегрируема по пространству К». При этом 130 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Согласно лемме 7.1 при каждом и имеет место равенство | Ф„(у) ду = <р„(х) Ых. Интеграл справа при и -+ оо стремится к пределу, равному | Дх) Ых. Мы получаем, таким образом, что и" Первое равенство теоремы, таким образом, доказано.
Показательство второго равенства утверждения осуществляется аналогично. Предоставляем читателю рассмотрение всех деталей доказательства в этом случае. Теорема доказана. ° з Следствие Х. Пусть Е есть множество меры нуль в пространстве К". Для произвольного у б К" обозначим через Я»Е множество всех точек» б К, для которых (у, ») б Е.
Для» б И пусть о,Е есть множество всех у б К~, для которых (у, ») б Е. Тогда для почти всех У б Иь множество $»Е есть множество меРы нУль в лРостРанстве К™. Аналогично, для почти всех» б К множество о,Е есть множество меры нуль в пространстве И~. 3 а м е ч а н и е. Множество Б»Е называется у-сеченпем множества Е и соответственно и,Š— »-сечением множестпва Е. .Показательство. Панков утверждение получается приложением утверждения теоремы 7.1 к функции Хн — индикатору множества Е. Если Е является множеством меры нуль в пространстве К", то функция Хн интегрируема и интеграл от нее равен нулю. По теореме 7.1 найдется множество А1 меры нуль в пространстве Кь такое, что если у ф А1, то функция Я»Хн. » ~-> Хн(у, ») интегрируема. Положим Г(у) = хк(у»)п». Величина Г(у) равна мере множества Б Е.
В силу утверждения теоремы 7.1 функция Г интегрируема. Лля всякого у ф А1 величина Г(у) неотрицательна. В силу теоремы 7.1 интеграл от функции Г по КЯ равен интегралу от функции Хн по пространству К", т. е. он равен ~ 7. Теорема Фубини и ее следствия нулю. Отсюда заключаем, что Г(у) = О для почти всех у б К~, для которых Г(у) определено.
Пусть Аз есть множество тех у Е К~, для которых Г(у) ~ О. В силу леммы 2.9 Аз есть множество меры нуль. Положим А = Аз 0 Аз. Тогда множество А есть множество меры нуль в пространстве Ка. Лля всякого у ф А множество Я„Е представляет собой множество меры нуль в пространстве К™. Утверждение следствия, касающееся множеств Я„Е, таким образом, доказано. Для о,Е рассуждения проводятся аналогично. Следствие 1 доказано. Следствие 2.
Все утверждения теоремы 7.1 остаются верными также и в случае, если функция ~, интегрируемая по К", определена лишь почти всюду в К". действительно, предположим, что 7 есть интегрируемая функция, определенная в К" почти всюду. Пусть Е есть множество тех х Е К", для которых Дх) не определено. Продолжим функцию ~ на множество Е произвольным образом. Получим некоторую функцию ~, определенную всюду в К". Эта функция интегрируема.
При этом интегралы функций 7 и У совпадают. Пусть Аз есть множество тех у Е К~, для которых соответствующее у-сечение множества Е не является множеством меры нуль в пространстве К . Палее, пусть Аз есть множество тех у Е К~, для которых функция Яз7" интегрируема по К™. Тогда Аз 0 Аз есть пренебрехсимое миохсеспзво в К . Возьмем произвольно у ф А. Множество Я„Е для данного у является пренебрежимым в К в силу того, что у ф Аз. Если з ф ЯзЕ, то х = (у, х) ф Е и, значит, для этого х имеем Яз7(х) = Ду, х) = ЯзЯх). Так как у ф Аз, то для данного у функция Яз~ интегрируема.
Так как у ф Аы то для данного у функция ЯзДх) = Я„Дз) для почти всех г Е К . Следовательно, мы получаем, что если у ф А, то функция Я„7": х Е К > Ду,з) интегрируема по К . При этом Г(у) = 1(у,з)1 = У(у,з) з =Г(у) В силу теоремы 7.1 функция Г интегрируема по Кь. Отсюда вытекает, что функция Г интегрируема по К~.
При этом Г(у) Ну = Г(у) йу = 7(х) Их = Дх) бх. Рассуждения, касающиеся функции с'(з) = ) Ду,х) Иу (см. выше), н~ проводятся аналогично. Следствие 2 доказано. Ъ' 132 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 7.2. ТЕОРЕМА ТОНЕЛЛИ Здесь мы докажем а н а л о г теоремы Фубини для случая измеримых функций. Необходимость в таком аналоге вызвана тем обстоятельством, что условия теоремы Фубини делают ее в некоторых случаях неудобной для применения. Для того чтобы применять зту теорему, необходимо заранее знать, что рассматриваемая функция интегрируема. Оказывается, что преобразования интегралов функции п переменных, возможность которых вытекает из теоремы Фубини, приводят к правильному результату при значительно более слабых предположениях.
Напомним некото ые обозначения. Пусть и > 2, х и т есть натуральные числа такие, что /с+ т = в. Пространство И" будем отождествлять с произведением К~ х К, рассматривая произвольную точку х = (хыхз,...,х„) б К" как пару (у,з), где у = (ум уз,...,уь) б И и з = (аы аз,..., з ) б К, причем у; = х; для 1 = 1, 2,..., /с и з = ха+ . при каждом 1 = 1,2,....
Для произвольной функции ~, определенной в К", ее значение Дх) в точке х = (у, з) б К" будем обозначать символом Ду, а). Для функции г": К" -+ К символ Я„~, где у Е И~, как и ранее, означает функцию, определенную на К™ условием Я„Да) = У(у, з) для всех а Е К . Полагаем Г(у) = ЙЯ„Дь,1и 1. Для произвольной точки з б К™ пусть о, г" есть функция у б К~ Х(у* ). ° Теорема 7.2 (теорема Тонелли). Предположим, что пространство К" представлено как прямое произведение К~ х К .
Пусть 1: К К есть неотрицательная измеримая функция. Тогда для почти всех у б Кс функция Я„~ измерима в К, для почти всех а б К функция и, 1 измерима в К . Пусть Определенные так функции Г и 6 неотрицательпы, измеримы в про- странствах К и К™ соответственно, и имеют место равенства | Г(у) ду = 0(з) Па = 11х) дх. Ф Ж и" Доказательство. Предположим, что измеримая вещественная функция 1': И" — ~ Й неотрицательна и определена всюду в К". Величина Дх), таким образом, предполагается определенной для всех х б К".
3 7. Теорема Фубинн и ее следствия 133 Построим некоторую вспомогательную последовательность функций 7"„. Пусть В„есть а-мерный брус В„ = [-и, и) х [-и, и) х х [-и,и) = ([-и,и))". Брус В„может быть представлен как объединение конечного числа двоичных кубов, и, следовательно, его индикатор является ступенчатой, а значит,и измеримой функцией. Положим х„ = ивов„,и пусть У„ = пйп(У,Х„). Функция У„ неотрицательна и измерима. При всяком х б К", для которого Дх) определено, выполняются неравенства О < 7'„(х) < х„(х).
Отсюда вытекает, что функция 7„при каждом и б Х интегрнруема. Если х ф В„, то 7"„(х) = О и, значит, в этом случае Ях) < 7'„+1(х). Пусть х б В„. Если Ях) < и, то Дх) < и+ 1 и, следовательно, 7"„(х) = У„+1(х) = Дх). Если и < Дх) < и+ 1, то Ях) = и < Дх) = У„+1(х). Если и+ 1 < Дх), то имеем ~„(х) = и, 7"„+1(х) = и+ 1. В этом случае У„(х) < 1„+1(х). Последовательность (~„)„ен, определенная таким образом, является возрастающей. Для всякого х б К" имеем 1пп Х„(х) = оо. У вЂ” > СО Отсюда следует, что для всякого х б К" выполняется равенство Вт У„(х) = пйп(Дх),оо) = Дх). При каждом и для почти всех у б К~ функция Я„У„интегрируема по К .
Пусть А„есть то множество меры нуль в пространстве КЯ, состоящее из тех исключительных значений у Е К, для которых функция 134 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Яз г"„не является интегрируемой по К™. Для всякого р ф А„определена величина Получаемая таким образом функция Г„интегрируема по пространству К~. При этом (7.8) и" При каждом и в силу теоремы 7.1 имеем Имеем также 1пп Ях) дх = 7"(х) Ых.
(7.9) Ж" и" Пусть А = О А„. Тогда А есть множество меры нуль в пространстве К». Возьмем произвольно точку у ф А. Для этого у функция Я„|„определена для всех х Е К и интегрируема по пространству К . Последовательность функций (Я„|„)„ен является возрастающей, и Я„Яг) -+ Я„Дг) при и -+ со для всех г Е К . Отсюда вытекает измеримость функции Я„У. В силу неотрицательности функции Я„г" для данного у определенавеличина Г(у) = ) Ду,г)<Ь. В силу твои ре иы Леви для носледоватпельностсй измеримых функций (теорема 5.7) мы получаем, что Г(у) = аппп Г„(у).
В силу свойства монотонности интеграла последовательность (Г„(у))„ен является возрастающей для всякого у. При этом Г„(у) — + Г(р) для почти всех у Е К~. Отсюда вытекает измеримость функции Г. Теорема Леви для последовательности измеримых функций позволяет заключить, что З 7. Теорема Фубввн в ее следствия Из равенств (7.7) и (7.9) вытекает равенство У(х)е = г(у)оу. Первое из равенств теоремы доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
