1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Отсюда вытекает, что всякий двоичный куб представляет собой измеримое множество. В силу теоремы 5.9 из равенства (6.4) следует измеримость множества У. Пусть А есть замкнутое множество пространства К . Множество У = СА открытое и, значит, по доказанному, П измеримо.
Имеем А = К" 1 У. Множество К" измеримо. Так как разность двух измеримых множеств есть измеримое множество, отсюда следует измеримость множества А. Теорема доказана. ° Пусть (а„)„ен есть последовательность попарно непересекающихся двоичных кубов такая, что их объединение совпадает с данным открытым множеством У пространства К". Тогда согласно теореме 5.10 мера множества о' допускает представление у=| Панное равенство устанавливает геометрический смысл меры открытого множества в пространстве К". Мера открытого множества равна сумме мер кубов, на которые может быть подразделено множество У. Значение этой суммы не зависит от способа подразделения открытого множества. 112 Гл.
13. Интегральное исчисление функций многих переменных 6.3. ВНЕШНЯЯ МЕРА МНОЖЕСТВА. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВНЕШНЕЙ МЕРЫ МНОЖЕСТВ В К~ Пусть А — произвольное множество в системе с интегрированием Е = (М,.у', 1). Величина ()Хл()ь,<е1 называется внешней мерой множества А. Будем говорить, что последовательность множеств (Ау)„ен накрывает множество Е, если Е содержится в объединении множеств А„. Отметим некото ые с в о й с т в а опе а ий на множествами. Пусть дано произвольное множество М. Последовательность (Е,)„ен подмножеств М будем называть возрастающей, если при каждом и б 1з имеет место включение Е, С Е,+1.
Как следует из леммы 1.1, последовательность множеств (Еу)уен является возрастающей в том и только в том случае, если последовательность индикаторов множеств Е„является возрастающей. 1. Пусть (Еу)уел есть возрастающая последовательность подмножеств множества М, а Š— объединение множеств этой последовательности. Тогда (б.5) ХЕ(х) ~~~~~ ХЕ (х) для всех х б К".
Действительно, если х ф Е, то х ф Е„для всех х и, значит, в этом случае Хе„(х) = О для всех и Е И и, следовательно, 1пп Хе„(х) = 0 = Хе(х). Если же х б Е, то найдется номер ио б И такой, что х б Е„,. При всяком и > ио множество Е„содержит в себе множество Е„„и, значит, Хе„(х) = 1 = Хе(х) для любого и > ио.
Отсюда вытекает, что и в этом случае йп1 Хе„(х) = Хе(х), и предложение1, таким образом, доказано. У ОО 11. Пусть (Е„) „ен есть произвольная возрастающая последовательность множеств и (Н„)„ен есть последовательность, определенная по ней следующим образом: Н1 — — Е1 и Н„= Е 1 Е, 1 при и > 1. Тогда множества Н„попарно непересекающиеся. При каждом и б И У ОО ОО Ц Н„= Е„и имеет место равенство Ц Е„= и Н„. Действительно, У=1 У=1 У=1 возьмем произвольно номера и и р,причем и ф р. Для определенности будем считать, что и ( р. Тогда р — 1 > и. Имеем Н„С Е„С Е„ и Н„= Е„11Е„1.
Отсюда следует, что множества Н„не имеют общих элементов с множеством Е„, а значит, и с множеством Н„С Е„. Таким образом, доказано, что множества Н, попарно непересекающиеся. з 6. Измеримые множества и функции в пространстве К" 113 Пусть х б Е„. Найдем наименьшее значение р < и такое, что х б Е„. Если,и = 1, то мы получаем, что х б Н1. Если же,и ) 1, то х ~ Е„ 1 и, значит, х б Н„. Таким образом, всякий элемент х множества Е„принадлежит одному из множеств Нв, где 1 < р < и.
Так как для таких значений р множество Н„содержится в Е„, то из доказанного вытекает, что объединение множеств Н„, номера которых удовлетворяют условию 1 < р < и, совпадает с множеством Е,. Теперь заметим, что Š— объединение множеств последовательности (Е„)„еи содержит каждое из множеств Н„. Всякая точка множества Е принадлежит по крайней мере одному из множеств Е„, а значит, как следует из доказанного выше, по крайней мере одному из множеств Н„. Отсюда вытекает, что Е совпадает с объединением множеств Н„, р = 1, 2,.... Предложение П, таким образом, доказано. 111. Пусть М есть базисное пространство системы с интегрированием (М,Я,Х).
Тогда для всякой возрастающей последовательности измеримых множеств (Е„)„еи имеет место равенство р Ц Е„= Бш р(Е„). и=1 Лействительно, пусть (Е„)„еи есть произвольная возрастающая последовательность измеримых множеств, Š— объединение множеств этой последовательности. Тогда в силу предложения ? последовательность функций (хк„) ен — индикаторов множеств ń— является возрастающей и 1пп Хк„(х) = ~к(х) для всех х б М. В силу теоремы Леви для последовательностей измеримых функций (теорема 5.7) отсюда вытекает, что 7(ук) = Бгп 1(;Гв„), т.
е. р(Е) = Бт р(Е„), что и требова- Р ОО в оо лось доказать. Множество Е С К" будем называть элементарным, если оно является объединением конечного числа двоичных кубов. Множество Е С К" является элементарным в том и только в том случае, если его индикатор является ступенчатой функцией. Пусть Е есть элементарное множество. Представим его как объединение двоичных кубов, и пусть г есть наибольший из рангов кубов, составляющих Е. Тогда каждый из двоичных кубов, объединением которых является множество Е, может быть представлен как объединение конечного числа двоичных кубов ранга т. Пвоичные кубы одного и того же ранга попарно не пересекаются, и, следовательно, мы получаем, что всякое элементарное множество является объединением конечного числа попарно непересекающихся двоичных кубов.
114 Гл. И. Интегральное исчисление функций многих переменных р (Е) < ) р (о«) (6.6) Пусть Е' = Ц (з„. Положим (р (з) = ~ Х(о«). Функция (р «=1 «=1 является ступенчатой. Эта функция неотрицательна. Последовательность ((р ) е)ч возрастающая. Имеем (РУ (*) =,~ Х~ (*) > Хк'(л). «=1 Так как Е (. Е', то Хк(э) < Хк (з). Таким образом, мы получаем, что Хк(з) < Ыш (р (з) для всех к б К".
Это означает, что последовательность стУпенчатых фУнкций ((Р ) е)ч мажоРиРУет фУнкцию Хк и, значит, согласно определению Х1-нормы функции имеет место нера- венство «.(У)=((х~() .< и 1(«( )~*=с,«.( .). Ж" у 1 Неравенство (6.6), таким образом, доказано. Пусть А и В есть элементарные множества. Тогда их объединение, пересечение и разность также являются элементарными множествами. Пусть г — целое число такое, что каждое из множеств А и В есть объединение конечного числа двоичных кубов ранга т. Множество А()В мы получим, если из кубов, составляющих А и В, оставим только те, которые содержатся как в А, так и в В.
Разность А 1 В состоит из тех двоичных кубов ранга г, которые содержатся в А, но не содержатся в В. Из сказанного ясно, что А П В и А 1 В есть элементарные множества. То, что объединение двух элементарных множеств снова есть элементарное множество, следует непосредственно из определения понятия элементарного множества. Будем говорить, что последовательность множеств (А„),е)ч покрывает множество Е, если Е содержится в объединении множеств А,. Следующая теорема устанавливает геометрический смысл понятия внешней меры для множеств в пространстве К".
Лля упрощения изложения удобно считать, что пустое множество является двоичным кубом. ° Теорема 6.2. Внешняя мера произвольного множества в простралстве К" равна точной нижней границе сумм ~ р„(о«), где «=1 (а„)„е))( — произвольная последовательность двоичных кубов, покрывающая множество Е. Доказательство. Пусть (а„) есть последовательность двоичных кубов, покрывающая множество Е. Покажем, что имеет место нера- венство 115 'з 6. Измеримые множества и функции в пространстве И" Если внешняя мера множества Е равна оо, то в силу неравенства (6.6) для всякой последовательности двоичных кубов, покрывающей множество Е, имеем 2 р„(а„) = оо, и в этом случае утверждение и=1 теоремы верно. Будем далее предполагать, что,й„(Е) < оо. Зададим произвольно е > О, и пусть (~р„)„ен есть последовательность ступенчатых функций, мажорирующая функцию З~и и такал, что Зададим число 1 такое, что О < 1 < 1 и выполняется неравенство <р (Е)+е Пусть Е„есть множество всех х б К", для которых выполняется неравенство ~р„(х) > 1.
Покажем, что множество Е„является объединением конечного числа попарно непересекающихся двоичных кубов. Действительно, пусть Мл) = ~ азха(т) есть представление функции у„в виде линейной комбинации попарно непересекающихся двоичных кубов. Множество Е„является объединением кубов оз, отвечающих тем значениям у, для которых Ь > 1. Отметим,что <в„(х)Йх > ~ 1р„(о ) = 1н„(Е„). Ж" | за,>~ (Суммирование производится по множеству всех у, для которых выпол- няется неравенство 6+у > з.) Отсюда вытекает, что ,и„(Е„) < — 1пп 1о (а)Нж < 1 .
~ ра(Е)+е/2 < р„(Е) + е. Р ОО н" Если ~р„(л) > 1, то тем более у„+з(т) > 1. Таким образом, если х б Е„(1), то х б Е„+ы и, следовательно, Е„С Е„+з при каждом 116 Гл. ?3. Интегральное исчисление функций многих переменных и е 1"?. Последовательность множеств (Е„) „еи, таким образом, является возрастающей. Пусть Е" = и Е„. Покажем, что Е с Е".
Действительно, возьР=1 мем произвольно точку т б Е. Так как Бп1 1р„(в) > Хн(х) = 1 и 1 < 1, Р ОО то найдется номер и, для которого у„(х) > 1. Очевидно, в б Е„С Е". Так как в Е Е" было взято произвольно, то тем самым доказано, что Ес Е". Положим Н1 — — Е1, и пусть Н„= Е„'1 Е„1 при и > 1. Множества Н„в силу предложения?? попарно не пересекаются и О Н„= ОР в Р=1 = Ц .Е„. Отсюда следует, что множество Е" измеримо и Р=1 р„(Ео) = ,'1 р„(Н„). Каждое из множеств Н„является элементарным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
