1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Множество всех неотрицательных измеримых функций в системе с интегрированием Е обозначим символом М+(Е). Понятие интеграла частично может быть распространено на случай измеримых функций. Простоты ради мы ограничимся случаем неотрицательных функций. Заметим, что определить понятие интеграла для произвольной измеримой функции — с сохранением некоторых из его основных свойств — невозможно. Пусть Х есть неотрицательная измеримая функция, Х е М+(Е).
Если Х интегрируема, то величина ХЦ) имеет тот же смысл, что и ранее (см. определение в з 2). Если же функция Х не является интегрируемой, то полагаем 1Ц) = оо. ° Теорема 5.5. Пусть Х и д — две функции класса М+(Е). Тогда если 11х) < д(х) почти всюду в М, то имеет место неравенство ХЦ) < ХЬ). (5.1) Доказательство. Если 1(д) = оо, то неравенство теоремы, очевидно, выполняется. Предположим, что 1(д) < оо.
Тогда функция д интегрируема. По условию, Х(х) < д(х) для почти всех х Е М. Отсюда в силу теоремы 5.3 следует, что функция Х интегрируема и неравенство (5.1) вытекает из следствия 2 теоремы 2.2. Теорема доказана. ° ° Теорема 5.6. Для любых двух функций Х и д класса М+(Е) имеет место равенство 1Ц+д) = ХЦ)+19). (5.2) Доказательство. Если 1Ц) < со и 1(д) < оо, то функции Х и д интегрируемы и в этом случае доказываемое утверждение следует из свойств интеграла, установленных ранее (теорема 2.1). Предположим, что хотя бы одна из величин 1Ц) и 1(д) равна оо. Тогда 1Ц) + 1(д) = оо, и наша задача состоит в том, чтобы доказать, что ХЦ+ д) = со. Допустим, напротив, что 1Ц + д) конечно.
Тогда функция Х + д интегрируема. Так как О < Х(х) < Ях) + д(х) и О < д(х) < Х(х) + д(х) для почти всех х Е М, то функции Х и д интегрируемы и величины 1Ц) и 1(д) конечны, что противоречит сделанному выше допущению. Значит, 1Ц+ д) = со, т. е. и в этом случае 1Ц+ д) = ХЦ) + 1(д). Теорема доказана.
° 94 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ° Теорема 5.7. Пусть Ц„)„ен — произвольная возрастающая последовательность функций класса М+(Е), Х(х) = аппп Ях) для х е М. «оо Определенная таким образом функция 1 является измеримой, причем 1Ц) = Ыт 1Ц„). (5.3) Для любой последовательности (и«)„ен измеримых функций, неотрицательных и определенных в М почти всюду, функция Г = 1 и «=1 является измеримой, причем имеет место равенство 1(Г) = «з 1(и„). уео (5.4) « « СО 1(Г) = Бш 1(Г„) = Бгп 1( ~~ из) = Бт ~ Цил) = ~ 1(и«).
А=1 А=1 «=1 Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Если по крайней мере одно из слагаемых, встречающихся в каждой из сумм, указанных во втором утверждении теоремы 5Л, равно со, то и всю сумму мы считаем равной оо. Яоказательство теоремы. Измеримость функции 1 следует из теоремы 5.4. Так как последовательность Ц„)„ен возрастающая, то последовательность (ХЦ„)),ен также возрастающая. При каждом и б М имеем 1Ц„) < 1Ц). Отсюда следует, что Бт ХЦ„) < 1Ц).
«со Если Бт 1Ц«) = оо, то отсюда вытекает, что 1Ц) = оо, и, стало «-~а« быть, в этом случае равенство (5.3) верно. Если же предел 1пп ХЦ„) конечен, то, как следует из гпеоремы «-~оо Леви для последоеагпеланосгпей (следствие 3 теоремы 4.1), предельная функция 1 является интегрируемой, причем ХЯ = йщ ХЦ„). Таким образом, доказано утверждение теоремы, относящееся к неравенству (5.3). Докажем утверждение теоремы, касающееся равенства (5.4). По« ложим Г„= 1 ил. Последовательность функций (Г„)„ен, получаемая А=з таким образом, является возрастающей.
Для почти всех х е М существует предел Бт Г„(х) = Г(х). Отсюда в силу доказанного утвер«оо ждения теоремы относительно функциональных последовательностей вытекает, что З 5. Измеримые функции н множества 95 Следствие. Для всякой неотрицательной измеримой функции 1 ее Й1-норма равна 1Ц). Действительно, в случае, когда 1 есть интегрируемая функция, данное предложение доказано ранее. Предположим, что 1 неинтегрируема. Тогда 1Ц) = оо. Пусть Цу)уен — произвольная последовательность простых функций, мажорирующая функцию 1.
Для всякого я б М существует предел йт Яж), который мы обозначим симво- У вЂ” ~ ОО лом 1'. Функция 1 измерима, и для всех х Е М имеет место неравенство О < 1(х) < Дх). Отсюда в силу теоремы 5.5 вытекает, что 1(1) = оо. Согласно теореме 5.7 Щ) = 1пп 1Ц,). Таким образом, для У ОО всякой последовательности простых функций Цу)уен, мажорирующей данную функцию 1, в рассматриваемом случае ХЦу) — оо при и — оо.
Отсюда согласно определению Ь1-нормы вытекает, что ~Яь,1м1 = оо. Следствие доказано. я ° Теорема 5.8 (теорема Фату для последовательности измеримых функций). пусть Цу)уен есть произвольная последовательность неотрицательных измеримых функций, н пусть функция 1 определена равенством 1 (х) = йш ~„(х). Тогда имеет место неравенство (5.5) Доказательство. Предположим, что выполнены все условия теоремы. Положим Ь = 1пп 1Ц,).
Если Ь = со, то неравенство (5.5) У ОО верно. Будем считать, что Ь конечно. Для л б 51 обозначим через ду нижнюю огибающую последовательности Ц„)„й„. Это означает, что дУ(х) = ш1 Ях) для почти всех х б М. Следствие теоремы 5.4 позвояйу ляет заключить, что каждая из функций ду измерима. Функции ду все неотрицательны в силу неотрицательности функций 1„. При всяком и > и имеем ду < ~„, и, значит, 1(ду) < 1Ц„) при любом и > и.
Отсюда следует, что 1(ду) < 1п1 1Ц„) < Ь. По предположению Ь конечно, УйУ и, значит, 1(дя) < оо для всех и, т. е. функции дя все интегрируемы. Последовательность функций (д )уен возрастающая. Для почти всех х б М имеем Йп д„(я) = 1пп 1,,(х) = 1(я). У ОЮ Последовательность интегралов (1(ду)) „еи ограничена сверху. Отсюда согласно теореме Леви для последовательностей (следствие 3 теоремы 4.1) вытекает, что функция 1 интегрируема, причем 1Ц) = йт 1(ду) < 1 = Йп 1Цу).
У ОО У ОО Теорема доказана. ° 96 Гл. И. Интегральное исчисление функций многих переменных .4. ПОНЯТИЕ ИЗМЕРИМОГО МНОЖЕСТВА ИНТЕГРАЛ КАК А ИТИВНАЯ ФУНК ИЯ МНОЖЕСТВА В произвольной системе с интегрированием может быть выделен некоторый класс множеств, которые мы будем называть измеримыми. В случае евклидовой системы с интегрированием измеримые множества есть в точности те, для которых может быть определено естественным образом понятие и-мерного объема. «Естественность» в данном случае означает, что и-мерный объем должен обладать некоторыми «хорошими» свойствами.
5.4.1. Пусть дана система с интегрированием Е = (М, дт, 1). По произвольному множеству А определим операцию над множествами, которую будем называть операцией огораживания функции у по множестпву А. Сначала определим по множеству А С М некоторые вспомогательные функции Кл(х) и дл(х), полагая Кл(х) = 1, дл(х) = оо при х'б'А Кй(х) ='ди(х) = О'при х ф А. Функция Кл есть уже известная нам функция — индикатор или характеристпическая функция множества А. Предположим, что задана функция ~, область определения которой есть подмножество М, содержащее множество А. Полагаем т"(х) при х б А, ВАДх) = ; ", 1 Ое...отвели: х ф,А,,," Вл(ЛУ+ ид) = ЛВл~+ рВ„д. Действительно, если х ф А, то Вл(Лт"(х) + дт"(х)) = О, Влт"(х) = О и Влд(х) = О, и для этого х, очевидно, имеет место равенство (5.6) Вд(ЛЯх) +,иДх)) = ЛВАДх) + рВлд(х).
Если взять |(х) а— ч 1, то Вд т" = Лл, а если Дх) = оо, то Вд~ = дл. Будем говорить, что функция Вл т" есть р е з у л ь т а т огораживания функции т" по множестпву А. Множество А С М называется измеримым относительно системы с интпегрированием Е, если функция Кл в этой системе является измеримой. Если множество А измеримо, то функция дл также является измеримой. Действительно, в этом случае при каждом тт б Х функция иКА измеРима и игл(х) -+ дл(х) пРи о - оо длЯ всех х, откУда и слепУет измеримость функции дл. Пусть даны вещественные функции т и д, определенные почти всюду в М. Предположим, что линейная комбинация Лт'+ рд также определена почти всюду в М. Тогда имеет место равенство з 5. Измеримые функции и множества 97 Если же х б А и для этого х определены Дх), д(ж) и АДЖ) + рДЖ), то ЛАДЖ) = ~(х), ЛАд(ж) = д(ж)> ЛА[АДх) + ИДЖ)] = Х~(х) + рДХ), и, значит, в данном случае также КА(Л7(х) + рДЖ)) = ЛЯАДЖ) + рЛАд(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
