1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следствие 1 доказано. я Следствие 3 (теорема Леви для функциональных рядов). Пусть ~о есть ряд, все члены которого суть неотрицательные интегрируе«=2 СО мые функции. Тогда если 2 1(Х„) < оо, то почти все х Е М таковы, СО «=1 что Г(т) = ,'>, '1„(х) < оо. Функция Г, определенная последним равен«ж1 ством, интегрируема, причем 1(Г) = 2 1(1,,). Доказательство. В силу неотрицательности функций Х„б 1 ~(Б) для каждой из них выполняется равенство ]]1„]]ь, = 1(Х„). Отсюда ясно,что для последовательности (Х„)„ен выполнены все условия теоремы, откуда и вытекает справедливость утверждения следствия 2.
У Следствие 3 (теорема Леви для последовательностей). Пусть (У„)„еи есть произвольная последовательность интегрируемых функций. Предположим, что существует множество Е меры нуль такое, что для всякого з ф Е значение Х„(х) определено и конечно для всех и Е М и последовательность функций (Л,)„ен является монотонной на множестве М ~ Е.
Тогда если последовательность интегралов (1( 1„))„ен ограничена, то для почти всех и б М существует конечный предел йщ 1«(х) = 1(х). Функция 1(з), определенная последним равенством, интегрируема, причем 1(1) = аппп 1( 1«).
3 а м е ч а н и е. Напомним, что согласно определению монотонной последовательности функций условие следствия означает, что либо для всех т б М ~ Е числовая последовательность ( 1„(х))„ен является возрастающей, либо эта последовательность является убывающей для всех х б М ~ Е. Доказательство следствии. Будем считать, что последовательность (1„)„ен является возрастающей.
Случай убывающей последовательности сводится к этому заменой Х„на — 1„. Рассмотрим ряд ,>, [Х„+~ — 1«]. Все его члены суть неотрицательные интегрируемые функции, и при каждом и Е Х 'З 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 75 Так как последовательность интегралов (ХЦ„))«ен, по условию, ограничена, из последнего равенства вытекает, что последовательность частных сумм ряда 2 ХЦ„+з — 1«) ограничена. На основании след«=1 ствия 2 теоремы 4.1 заключаем, что для почти всех х Е М величина 1„+з(х) — Х„(х) определена и конечна, причем сумма 0(х) = ~> (Х„+з(х) — 1„(х)) = «=1 = Ып~ ~ (Х„+з(х) — Х„(х)) = 1пп (Х„+з(х) — Ях)) к=1 также определена и конечна,и функция С(х), определенная последним равенством, интегрируема. При этом согласно следствию 2 теоремы 4.1 имеем ХФ) = ,'«.ХУ.+з — И = «=1 « = 1пп ~1 ХЦк+,] — ХЦ„] = 1пп 11(Х„+з) — 1(Хз)).
я=з Таким образом, для почти всех х Е М существует конечный предел Бт [Х„+з(х) — Хз(х)] = С(х), и, значит, для почти всех х Е М существует конечный предел Бт [1„(х) — Ях)] = С(х), а вместе с ним и предел 1пп 1„(х) = Ях)+ 6(х) = 1(х). Точно так же заключаем, что существует конечный предел 1пп 1(Х„) = 1(0)+ 1(Хз). Мы получаем, таким образом, что функция 1, определенная равенством 1(х) = 1пп 1,,(х) для всех х Е М, для которых этот предел существует, интегрируема, причем 1(1) = Бт 1(1„).
Следствие 3 доказано. 76 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 4.2. НИЖНЯЯ И ВЕРХНЯЯ ОГИБАЮ ИЕ ПОСЛЕ ОВАТЕЛЬНОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНК ИЙ д(х) шг 1«(х)> 11(х) = впр 1«(х). «ен «ен Определенную таким образом функцию д будем называть нижней огибающей последоеатпельнасгпи (1„)„ен. Функция Ь называется верхней огибающей последовагпельносгпи. Будем писать д = ш1 1„, Ь = впр1„. «ен "' «,н Докажем некоторые вспомогательные утверждения относительно точной нижней и точной верхней границ числовой последовательности. ° Лемма 4.3. Пусть Š— произвольное множество. Тогда для всякой функции Г: Š— + Й имеют место равенства ш1 Г(с) = — впр( — Г(с)), Ие Бее впр Г(С) = — 1п1 ( — Г(С)).
4ек еее (4.2) (4.3) Яоказательстно. Пусть р = — впр( — Г(с)). Тогда для всякого вее с б Е имеем -Г(с) < — р и, значит, Г(с) > р для всех с б Е, т. е. р является нижней границей функции Г. Пусть р' — произвольная другая нижняя граница функции Г. Тогда для любого с б Е выполняется Г(с) > р', откуда следует, что для всех с е Е выполняется — Г(с) < — р'. Мы получаем, таким образом, что — р' есть верхняя граница функции -Г. Так как — р есть точная верхняя граница функции — Г на Е, то — р < — р', откуда получаем, что р>р.
(4.4) Таким образом, р есть нижняя граница функции Г, н для любой другой ее нижней границы выполняется неравенство (4.4). По определению, зто и означает, что р = ш1 Г(с). Этим доказано равенство (4.1). век 4.2.1. Пусть дана последовательность (1,)„ен вещественных функций, каждая из которых определена почти всюду в М. Найдем множество Е С М, состоящее из всех х Е М, для которых 1„(х) не определено хотя бы для одного значения и б 11.
Для всякого х ф Е определены величины З 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 77 Функция Г в равенстве (4.1) совершенно произвольна. Заменяя в нем Г на — Г, получим 1п1'( — Г(С)) = — зир Г(С), еее Еек откуда, очевидно, следует (4.2). Лемма доказана. ° 4.2.2. Для произвольных х, у Е Й символ шах(х,у) означает наибольшее, символ ш1п1х, у) — наименьшее из этих чисел. ° Лемма 4.З. Пусть дана последовательность (Х„Е К)аен. Определим по индукции последовательности (р„)„еи и (д„)„ен, полагая р1 — — 41 — — х1.
Если для некоторого п Е 11 числа р„и д„определены, ТО Ра+1 — П11П(Ра~ Ха+1 )> Да+1 — ПЪаХ~Яа~ Ха+\ ). ТОГДа (Яо )оЕ1Ч ЕСТЬ возрастаюгцая последовательность, (р„)„еи — убывающая последовательность и Бш р„= 1п1 х„, 1пп д„= зир х„. а оо аЕН ааааа аЕИ Доказательство. Из определения следует, что при каждом и выполняются неравенства р„+1 < р„, д„+1 > д„. Это доказывает, что (у,)„еи есть возрастающая последовательность, а (р„)„ен — убывающая. Пусть Т = Ыш д„. При каждом и имеем х„< д„< Т, и, значит, Т, а оо есть верхняя граница последовательности (х„)„ен. Пусть Е' — произвольная другая верхняя граница последователь- НОСТИ (Ха)аеи Докажем, что для всех О выполняется неравенство 4„< ь'.
Для и = 1 это, очевидно, верно. Предположим, что для некоторого и неравенство д„< А' выполняется. Так как х„+1 < ь', то также и д„+1 — — шах1д„, х„+1) < Ь'. Из доказанного, очевидно, следует, что д„< ь' для всех и и, значит, Х, = 1пп д„< Ь'.
Таким образом, А есть верхняя граница по- а оо следовательности (х„)„ен и для любой другой ее верхней границы Т,' выполняется неравенство Ь < Ь'. По определению, это и означает, что Ь = зарх„. Для последовательности (р„)„ен соответствующее утвер- аЕИ ждение доказывается аналогично.
(Формально можно получить его как следствие доказанного, используя результат леммы 4.2.) Лемма доказана. ° ° Теорема 4.2. Пусть (~„)„еи есть произвольная последовательность интегрируемых функций. Предположим, что существует интегрируемая функция у такая, что при каждом и Е Я выполняется 1„(х) > 1р(х) для почти всех х е м. тогда нижняя огибающая последовательности функций (~„) еи ннтегрируема. Если существует функция ф такая, что при камсдом и б 1З1 выполняется Ях) < ф(х) для почти всех х Е М, то верхняя Огибающая последовательности функций (1„)„еи есть интегрируемая функция. 78 Гл.
13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Предположим, что при каждом и выполняется 1„(х) > ~р(х) для почти всех х б М, где |р Е 1|(Е). Пусть д есть нижняя огибающая последовательности (~„)„еи. Пусть Е„есть множество меры нуль, состоящее из всех точек х б М, для которых либо одна из величин 1,,(х), |р(х) не определена, либо они обе определены, но неравенство 1„(х) > ~р(х) не выполняется. Положим Е = () Е„. Множество Е является пренебрежимььи.
и=1 Построим некоторую последовательность функций (и„),еи, полагая и„(х) = оо для любого х б Е при всех и б Х. Для х ~ Е последовательность (и„(х))„ен определим из условий и|(х) = Ях), и если значение и„(х) определено для некоторого и Е Р1, то и„+,(х) = = |п|п(и„(х), |"„» |(х)). В силу принципа математической индукции этими условиями последовательность (и„)„ен определяется однозначно. Из определения последовательности (и„)„ен видно, что она является убывающей. Функция и| интегрируема, н и|(х) > ~р(х) для всех х ф Е. Пусть ц б Х таково, что функция и„для данного и интегрируема, причем и„(х) > |д(х) для всех х ~ Е.
В силу свойств интегрируемых функций, установленных ранее (см. з 2), из определения функции и„+| следует, что тогда функция и„+, —— ппп(и„, 1,+|) также интегрируема. Так как, по условию, 1„+|(х) > у(х), и„(х) > ~р(х) для всякого х 1с Е, то также и и,+|(х) > ~р(х) для любого х ф Е. В силу леммы 4.3 для всякого х ~ Е имеем д(х) = 11|в и„(х), так и со что функции и„сходятся к функции д почти всюду в М. При каждом и Е Х имеем у < и„< и| почти всюду в М и, значит, 1(<р) < 1(и„) < 1(и ). Последовательность интегралов (1(и„),ен, таким образом, является ограниченной.
В силу |пеоремы Леви для последовательностей (следствие 3 теоремы 4.1) отсюда вытекает, что функция д интегрируема, что и требовалось доказать. Утверждение, касающееся верхней огибающей последовательности функций (1'„),еи, может быть доказано аналогичными рассуждениями. Формально это следует из доказанного. Именно, пусть Ь есть верхняя огибающая последовательности (Я„еи. Тогда в силу леммы 4.2 -Ь является нижней огибающей последовательности (- 1„)„ещ. Если при каждом ц б |1 для почти всех х Е М выполняется 1„(х) < |||(х), где ||| б Е|, то -1„(х) > — ф(х) для почти всех х. Функция — ||| интегрируема, и, значит, по доказанному, также интегрируема функция — Ь, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
