1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для всякого х 1с Е величины Дх) и д(х) определены, причем Дх) = Бщ <р„(х) и д(х) = 1пп ф„(х). В силу леммы 5.1 для всякого х ф Е имеем щах(Дх),д(х)) = Бщ щах(р„(х), ф„(х)), щ1п(1(х),д(х)) = Бп1 щ1п(ср„(х),4 „(х)). Функции щах(<р„ф„) и щ1п(~р„,ф„) принадлежат классу Я при кавсцом и б Р1. Согласно определению доказанное означает, что функции щах(1,д) и оп(~,д) измеримы. Если х ф Е1 0 Ез, то для этого х определены значения каждой из функций У(х) и д(х). Предположим, что сумма Дх) + д(х) определена для почти всех х б М, т. е. сУществУет пРенебРежимое множество Ео С М 1 (Е1 0 Ез) такое, что для всякого х ф Ео 0 Е1 0 Ез определено г"(х) + д(х).
Это означает, что выражение Дх) + д(х) не является суммой вида — ос + оо или оо + ( — оо). Для всякого х ф Ео 0 Е1 0 Ез имеет место равенство Дх)+ д(х) = Бт [~р„(х)+ 4~„(х)]. Функция у„+ ф„при каждом и б Х принадлежит классу Я. При и -+ со функции <р, + ф„сходятся к 1 + д почти всюду. Согласно определению отсюда следует, что функция ~ + д измерима. Наконец, заметим, что если функции <р„, и = 1, 2,..., класса Я при и -+ оо сходятся почти всюду в М к функции Х и а ~ О, то функции ау„ почти всюду сходятся к функции а~.
При каждом и б г1 функция о<р принадлежит классу Я. Отсюда следует измеримость функции а(. Теорема доказана. ° а Лемма 5.2. Пусть 1' есть неотрицательная вещественная функция, определенная в М почти всюду. Тогда если функция 1 измерима, то существует последовательность неотрицательных функций класса Я, сходящаяся к 1 почти всюду. з 5. Измеримые функции и множества Яоказательство. Пусть 1 — неотрицательная измеримая функция, (<р„)„ен — последовательность функций класса Я, сходящаяся к 1 почти всюду.
При каждом и Е М функция ~у„~ принадлежит классу Я, и для всякого х б М, для которого у„(х) — 1(х) при и — оо, также и )<р„! — (У(х)! при и -+ оо. Так как функция 1 неотрицательна, то Щх)! = 1(х) и, значит, )<р„(г)! — 1(х) почти всюду. Последовательность (~у„~),ен и есть искомая. Лемма доказана. ° ° Теорема 5,5. Пусть 1 есть измеримая функция. Тогда если сушествует интегрируемая функция д такая, что ~Дя) ~ < д(г) для почти всех т б М, то функция 1 интегрируема. Яоказательство. Предположим, что функции 1 н д удовлетворяют всем условиям теоремы, причем функция 1 неотрицательна. Согласно лемме 5.2 найдется последовательность (у„),ен неотрицательных функций класса Я, сходящаяся к 1 почти всюду. Положим 1„= пйп(~р„, д).
При всяком и функция 1, интегрируема, и для почти всех х Е М выполняется неравенство 0 < 1„(ж) < д(г). При и — оо для почти всех я Е М имеем 1.(х) — + пйп(Дх),д(х)) = У(я) На основании теоремы Лебега о предельном переходе (следствие 2 теоремы 4.3) из доказанного следует интегрируемость 1. Рассмотрим случай, когда 1 есть функция произвольного знака. Из условий теоремы следует, что 1+(я) < д(я) и 1 (х) < д(х) для почти всех г б М. Функции 1+ и 1 неотрицательны и измеримы. Йз доказанного следует, что 1+ и 1 интегрируемы и, следовательно, интегрируема также и функция 1.
Теорема доказана. ° 5.2. ТЕОРЕМА О ЛРЕ ЕЛЕ ПОСЛЕ ОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗМЕРИМЫХ ьгяяя Й Здесь будет доказано, что предел последовательности измеримых функций, сходящейся почти всюду, есть измеримая функция. ° Лемма 5.3. Пусть дана система с интегрированием Е = (М, Я,1), и пусть 1 есть вегцественная функция, определенная в М почти всюду. Если существует последовательность (~„) „ен интегрируемых функций, сходящаяся к 1 почти всюду, то функция 1 измерима. Доказательство. Пусть (~„)„ен есть последовательность интегрируемых функций, сходящаяся к 1 почти всюду.
Пусть Е1 есть пренебрежимое множество такое, что 1(х) определено для всех т ф Еы а Ез С М ~ Е1 — множество всех х, для которых сходимость 1„(х)— 1(х) не имеет места. 90 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных По условию множество Ез также пренебрежимо. При каждом и Е М 1 найдем функцию ф„класса Я такую, что (~<р„— Я)ь, < —. Имеем ,'> Фр. — У.Ь, < я=1 откуда следует, что <р„(х) — Ях) — + О для почти всех х б М. Пусть Ез есть множество меры нуль, состоящее из всех точек х, для которых <р„(х) — Ях) не стремится к нулю при и — со. Положим Е = Ез 0 Ез 0 Ез.
Возьмем пРоизвольно точкУ х б М 1 Е. Тогда х ф Е1 и, значит, для этого х значение Дх) определено. Далее, в этом случае х ф Ез и, значит, Ях) — Дх) при и- оо. Данная точка х не принадлежит также и множеству Ез, откуда вытекает, что у,(х) — Ях) — О для этого х при и — оо. Из доказанного следует, что ~р„(х) — г1х) при и — со для всякого х ~ Е.
Таким образом, построена последовательность (<р„)„ен функций класса Я, сходящаяся к 1 почти всюду. Тем самым установлено, что функция ~ измерима. Лемма доказана. ° ° Теорема 5.4. Пусть дана система с интегрированием Е = (М, Я, 1), и пусть | есть вещественная функция, определенная в М почти всюду. Тогда если существует последовательность измеримых функций, сходящаяся к У почти всюду, то функция 1 измерима. Доказательство.
Предположим, что функция ~ удовлетворяет условию теоремы. Пусть (~„)„ен есть последовательность измеримых функций, сходящаяся к 1 почти всюду. Р *р ь л, Фу и ! у, ~юю~ тельные. Пусть Еа есть множество меры нуль такое, что для всякого х ф Ее значения Г(х) и Ях) определены для всех и Е И и ~„(х) — 11х) при и — оо. Согласно лемме 5.2 при каждом и б М найдется последовательность (~р ) ен неотрицательных функций класса Я, сходящаяся к ~„почти всюду при и — со. Пусть .Е, есть множество меры нуль такое, что для всех х ф Е, Ях) определено и ~р„, (х) — ~„(х) при т — оо. Положим Е= ЦЕ„.
я=а Отмечаем, что множество Е пренебрежимо. Для всякого х ф Е имеем Ях) — Дх) при и — оо и ~р„, (х) -+ ~„(х) при т — оо. Для каждого Й б М положим чье(х) = ~~> ~~~ у (х). я=з т=з з 5. Измеримые функции н множества 91 Фиксируем произвольно значение и Е Р1. Пусть дь = тш(дь, Д, дь „= т1п(ды Я. Для всякого х ф Е при и -~ со имеем дь „(х) — дь(х). Каждая из функций дь,„измерима. При этом О < дь,(х) < Вь(х) для всякого х ф Е, т.
е. для почти всех х Е М. Отсюда в силу теоремы 5.3 следует, что функция дь,„интегрируема. Для почти всех х Е М имеем дь „(х) — дь(х) и О < дь „(х) < Вь(х). В силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (следствие 2 теоремы 4.3) отсюда вытекает, что функция дь интегрируема. Докажем теперь, что дь(х) — Дх) при й — со для всех х ф Е. Действительно, если 11х) = О для некоторого х ф Е, то дь(х) = тш(Вь(х), Дх)) = т1п(Вь(х), 0) = О для любого Й и, значит, в этом случае дь(х) — Дх) при Й вЂ” со. Пусть Дх) > О. Так как Ях) -+ Дх) для данного х при и — со, то найдется ио такое, что ~„,(х) > О. Тогда 1пп ~р„, (х) = ~„,(х) > О и, значит, ряд расходится, поскольку для него не выполнено необходимое условие сходимости.
Пусть Фь(х) есть частпная сумма с номером й этого ряда. Так как все члены ряда неотрицательны и ряд расходится, то Фь(х) — со при х — оо. Если й > ио, то в силу неотрицательности функций ~р„, имеем Вь(х) > ,'~ ~о„„(х) = Фь(х), откуда следует, что Вь(х) — со при й -+ со. Из доказанного следует, что дь(х) при й — оо стремится к пределу, равному тш(Дх),со) = Дх), т. е. и в данном случае дь(х) — + цх) при й — со. 92 Гл. 13.
Интегральное исчисление функций многих переменных Таким образом, мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к ~ почти всюду. В силу леммы 5.3 тем самым доказано, что функция ~ является измеримой. В проделанных рассуждениях предполагалось, что функции ~ и ~„ неотрицательны. Рассмот им об й сл чай. Пусть (~„)„ен — произвольная последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду к функции ~. Тогда ~+(х) -+ ~+(х) и ~„(х) — ~ ~ (х) при и -+ со для почти всех х.
Функции ~+ и ~„неотрицательны и измеримы. Значит, по доказанному, функции У+ и ~ измеримы. Отсюда вытекает измеримость функции ~. Теорема доказана. ° Следствие, Пусть (~„) „ен — произвольная последовательность вещественных функций н функции У и Ъ' определены посредством равенств У(х) = зпр Ях), чан $'(х) = шГ Ях). Тогда если каждая нз функций ~„измерима, то У н ~Г есть измеримые функции. Локазательство. Определим вспомогательные последовательности функций (У„)„ен и (К,)„ен, полагая 01 —— ~'з — — ~з. Если У„ и Ъ'„ определены, то У„+1 = шах(0„, ~„+з ), К,+з — — шш(У„, )'„+з).
Последовательность (У„)„ен возрастающая, последовательность (У )„ен убывающая. При и — со имеем У„(х) -+ П(х) и У„(х) -+ Цх) для всех х Е М, для которых величины У(х) и Цх) определены. Функции У1 — — 11 = ~1 измеримы. Если для некоторого и Е М измеримость функций У„и Ъ'„установлена, то в силу теоремы 5.2 отсюда вытекает измеримость функций У +з и Ъ'„+1. На основании принципа математпичеспой индукции получаем, что функции У„и $' измеримы для всех и е М.
Имеем П(х) = 1пп У„(х), Цх) = 1пп Ъ' (х). Таким образом, из сказанного следует измеримость каждой из функций У и $'. Следствие доказано. з 5. Измеримые функции и множества 93 5.3. РАспРОстРАнение интеГРАлА нА измеРимые ФУнк ии Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М,Ж',1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
