1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Доказательство. Для и = 1,2,... положим ~р„= г,~„. Тогда при каждом и Е Л имеем у„> ~р„+з. Отсюда вытекает, что последовательность функций (у„),ен является убывающей. Каждая из функций <р„ неотрицательна. Из условия р(Аз) ( оо вытекает, что функция уз интегрируема. Так как ~Рз > У„> 0 длЯ всех и Е )З1, то, как следУет из теоРемы 5.3, функция ~р„интегрируема при всех и Е М. Для всех х Е М выполняется р„(х) -+ 0 при и — + оо. Действительно, возьмем произвольно х Е М. Так как пересечение последовательности множеств (А„)„еи пусто, то найдется номер ив такой, что х ф А„,. Так как последовательность (А„),ен убывающая, то при и > ив множество А„С А„, и, значит, при всяком и > ив точка х не принадлежит множеству А . Следовательно, для всех и > ив имеет место равенство ~р„(х) = О.
Отсюда вытекает, что р,(х) -+ 0 при и -+ оо для всех х Е М. Так как х Е М было выбрано произвольно, то, таким образом, доказано, что последовательность функций ( р„) „еи поточечно сходится к нулю на множестве М. Эта последовательность убывающая, и все ее члены есть интегрируемые функции. В силу тпеоремы Леви из доказанного следует, что р(.Е„) = 1(р„) — 0 при и -+ оо. Теорема доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Из теорем 5.9, 5.10 и 5.11 вытекает теорема 3.1, ранее приведенная без доказательства. З 5.
Измеримые функции н множества 103 5.5. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРИРОВАНИЕМ СЧЕТНЫЕ В БЕСКОНЕЧНОСТИ 5.5.1. Введем дополнительное условие, при котором может быть расширен класс операций, выполнение которых над измеримыми функциями снова приводит к измеримым функциям. Пусть дана система с интегрированием Е = (М, Я,1). Система Е называется счетной в бесконечности, если в дополнение к условиям К1 — В.5 определения системы с интегрированием (см. В2 этой главы) она удовлетворяет еще условию К.б. Существует последовательность (~р„) ен функций класса Я такая, что 1 = Вщ ~р„(х) для всех х б М. В том частном случае, который для нас является основным, а именно, в случае евклидовой системы с интегрированием с базисным пространством К", условие К6 выполняется.
Действительно, для и Е Гз, х б К" пусть а„есть и-мерный куб [-и, и) х [-и,и) х . х [-и,и). Пусть ~р„есть индикатор этого куба. Так как куб о„может быть представлен как объединение двоичных кубов ранга 1, то функция у„ является ступенчатой. Пусть х = (хмхз,...,х„) и й б Р( таково, что [х;[ ( й для всех 1 = 1,2,...,и. Тогда х б сг„при и > й и, значит, для всех и > й справедливо равенство ~р„(х) = 1. Следовательно, мы получаем, что ~р„(х) — 1 при и — со. Так как х Е К" было взято произвольно, то мы получили, что условие К6 для данной системы с интегрированием выполняется.
Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, Я,1), счетную в бесконечности. (До конца этого раздела все рассуждения относятся именно к этой системе с интегрированием.) Из условия К6 вытекает, что функция, тождественно постоянная на базисном пространстве М системы с интегрированием Е, является измеримой. Отсюда в силу установленных выше свойств измеримых функций (теорема 5.2) вытекает, что для всякой измеримой функции 1 в системе с интегрированием — счетной в бесконечности — функции 1(х) — г, [1(х) — 11+, шах(1(х),г) и щ1п(1(х),1) измеримы, каково бы ни было число Ф б К.
5.5.2. Пусть дана функция 1": М вЂ” К. Множества ~ '((а,Ь)), где (а, Ь) — произвольный промежуток в К, называются мнозкествами Лебега функции 1. 104 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ля о ного частного сл чая множеств Лебега введем специаль- ные обозначения. Пусть дано произвольное число 1 Е К. Для функции ~: М вЂ” ~ К полагаем Еу(1) = (х б М~ Ях) > 1) = У ((1,оо]), Е~(~) = (х ~ М~ У(х) > ~) = У-'([~, [). (5.10) (5.11) Отметим некото ые с в о й с т в а множеств Лебега Е ииЕД$). Если 1(х) > 1, то Ях) > 1, т. е. если х Е Еу(1), то х е Еу(1).
Мы получаем, что при каждом 1 Е Й имеет место включение Еу(1) Э Еу(~). (5.12) далее, легко проверяется, что если 11 Е Й и 1з Е Й таковы, что 11 < $г, то имеет место включение Еу(1з) / Е~(1з). Наша ближайшая цель — доказать, что если функция ~ измерима, то и ее множестпва Лебега также являются измеримыми. Для этого нам потребуется следующее простое предложение.
° Лемма 5.6. Для у б Й, 1 Е К пусть 1, если у>1, й(у,1) = О, если у<1. 1, если у>1, п(у,г) = О, если у < 8; о(у,г) = 1пп о (у,г), о(у,г) = Бш и (у,~ — -) . и ао У вЂ” н2О 1 // Доказательство. Если у < ~, то (у — $)+ = 0 и, значит, о„(у, 1) = = 0 = о(у,1) для всех и Е М и, следовательно, в этом случае верно равенство и(у,1) = 1пп о"„(у,1). (5.13) Пусть у > 1. Тогда найдется и такое, что й(у — 1) > 1. При всяком ь > р выполняются равенства о„(у,~) = 1 = т(у,1). Это доказывает, что равенство (5.13) верно и для данного у. 1 Пусть у > 1. Тогда для любого и б Я выполняется у > $ —— 3/ и о у,1 — -) = 1 = У(у,1), откуда следует, что в этом случае верно равенство сг(у,1) = 1пп а у,1 — -(.
(5.14) Для произвольного и Е М положим о„(у, 1) = т1п1и(у — г)+, 1). Тогда имеют место следующие соотношения: для любых у б Й, 1 Е К 105 З 5. Измеримые функции н множества 1 Пусть у < 1. Тогда найдется р такое, что у < ~ — —. Пля всех и > й, й 11 очевидно, имеем и у,1 — -) = 0 = У(у,1). Тем самым установлено, и) что равенство (5.14) выполняется и в этом случае. Лемма доказана.
° 5,5.3, Пусть дана функция (: М вЂ” ~ К. Тогда для всякого 1 Е К имеем равенства ( 1, если ((х) > 1, ( 1, если ((х) > 1, ~т(Дх),1) = ~ ~. О, если ((х) < ~; 1 О, если ((х) < 1. Это означает, что функция х ~ а(Дх),1) является индикатором множества Еу(1), а функция х ~-+ д(((х),1) — индикатором множества Еу(1).
° Теорема 5.12. Если система с интегрированием Е = (М,.Рг,1') счетна в бесконечности, то для всякой измеримой функции (: М вЂ” К и для любого 1 Е К множества ЕуЯ и Еу(1) измеримы. Доказательство. Пусть ( есть измеримая функция. Зададим произвольно значение 1 Е К. Функции а„(х) = пйп(и(((х) — 1)+,Ц измеримы при всех и Е г(, как следует из теоремы 5.2. При и — оо для всех х Е М в силу леммы 5.6 предел йгп а„(х) существует и раи~оа вен о(Дх), $). На основании теоремы 5.4 это позволяет заключить, что функция х ~-+ о®х),1) измерима при любом 1 Е К.
Нетрудно видеть, что о(((х),1) = Хе (О(х). Таким образом, доказана измеримость индикатора множества Еу(1), т. е. это множество измеримо при любом й > О. Функции /б„(х) = пй(пЩ,((х) — й) + 1)+, Ц при и — оо, как следует из леммы 5.6, поточечно сходятся к функции У(((х),1), которая тождественно совпадает с функцией Хе 10. Измеримость функций 13„ уМ' следует из теоремы 5.2. Применяя теорему 5.4, получаем, что функция Хй 11 измерима. Значит, множество Ьу(1) является измеримым при любом 1 Е К. Теорема доказана. ° 5.6. ОБ АЯ ТЕОРЕМА ОБ ОПЕРА ИЯХ НА ИЗМЕРИМЫМИ ФУКИ~Я~И Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, Р,1).
Будем предполагать, что эта система является счетной в бесконечности. Пусть дан промежуток Ь = [р, д) С К и Хд есть его индикатор в К, Хд(у) = 0 при у ф Ь и Хд(у) = 1, если у Е Ь. 106 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Для всякой измеримой функции 1: М вЂ” К функция Ха[Дт)] измерима. Действительно, пусть 1, если у>1, сЬ,~) = О, если у<1, есть функция, определенная в п. 5.5. Тогда имеет место равенство хаЬ) Ь,р) Ь, у).
(5.15) Проверка данного равенства сводится к последовательному рассмотрению случаев: а) у < р, Ь) р < у < д и с) д < у. Мы предоставляем это читателю. Из равенства (5.15) следует, что ХпИ(Я)] = оО(Я),Р) — оИ(*), М = Хй,<,1 — Хй,<,Р ° Теорема $.13.
Предположим, что система с интегрированием Е = = (М, Я, 1) счетна в бесконечности. Пусть даны множество Е в пространстве К™ и непрерывная функция Ф: Š— К. Тогда если функции ~ь: М -+ К, й = 1, 2,..., т, измеримы, каждая из них всюду конечна и для всех х Е М точка 11х) = Ц1 (х), ~з(х),..., г (т)) пространства К принадлежит множеству Е, то функпия является измеримой. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Зададим произвольно брус сз в пространстве К™. Имеем съ — Л1 х съз х ''' х '.з где сзь = [рь,дь) есть полуоткрытые отрезки в множестве К. Для г б К™ пусть ха есть индикатор множества Ь в пространстве К™. Так как функция ~ измерима и рассматриваемая система с интегрированием счетна в бесконечности, то множества Еу(р) и ЕуЬ) измеримы. Следовательно, мы получаем, что функция Ха[Дт)] есть разность двух измеримых функций и поэтому измерима.
Заметим, что Ха[Дх)] есть характеристическая функция множества Лебега ~ з~Ь) функции 1'. 'з 5. Измеримые функции н множества 107 Докажем измеримость функции х Хд[Дх)]. Каждая из функций иь(х) = 1~д„[Ях)], как следует из рассуждений, предшествующих теореме, является измеримой Для всех х Е М имеет место равенство Хд[ь'(х)] = пнп(иь(х),иг(х),...,и (х)).
(5.16) Действительно, каждая из величин иь(х) = Хд„[Ях)], а = 1, 2,..., т, может принимать только два значения: 0 и 1. Если Дх) 1с ьд, то уд[Дх)] = О. В этом случае найдется хотя бы одно значение а, 1 < ьс < т, такое, что Ях) ф Ьь и, значит, иь(х) = хд„[Ях)] = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
