1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Представив каждое из множеств Н„как объединение попарно непересекающихся двоичных кубов, мы получим некоторое конечное или бесконечное множество двоичных кубов. Занумеровав их произвольным образом, мы получим последовательность попарно непересекающихся двоичных кубов (а„)„еи, объединение которых совпадает с объединением множеств Н„, и = 1,2,..., т. е. с множеством Е" Э Е. Последовательность кубов (а„)„еи, таким образом, покрывает множество Е. Имеем р„(Е) < 11 р„(о„) = р„(Е") < в„(Е) + е.
Р=1 (Первое неравенство здесь следует из того, что данная последовательность кубов покрывает множество Е.) Так как е > 0 было взято произвольно, то тем самым установлено, что точная нижняя граница сумм 2 р„(оР) для последовательностей Р=1 двоичных кубов, покрывающих множество Е, равна р„(Е). Теорема доказана. ° Следствие. Для того чтобы множество Е в пространстве К" было множеством меры нуль, необходимо и достаточно, чтобы для всякого Е > 0 существовала последовательность двоичных кубов (а„)РЕН, покрывающая множество Е и такая, что ~ р„(аР) < е. Рж1 Данное утверждение очевидным образом вытекает из того, что множества меры нуль в пространстве К" есть в точности те множества, внешняя мера которых равна нулю. з б.
Измеримые множества и функции в пространстве К" 117 6.4. ИЗМЕРИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНК ИЙ В К~ Установим измеримость некоторых классов функций в пространстве К". Предварительно опишем конструкцию, которая понадобится нам для этой цели. Пусть и есть произвольное натуральное число. Обозначим символом Д„п-мерный куб ( — и, ю ) х ( — и, и) х х ( — и, и). Для произвольной точки х Е К" пусть о„(х) есть двоичный куб ранга и, содержащий точку х. Если х Е ~„, то о„(х) С Я„. При каждом и имеет место включение о„(х) Э о +з(х). ° Лемма 6.2. Для всякой неотрицательной вещественной функции ): К" — ~ К существует возрастаюгцая последовательность ступенчатых функций (у„)„ен такая, что для всякой точки х Е К", в которой функция ) непрерывна, справедливо соотношение Локазательстно.
Пусть дана неотрицательная функция 7": К"— -+ К. Возьмем произвольно точку х Е К". Если х ф Я„, то полагаем у„(х) = О. Если же х Е Я„, то полагаем у„(х) = 1п1 7(х). 1ва„(а) Функция у„ отлична от нуля только на тех двоичных кубах ранга и, которые содержатся в кубе (~„. Множество таких кубов конечно. Если о есть двоичный куб ранга и, то о = о„(х) для всякой точки х б о. Отсюда ясно, что функция чз„на этом кубе постоянна. Мы получаем, следовательно, что функция (о„является ступенчатой при всяком и б 1). Из определения функции у„ясно, что эта функция неотрицательна. Если ~р,(х) = О, то, очевидно, у„(х) < ~р„ч.з(х). Предположим, что у„(х) > О. Тогда, как следует из определения функции (о„, двоичный куб о„(х) С 9,.
Имеем о,+з(х) С о„(х) и, значит, о„+1(х) С С 9„С Я„+ы Отсюда вытекает, что для данного х величина у„+з(х) определяется равенством ~р„+з(х) = 1в1 ((х) и, значит, ~р„+1 > > 1п1 ~(х) = (р„(х). 'еа" +'(*) меа„(*) Мы видим, что при каждом и функция у„неотрицательна и является ступенчатой и последовательность функций (~р„)„ен возрастающая.
При этом ((х) > у„(х) для всех х б К". Предположим, что функция ( непрерывна в точке хо Е К". Зададим произвольно е > О и найдем по нему б > О такое, что для всякого х 6 К", удовлетворяющего неравенству )х — хо~ < б, выполняется 118 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных неравенство Щх) — Дхо)) < —. Пусть ио б М таково, что )хо~ < ио и /й2 "'<б. Пусть и > ио и х б о~,. Тогда ~х — хо~ < ~/й2 " < "Г < ~/й2 "' < б и, значит, г"1х) > г"1хо) — —.
Отсюда следует, что для тая ких значений и имеет место неравенство ~р„(хо) > Пхо) — — > Лхо) — е. 2 Поскольку у„(хо) < Дхо), то мы получаем, следовательно, что для всякого и > ио имеет место неравенство М.(хо) — Пхо)~ < е. Так как е > О было выбрано произвольно, этим доказано, что у„(ха) -+ Дхо) при и — оо. Лемма доказана. ° Следствие 1. Если функция У: К" - К такова, что ее множества точек разрыва есть множество меры нуль, то функция ~ измерима. Действительно, пусть функция ~: К" — К непрерывна почти всюду в К, т. е.
ее множество точек разрыва есть множество меры нуль. Предположим сначала, что функция ~ неотрицательна. Тогда согласно лемме 6.2 существует последовательность ступенчатых функций, сходящаяся к ~ в каждой точке, в которой функция Г непрерывна, и, значит, сходящаяся к ~ почти всюду в К". Отсюда в силу определения измеримой функции вытекает, что функция ~ измерима. Предположим, что г' принимает значения произвольного знака.
Тогда справедливо равенство ~ = ~+ — ~ . В каждой точке, в которой непрерывна функция 1', непрерывны также и функции Г+ и У Функции ~+ и г" неотрицательны. Из доказанного следует, что они измеримы и, значит, измерима также и функция ~. Следствие 1 доказано.
ч Пусть дана функция ~: Š— К. Будем говорить, что функция ~ сосредоточена на множестве А с Е, если Дх) = О при всяком х ф А. Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Функция ~: й'— — ~ К называется фпнппзиой, если существует компактное множество А С В' такое, что функция ~ сосредоточена на множестве А, т. е. такое, что Дх) = О для всякого х ф А. Совокупность всех непрерывных финитных функций, определенных на множестве П, обозначается символом ~~Щ. Т Следствие 2.
Всякая непрерывная финитная функция в пространстве К" ннтегрнруема. Яоказательство. Пусть ~: К" - К есть непрерывная финитная функция в К". Условие финитности означает, что существует компактное множество А С К" такое, что г"1х) = О для всех х ф А. з 6. Измеримые множества н функции в пространстве К" 119 Всякое компактное множество ограничено. Пусть Я < оо, А > О таково, что ]ж[ < Л для всех т б А.
Отсюда, в частности, следует, что функция 1 обращается в нуль вне замкнутого куба Ч(0, В). Пусть М = зпр [У(т)[. Так как функция 1 непрерывна, а множество кем(о,н) фО,Л) компактно, то М < оо. Очевидно, М > О и Дт) < М для всех т Е К". Предположим, что функция У неотрицательна.
Пусть (1о,),ен есть последовательность ступенчатых функций, указанная в лемме 6.2. Эта последовательность является возрастающей, и у„(я) — Дх) для всех т Е К". При каждом т б К" имеем О < ~р„(т) < Дж). Отсюда вытекает, что функции ~р„все обращаются в нуль вне куба Ч(0, В) и при каждом и для всех т Е К" имеют место неравенства О < у„(т) < М. В силу оценки леммы 1.4 интеграл функции у„не превосходит 2" Л" М. Таким образом, последовательность интегралов ступенчатых функций у„является ограниченной. В силу теоремы Леви о предельном переходе из доказанного вытекает, что предельная функция 1' в нашем случае интегрируема. Предположим, что ~ Е %$(К") есть функция произвольного знака.
Тогда ее положительная часть 1+ и ее отрицательная части являются функциями класса во(К"). Так как функции 1+ и 1 неотрицательны, то из доказанного вытекает, что они интегрируемы, а значит, в силу равенства 1 = 1+ — 1' функция 1 интегрируема. Следствие 2 доказано. Т 6.5. Сопостквление гкзличных тЕорий интегрировАния в К Все описанные здесь построения без каких-либо изменений проводятся и в случае пространства К вЂ” числовой прямой. С другой стороны, для функций одной переменной в главе 5 построена другая теория интеграла, основанная на понятии первообразной. Естественно возникает вопрос о соотношении между этими двумя теориями интеграла в К.
Пусть дана функция 1: (а,6) — К. Согласно определению, данному в главе 5, функция 1 интегрируема по промежутку [а, Ь], если существует непрерывная функция Р: [а,6] — К такая, что Г'(т) = Дт) в промежутке [а,Ь] в основном, т. е. всюду, кроме, может быть, точек, образующих не более чем счетное множество. Функция Е, удовлетворяющая этому условию, называется первообразной функции 1 на промежутке [а, Ь]. В случае если функция (' имеет в промежутке [а, 6] первообразную, то она определена с точностью до постоянного слагаемого.
120 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Если функция г" удовлетворяет этому условию, то мы будем говорить, что г" интегрируема по промежутку [а, 6) в смысле Ньютона. Разность Г(Ь) — Г(а) не зависит от выбора первообразной Г функции г". Здесь мы будем называть ее интегралом в смысле Ньютона функции?' по промежутку [а,Ь] и обозначать символом ь (Х) Дх) <Ь. а Если з' интегрируема на (а,Ь) в евклидовой системе с интегрированием, определенной в К, то мы будем говорить, что ~ интегрируема на (а, Ь) в смысле Лебега, и интеграл [ Дх) вх будем обозначать также символом (а,Ь) ь (Ц 11х) Их.
в Возникает вопрос: в каких случаях интегрируемость в одном смысле влечет интегрируемость в другом и интегралы в двух разных смыслах совпадают? Ответ на этот вопрос в общем случае требует весьма глубоких соображений, на которых здесь нет возможности остановиться. Ограничимся основным классом функций, интегрируемость которых была установлена в главе 5. ° Теорема 6.3. Пусть г: (а,Ь) -+ Н вЂ” непрерывная в основном функция. Для того чтобы ~ была интегрируема в смысле Лебега на отрезке (а,Ь), необходимо и достаточно, чтобы функция Щ была интегрируема по Ньютону на (а, 6).
Если 1 удовлетворяет этому условию, то имеет место равенство ь ь (Ф) Дх) сКх = (Х) Дх) ах. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Рассмотрим случай, когда 1: (в, Ь) — + Н непрерывна в основном на (а, Ь) и интегрируема в смысле Лебега по промежутку [а, 6).
Тогда также и функция [Я интегрируема по [а, 61 в смысле Лебега. Обозначим через Е не более чем счетное подмножество (а, Ь) такое, что функция ~ непрерывна в каждой точке х Е (а, 6) 1 Е. Положим Г(х) = (Ь) Д1) вг. а 'з б. Измеримые множества и функции в пространстве К" 121 Покажем, что определенная таким образом функция Г является первообразной функции С на [а,Ь]. Сначала установим непрерывность Г. Введем вспомогательную функцию 1С(х, С), полагая 7С(х,С) = О при С > х, С(х, С) = 1 при С < х. Тогда ь Г(х) = (Х) У(С)Х(х,С) дС.
а При всяком С б [а, Ь] функция х ь,С(х, С) имеет в промежутке [а, Ь] единственную точку разрыва, а именно, точку х = С. График функции х «;С(х, С) представлен на рис. 3. Рис. 3 Зададим произвольно точку хо б [а, Ь], и пусть (х ) ен есть последовательность точек отрезка [а, Ь], сходящаяся к хо при т — со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
