1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е. функция ~(х), определенная условием Дх) = Дх) при х б О' и Г(х) = О при х ф й, является интегрируемой (соответственно измеримой) в К". Здесь мы установим некоторые предложения о приближении функций, определенных и интегрируемых на открытом множестве пространства К" ступенчатыми функциями, удовлетворяющими дополнительному условию — условию финитности относительно С. Функция ~: о' -+ К называется финитной относительно открытого множества й', если существует компактное множество А С У такое, что Дх) = О при х ф А. Пусть А есть подмножество К".
Лля функции ~: А -+ К полагаем 1АУ) — з (х)»х. (Предполагается, что множество А и функция Г таковы, что выписанный здесь интеграл имеет смысл.) В случае А = К" вместо 1и (~) 142 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных будем писать просто Х(У). Под Тз-нормой функции У: А — Й здесь понимается Ь1-норма ее нулевого продолжения на К". Понятия Ь|-нормы и интегрируемой функции в К" определяются путем приближения функции ступенчатыми функциями. В случае, когда функция ~ определена и интегрируема на открытом множестве пространства К", как будет показано, можно брать ступенчатые функции, финитные относительно У.
Этот факт существенно используется в доказательстве формулы замены переменной интегрирования в кратном интеграле. Предварительно опишем некоторую конструкцию, которая понадобится нам в дальнейшем. Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Тогда согласно лемме о кубическом подразделении открытого множества (лемма б.1) найдется последовательность попарно непересекающихся двоичных кубов (а )„ен такая, что при каждом и замыкание а, куба о„содержится в У и имеют место равенства (8.1) я=1 Положим у„= Оа„.
в=з Пусть Х„есть индикатор множества У„. Множество Г„при каждом и компактно и содержится в множестве У. Функция Х„обращается в нуль вне множества Р„, и, следовательно, она финитна относительно У. При каждом и имеем У С У +з, откуда вытекает, что последовательность (Х„)„ен является возрастающей.
Для всякого х Е У найдетсЯ номеР го такой, что х Е а„,. ПРи и > ио имеем Х„(х) = 1. Отсюда следует, что для всякого х Е У справедливо соотношение ~~~~ Хи(х) = 1 ° Лемма 8.1. Пусть У есть открытое множество в пространстве К". Предположим, что для функции Г: У вЂ” Й ее Йз-норма конечна. Тогда по всякому е > О найдется последовательность (1„) ен ступенчатых функций, финитных относительно У, которая мажорирует функцию Г и такова, что Бш 1иИи) < Щ~ь (и ) + е. З 8. Формула замены переменной в кратном интеграле Локазательство. Пусть функция Г: У -+ К такова, что ее 1пнорма конечна.
Зададим произвольно е > О. Согласно определению 1,пнормы найдется последовательность ступенчатых функций (1„)„ен, мажорирующая функцию Г и такая, что Бп1 1(1„) < !!Г!!ь, + Я. Функции 1„все неотрицательны, последовательность ( 1„)„ен возрастающая, и для всякого х Е И" выполняется неравенство Г(х) < Бпь 1„(х). Может оказаться, что некоторые из функций 1, не являются финитными относительно У.
Положим 1„"(х) = 1 (х)т„(х). Функция Д является ступенчатой. Она неотрицательна и обращается в нуль вне компактного множества У„, содержащегося в множестве У, и, стало быть, Д финитна относительно У. Последовательность (Д) возрастающая. При всяком х Е У имеем 1пп У„*(х) = 1пп 1„(х) > !Г(х)!. При х ф У неравенство Ыпз Д(х) > !Г(х)! выполняется в силу того, что для таких х выполняется Г(х) = О. Последовательность (Д) н, таким образом, мажорирует функе 1 Я цию Г.
При каждом и Е Ы имеем О < Д < 1„, и, значит, Заметим еще, что каждая из функций Д финитна относительно У. Лемма доказана. ° ° Лемма 8.2. Пусть У есть открытое множество в пространстве К" и 1 есть функция, интегрируемая по У. Тогда для всякого е > О найдется ступенчатая функция ~р, финитная относительно У и такал, что !!1 — ~р!!ь,<п~ < е. Яоказательство. Пусть функция 1: У И является интегрируемой по множеству У. Согласно определению это означает, что нулевое продолжение функции 1 на И" есть интегрируемая функция.
Простоты ради мы будем считать, что функция 1 определена в К" всюду, причем 1(х) = О при х ф У. 144 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Зададим произвольно с > О. Тогда согласно определению интегрируемой функции найдется ступенчатая функция ф такая, что ЙХ вЂ” ф~ь,р 1 < е. Так как функции 1 и ф интегрируемы, то интегрируема также и функция 1 — ф и, значит, )(Х вЂ” ф)ь, = ХЯ вЂ” ф). В силу свойства аддитивности интеграла как функции множества имеем ХИХ ф!) = Хси(~Х ф!) + ХиИУ ф!).
Оба слагаемых справа неотрицательны, и, следовательно, мы получаем, что ХнцХ-ф ) < е. Положим ф„= фх„, глеб„есть индикатор множества ХХ„, определенного равенством (8.1). Функция ф„ступенчатая, и при и — оо имеем ф„(х) — ~ ф(х) для всех х б ХХ. При каждом х б ХХ выполняется неравенство Щх) — ф„(х)! < Щт)!+ ~ф„(х)~ < ~Дх)~+ !ф(х)/. Применяя теорему Лебега о предельном переходе (следствие 2 теоремы 4.3), все условия которой здесь выполняются, получим Хи Я вЂ” фД вЂ” ~ ХнЯ вЂ” ф). Так как 1цЯ вЂ” ф) < с, то найдется номер иа такой, что Хи(~Х вЂ” фьь~) < с. Функция ~р = ф„„очевидно, и есть искомая.
Лемма доказана. ° 8.2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА Пусть ХХ есть открытое множество в пространстве К", 1: ХХ— К" — отображение класса С', т > 1. Тогда в каждой точке х б ХХ определено линейное отображение ф, — дифференциал отображения 1 в точке х.
Матрица этого отображения имеет вид дЬ дЬ дЬ а*, а, " д'„ дЬ аЬ дЬ дж~ дхр дх„ аХ д~„д~„ доз дхр дж„ где значения частных производных берутся в точке х. Данная матрица называется матрицеб Якоби отображения 1 в.точке х. Она имеет З 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 145 н строк и н столбцов. Ее определитель называется янабианом отображения У в точке х и обозначается символом У(х, У). Пусть П есть открытое множество в К".
Отображение У: П вЂ” И" называется дифференцируемым гомеаморфизмом класса С или, короче, диффеоморфизмом класса С", если У взаимно однозначно и принадлежит классу С', причем в каждой точке х Е У якобиан отображения У отличен от нуля. Пусть УУ и Ъ' есть открытые множества пространства К". Предположим, что отображения У: П вЂ” К" и д: $' — И" есть диффеоморфизмы класса С", причем У[У) С Ъ'.
Тогда суперпозиция Ь = д а У также является диффеоморфизмом класса С'. Действительно, если отображения У и д удовлетворяют этим условиям, то каждое из них взаимно однозначно и принадлежит классу С', откуда вытекает, что отображение Ь также взаимно однозначно и принадлежит классу С'. В каждой точке х Е У имеем дЬ, = Нд„а дУ„ где у = У[х). Отсюда следует, что,У(х; Ь) = У(х; У)У(у;д) ~ О, так как согласно условию У(х; У) ~ 0 для любого х Е П и У(у;д) ф. 0 для всех у б 'т'. Отображение Ь, таким образом, удовлетворяет всем условиям определения диффеоморфизма класса С'. Если У: У вЂ” К" есть диффеоморфизм класса С", то согласно теореме 2.2 главы 10 множество т' = У[У) открытое и обратное отображение д = У 1 принадлежит классу С'.
При этом, как очевидно, отображение д = У 1 взаимно однозначно. Суперпозиция Х о д есть тождественное отображение, и, значит, для всякого у = У[х) е У' имеет место равенство,У(у; д),У(х; У) = 1. Отсюда следует, что в каждой точке у Е Ъ' якобиан отображения д = У отличен от нуля. Мы получаем, таким образом, что У ~ также есть диффеоморфизм класса С". Пусть П есть открытое множество в пространстве К", У: УУ— -+ К" — отображение класса С", т > 1. Если в точке р Е П якобиан отображения У отличен от нуля, то найдется с > 0 такое, что В(р, г) С С П и ограничение У на шаре В(р, г) есть диффеоморфизм класса С'. Основной результат данного параграфа заключается в следующей теореме.
° Теорема 8.1 (общая теорема о замене переменной в кратном интеграле). Пусть УУ есть открытое множество в К", ~р: У вЂ” К"— произвольный днффеоморфизм н 'т' = у(УУ). Тогда для всякой функции У: Ъ' — ~ Й, определенной и интегрируемой ла множестве 3~, функция х ~+ У[у(х)]].У(х, у)[ интегрируема, причем имеет место равенство 146 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство этой теоремы распадается на несколько этапов. Сначала мы покажем, что теорема верна для суперпозицни диффеоморфизмов, если она верна для каждого из них в отдельности. Затем будет установлено, что в общем случае теорема вытекает из того ее частного случая, когда функция У есть индикатор двоичного куба, замыкание которого содержится в множестве о' (см.
п. 8.3). Далее будет показано, что произвольный диффеоморфизм по крайней мере локально может быть представлен как суперпозиция диффеоморфизмов некоторого простейшего вида (лемма 8.3). Завершение доказательства теоремы дается в п. 8.5. 8.3. ЛЕММЫ О РЕЛУК ИИ Приведенные здесь леммы составляют первую часть доказательства теоремы 8.1, сформулированной выше. Из леммы 8.3 вытекает, что эта теорема будет доказана, если мы сумеем представить произвольный диффеоморфизм как суперпозицию диффеоморфизмов, для каждого из которых теорема верна.
Лемма 8.4 позволяет свести случай произвольной функции 1 к некоторому простейшему случаю. Введем следующие обозначения. Предположим, что даны открытое множество У в пространстве К" и диффеоморфизм у: У вЂ” К". Для произвольной функции ~, определенной на множестве У, полагаем уДх) = ~[~р(х)]]3'(т, у)]. Произвольный диффеоморфизм может быть представлен как суперпозиция диффеоморфизмов некоторого простейшего вида. При этом используется следующее утверждение. ° Лемма В.З. Пусть даны открытые множества П, У н ИГ в пространстве К" и диффеоморфнзмы у: о' - К" н 9: У вЂ” ~ К", причем у(У) = У и у(У) = И'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
