1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Положим д = ы о 4 1. Отображение д является диффеоморфизмом. Покажем, что для всякой точки у = (уы уз,..., у ) с 6~ и-я координата точки д(у) равна у„. Возьмем произвольно у = (у1, уз,..., у„) Е е 6м Пусть у = 4~(х). Тогда х = р 1(у) и 152 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Согласно лемме 8.4 достаточно установить, что теорема верна в том случае, когда функция ~ есть индикатор двоичного куба, замыкание которого содержится в множестве ~'. Пусть о' есть произвольное открытое подмножество К и 1р: о' - К есть функция класса в~ такая, что ~р'(х) ф О для всех х Е о' и ~р отображает У в К взаимно однозначно. Положим р' = чр(П).
Для и = 1 аналогом величины 1(х, <р) является производная ~р'(х). Пусть 1г = у((Г) и полуинтервал о = [а,11) таков, что сегмент [о,~З] содержится в интервале (с,с1). Положим ф = у ' и [р,о] = ф([а, 11]). Функция ф на промежутке [а, Д] монотонна, а у монотонна на промежутке [р, о] в том же смысле, что и ф. Функция Л [<р(х)][~р'(х)] обращается в нуль вне промежутка [р, о] и равна ]~р'(х)] для х из этого промежутка.
Отсюда следует, что | Х [у(х)]]~р'(х)] Их = ]~р'(х)] Нх = /3 — а = д~(о). и р В силу леммы 8.4, таким образом, установлено, что для и = 1 теорема 8.1 верна. Рассмотрим случаи, когда диффеоморфизм у имеет некоторое специальное строение. Общий случай сводится к этому, как будет установлено в конце доказательства.
СЛУЧАЙ 1. и ермо изм является пе становкой независи- ~ Буд *ь * р=к".суы р открытого множества У С К" очевидным образом сводится к этому рассмотрением нулевого продолжения функции ~. В силу леммы 8.4 достаточно установить, что для данного у теорема 8.1 верна в том случае, когда г" есть индикатор произвольного двоичного куба. Пусть о = ([аз, Ьз) х [аз,бз) х .. х [а„, Ь„)) есть двоичный куб в К". Предположим, что для х = (хм хз,..., х„) Е К" имеет место равенство 1р(х) = (хз„хз„...,хл„), где Л = (Лы Лз,..., Л„)— перестановка порядка и.
Функция Л о1р является индикатором множества у '(о). Действительно, функция у о у принимает только два значения: О и 1. Если Л о ~р(х) = 1, то ~р(х) принадлежит о и, значит, х б ~р ~(о). Если Л о у(х) = О, то у(х) ф о и потому х ф 1р ~(о). Таким образом, Л о у(х) = 1, если х б <р ~(о), и Л о ~р(х) = О, если х ф у ~(и). Это и означает, что функция Л о у есть индикатор множества ~р ~(ц). з 8. Формула замены переменной в кратном интеграле Якобиан отображения <р в рассматриваемом случае равен ~1. Множество у з (и), как нетрудно видеть, является двоичным кубом того же ранга т, что и куб о.
Следовательно, и" Отсюда мы получаем, что в случае, когда 0 = У = К", диффеоморфизм ~р есть перестановка независимых переменных, а функция | есть индикатор двоичного куба. Теорема 8.1 верна. В силу леммы 8.4 отсюда следует, что она верна для любой функции 1 Е Х1(К"). СлучАй 2. Отоб ажение: с1 — К" есть п остой и еомофизм. В силу леммы 8.4 достаточно рассмотреть случай, когда функция ~ есть индикатор двоичного куба„замыкание которого содержится в множестве У.
Для точки я = (яз,хз,...,я„) имеем у(х) = (яз,...,х„г,<р„(я)). Пусть о = [а1, Ьз) х .. х [а„1, 6„1) х [а„, 6„) есть двоичный куб такой, что замкнутый куб о = [а1, 61] х ... х [а„1, 6„1] х [а„, Ь„] содержится в множестве У = у(11). Пусть В = у 1. Тогда В, очевидно, также есть простой диффеоморфизм. Для всякого у = (уз, уз,..., У„) б У имеем равенство В(у) = (уз,... ав„ ..., У„м В„(у)). Якобиан отображения В будет — "(у) ~ О. уп ав„ Множество а линейно связно, и, значит, функция — имеет один ауп и тот же знак во всех точках у куба о. Пространство К" будем рассматривать как прямое произведение К" 1хК. Точку у = (у1,уз,...,У„) б К" при этом будем рассматривать как пару (з,1), где $ = у„, а з = (уз,..., У„з).
Обозначим символом т (п — 1)-мерный брус [а1, 61) х .. х [а„з, 6„~). Для всякого г Е т функция и ~ В„(г,1) дифференцируема на замкнутом отрезке [а„, Ь„]. Если для всех х б а якобиан отображения В положителен, т. е. ,У(у, В) > О, то В„(я, 1) является возрастающей функцией переменной 1 при любом я б т. Если якобиан отображения В отрицателен, 1(У,В) < О для всех у б о, то В„(з, г) есть убывающая функция переменной Г. Положим р(я) = ш1п1В„(я,а„),В„(я,Ь„)) и д(я) = щах(В„(з,а„),В„(г,6„)). 154 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Тогда ср 1(л) = В(ст) есть совокупность всех точек х = (х,(), для которых х Е т, а 3 лежит между р(г) и с)(х).
Точнее, в случае, когда ,У(х,(сс) > О, ( удовлетворяет неравенствам р(х) < ( < с)(г), а если ,У(х,ср) < О, то р(г) < 1 < с)(х). Величина У = )( (у) равна единице при у Е ст и равна нулю, если у ф ст. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае срДх) = — (х), если х Е В(сс), и срУ(х) = О в противном случае. Применяя дср„ ах. теорему Фубини (теорема 7.1), получим, что я(5) сру(х) ссх = — (2, 1) сУз ссх. и т сс(х) (8.7) Так как У(х,ср).У[ср(х),В] = 1, то якобианы 3(х,ср) и,У(у, В), где у = ср(х), имеют один и тот же знак.
дВ Пусть г Е т. Предположим, что,У(у,В) = — "(х,() > О. В этом случае р(г) = В„(я,а„), а су(г) = В„(г,Ь„). Тогда имеем ср(х,р(г)) = = (х, а„), а ср(г, су(х)) = (я, Ь„). Отсюда, в частности, следует, что ср„(х, р(х)) = а„ и ср„(я,су(г)) = Ь„. Мы получаем, что в случае, когда,У(у, В) > О для всех у Е о, то имеем %(Ф) | †(г,з) сй = ср„[су(х)] — ср„[р(г)] = Ь„ — а„. Хсс т(*) В случае, когда .У(у,В) < О для всех у е л, то р(х) = В„(з,Ь„) и су(х) = В„(г,а„). Тогда ср(х,р(г)) = (х, Ь„) и ср(х,су(х)) = (х, а„). Отсюда, в частности, следует, что ср„(х, р(я)) = Ь„и ср„(я, су(г)) = а„.
Мы получаем, что если У(у, В) > О для всех у Е сс, то имеет место равенство я(~) я( ) | ~ — "(х,()~ сУ( = — / — "(х, () сИ = — [ср„[сУ(х)] — ср„[р(х)]] = ܄— а„. ]дх„ ' ~ .У дх„ я( ) т( ) 155 з 8. Формула замены переменной в кратном интеграле Мы видим, что в обоих случаях внутренний интеграл в правой части равенства (8.7) равен ܄— а„и, следовательно, для данной функции ~ справедливо равенство ~р|'(х) Их = (܄— а„)р„1(т) = р„(а) = |(у) Иу. и | Ъ' Таким образом, в данном случае теорема 8.1 верна.
рЯх) дх = ~рЯ»Д д» Ж. и -сю У, (8.8) Пустыр~ есть отображение» Е У~ + (<р1(»,1),...,~р„1(»,1)). По условию, <р„(х) = х„. Это означает, что для всякого х Е У координаты с номером и точек х и у = у(х) совпадают. Отсюда следует, что СлучАй 3. и ермо изм сох аняет посл нюю компонент ~пюппп, Пу.* ° пр .« ~ *-,~фф- рф ° * а ° всякой точки х = (хмхз,...,х„) Е К" и-я координата точки ~р(х) равна х„. Если и > 1, то согласно предположению индукции для функций в К" ~ теорема 8.1 верна. Будем рассматривать К" как произведение К" 1 х К, отождествляя точку х = (х1,хз,...,х„) с парой (»,$), где» = (х1,хз,...,х„1), а 1 = х„. Согласно лемме 8.4 достаточно доказать, что теорема верна для данного диффеоморфизма у в случае, когда 7" есть индикатор двоичного куба а, замыкание которого д содержится в множестве $' = <р(У). Пусть сг = [аз,Ь1) х х [а„мЬ„,) х [а„,Ь„). Тогда а = [аз, Ь1] х.
х [а„з, Ь„з] х [а„, Ь„]. Множество Н = <р '(а) согласно лемме 8.5 измеримо и, значит, функция т [у(х)] = ун(х) измерима. Положим ~(у) = х (у). Тогда функция ~рДх)— : ~~[~р(х)],Цх,~о) является измеримой как произведение двух измеримых функций. Пусть т есть (п — 1)-мерный куб [амЬ1) х х [а„мЬ„1) и т— замкнутый куб [амЬ1] х х [а„ыЬ„1].
Возьмем произвольно 1 Е К. Обозначим символом У~ множество всех» Е К" ' таких, что точка (»,1) Е У, и, аналогично, пусть К = (» Е К" ' ] (»,й) Е Ъ'). Множествами~ и К являются открытыми в К" ~. Для всякого 1 Е [а„,Ь„] куб т содержится в множестве К. Применяя таеорему Тонелли для вычисления интеграла функции уДх) (теорема 7.2), получим 156 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих леременных при всяком $ функция <р1 взаимно однозначно отображает множество У~ на К.
Матрица Якоби отображения у имеет вид О~, дч, О~, дхь дх„1 дх„ дуа-ь дРа-ь оп-1 дхь О дх„ 1 дх„ О 1 где значения всех производных берутся в точке х = (г, ь) б У. Определитель этой матрицы, т. е. якобиан отображения у, равен тому ее минору, который образован элементами первых и — 1 строк и первых п — 1 столбцов.
Указанный минор совпадает с якобианом отображения у», т. е.,7(г, 1; у(г,1)) = 3(г,~р,). Принимая это во внимание, внутренний интеграл в равенстве (8.8) можно записать следующим образом: и, В силу предположения индукции последний интеграл равен | ~~~(г,$) о . ь„ | рЯх)йх = К (г)йг й = (܄— а„)и„ь(т) = Ьь„(п). Заметим, что если 1 ф [а„, Ь„), то т (г, $) = О. Если 1 б [а„, Ь„), то Х (г,1)=Опригфтих (г,1)=1пригбт. Таким образом, при 1 б [а„,Ь„) функция г ~-+ т (г,1) является индикатором (и — 1)-мерного двоичного бруса т.
При 1 ~ [а„, Ь„) эта функция тождественно равна нулю. Следовательно, мы получаем 'з 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 157 ЗАВЕРШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЪСТВА. Пусть У есть произвольное открытое множество в пространстве И" и у: У вЂ” К" есть диффеоморфизм. Требуется доказать, что для всякой функции ~, определенной на множестве У = у(У), функция у~ = ~[у(х))~1(х,у)~ интегрируема по множеству У, причем имеет место равенство (8.2). Пусть хо есть произвольная точка множества У. По лемме 8.5 найдется б > О такое,что в окрестности И~о = В(хо,б) с У точки хе отображение у допускает представление м = С о д о 4, где 4 есть простой диффеоморфизм, д — диффеоморфизм, для которого д„(х) = х„, а ~ есть перестановка независимых переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
