1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Легко проверяется, что множество Г,1(Е) с введенными так операциями сложения элементов и умножения элемента на число представляет собой векторное пространство. Нулевым элементом этого пространства является множество всех функций Г: М - К, каждая из которых равна нулю почти всюду в М.
Пусть С б Х1(Е). Тогда мы будем говорить, что С > О, если существует неотрицательная функция 7" б С. Если ~ > О, то для любого числа а > О также ос > О. Еслибы > О и и > О, то также и ~+О > О. Будем говорить, что С < О, если и — С > О. Таким образом, на множестве Ь|(Е) определяется отношение порядка.
з 9. Сходимость в Ь1. Пространство Х| 175 Пусть с б Хд(Е). Возьмем произвольно функцию Х Е с. Полагаем [[Ць,<е) = [[Х[[ь,. Величина [[Дь, не зависит от выбора функции Х Е С, так что величина [[Цьцв) определяется однозначно. Легко устанавливается, что функционал С [[Цыме) представляет собой норму на множестве Х1(Е). Не останавливаясь на проверке всех условий определения нормы, заметим только, что если [[Ць,~е) = О, то С есть совокупность всех функций, обращающихся в нуль почти всюду в М, т.
е. с есть нулевой элемент пространства Х|(Е). Построенное нормированное векторное пространство Ь|(Е) является полным пространством. Действительно, пусть (С„)„ен есть произвольная фундаментальная последовательность элементов этого пространства. При каждом и Е дз выберем произвольно функцию Х„б С„.
Для любых иы из имеем [[Х д — Хид[[ьд = ![4 д — Ьд[[ьд(е). Отсюда ясно, что последовательность функций (Х„)„ен является фундаментальной в Х1. В силу теоремы 9.1 отсюда вытекает, что существует функция Хо е х(Е) такая, что [[Մ— Хо!!с, — О при и — оо. Пусть со — — [ Хо] есть класс эквивалентности функции Хо. При каждом и имеем И вЂ” ~о[!с,(е) = [[Х вЂ” Хо[[с„ откуда следует, что Со есть предел последовательности (С„)„ен элементов пространства Х,д (Е). Таким образом, всякая фундаментальная последовательность элементов пространства Ь|(Е) имеет предел. Этим доказано, что пространство Хд(Е) полное.
Иначе говоря, Хд(Е) есть банахово пространство. В дальнейшем, несколько отступая от применяемых здесь обозначений, мы будем отождествлять интегрируемую функцию в системе с интегрированием Е с классом [Д функций, совпадающих с ней почти всюду, т. е. с элементом [Д пространства Хд(Е), и писать Х Е Х д (Е). 9.3. ОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ИФФЕРЕН ИРУЕМОСТИ ФУНК ИЙ ПРЕ СТАВЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛАМИ ЗАВИСЯ ИМИ ОТ ПАРАМЕТРА Теоремы о предельном переходе, доказанные в этой главе, позволяют получить некоторые полезные теоремы об интегралах, зависящих от параметра.
176 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ° Теорема О.З. Пусть даны система с интегрированием (М,Я,1) и множество У, на котором задана оценочная функция А(у) с предельным значением р Е К. Пусть функция У: (х, д) Е А х У вЂ” К удовлетворяет следующим условиям: 1) при всяком у Е У функция ~я. 'х Е А ~ Дх,у) переменной х интегрируема; 2) существует интегрируемая функция д: М -+ К такая, что при каждом д Е У неравенство Ях, у)~ < д(х) выполняется для почти всех хЕМ; 3) для почти всех т Е М существует предел 1пп г"(х,у) = Ях).
л(я1-я Тогда предельная функция 1о интегрируема, причем имеет место равенство | Уо(х) Йр(х) = 1пп / У(х, д) йр(х) (9.3) л(я1 я д м м Доказательство. Данная теорема представляет собой непосредственное следствие теоремы Лебега о предельном переходе. Пусть (у„)„ен есть произвольная последовательность значений у такая, что л(д„) — р при ц — оо.
Тогда для последовательности функций |„„выполняются все условия теоремы Лебега, откуда следует, что функция 1о интегрнруемаи Так как последовательность значений (у,)„еи такая, что А(д,) -+ р при и — оо была выбрана произвольно, то из доказанного следует равенство (9.3). Теорема доказана. ° Следствие. Пусть даны система с интегрированием (М,Я,1) и метрическое пространство (У р). Пусть функциями: (х, у) Е МхУ- К удовлетворяет следующим условиям: 1) при всяком у Е У функция |я.
х Е М Дх,у) переменной х интегрируема; 2) существует интегрируемая функция д: М вЂ” К такая, что при каждом д Е У неравенство У(х, у)~ < д(х) выполняется для почти всех хЕМ; 3) при всяком х Е М функция д Е У ~ 1(х,у) непрерывна в пространстве М. Тогда функция Г: У -+ К, определенная равенством Г(д) = 1'(х, у) пх, А является непрерывной. з 9. Сходимость в Х1. Пространство Х з 177 Действительно, пусть уо есть произвольная точка пространства У. Полагая в условиях теоремы Л(у) = р(у, уо), получим, что | Х(х,ро) Ы = Пп 1 Ях, р) ~1х, з- зо1 т. е. Г(уо) = 1пп Г(у). Так как точка уо Е У выбрана произвольно, я уо то непрерывность функции Г тем самым установлена. Следствие доказано.
Применяя тпеорему Валле — Пуссена, получим другой полезный критерий непрерывности интеграла, зависящего от параметра. ° Теорема 9.4. Пусть (М,.т',Х) есть система с интегрированием, А С М вЂ” измеримое множество и У вЂ” мнонсество, на котором определена оценочная функция Л(у) с предельным значением р Е К.
Предположим, что функция Х: А х У вЂ” ~ К удовлетворяет следуюгцим условиям: 1) мера множества А конечна, и для всякого у е У функция Хя: х Е Е А Х(х, у) переменной х интегрируема по множеству А; 2) существуют непрерывная неубывающая функция Ф: [О, со) — К и постоянная Х < оо такие, что при каждом у Е У функция Ф[[Хя(хЦ илтегрируема ло множеству А, причем выполняется неравенство | Ф[[Х(х, уЩ ~1ц(х) < Ь А Ф(1) длявсех уЕ А и — -+ со при1- оо 1 3) для почти всех х Е М существует предел 1пп Х(х, Р) = Хо(х). Л(з)- я Тогда предельная функция Хо интегрируема, причем имеет место равенство (9А) Доказательство.
Терема доказывается аналогично предыдущей. Пусть последовательность значений (у„)„ен есть произвольная последовательность значений у такая, что Л(у„) — р при и — со. Для последовательности функций Х„„(х) выполняются все условия теоремы Валле — Пуссена. Отсюда следует, что предельная функция Ях) интегрируема на множестве А, причем 178 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Так как последовательность (у„)„ен такая, что Л(у„) — р при и — со, была выбрана произвольно, то справедливость равенства (ОА) установлена.
Теорема доказана. ° Следствие. Пусть даны система с интегрированием (М, Я, 1), измеримое множество А С М, метрическое пространство (У, р) и функция 1: А х У вЂ” К. Предположим, что выполнены следующие условию 1) мера множества А конечна, и для всякого у Е У функция ~у: х Е Е А ~ Дх, у) переменной х интегрируема ло множеству А; 2) существуют непрерывная неубывающая функция Ф: [О, оо) — К и постоянная 1 < со такие, что при каждом у Е У функция Ф[[1У(х)~) интегрируема ло множеству А, причем выполняется неравенство Ф(~) для всех у Е А и — -+ оо при 1 -+ оо; 3) для почти всех х Е М функция у Е М ~ 1(х,у) непрерывна в пространстве У. Тогда функция Г: У о К, определенная равенством Г(у) = 1(х, у) йр(х), является непрерывной в пространстве (У, р).
Действительно, возьмем произвольно точку уо Е У. Полагая в условиях теоремы Л(у) = р(у, уо), получим, что 1(х,уо)ох = 1пп (Дх,у)лх, У Уо,/ т. е. Г(уо) = 1пп Г(у). Так как уо есть произвольная точка У, то У- Уо непрерывность функции Г тем самым установлена. Следствие доказано. у П иве ем п ложенне о ди е енци рванин интег алов завися- х от па амет а. ° Теорема О.б. Пусть Е = (М,Я,1) есть система с интегрированием, А С М вЂ” измеримое множество. Пусть дан промежуток (а,Ь) С К. Предположим, что функция 1: (х,у) Е А х У вЂ” + К удовлетворяет следующим условиям: 9. Сходимость в Ь . П ост анство Ь 179 Г(у) = Дх, у) Нн(х), А дифференцнруема лри каждом у Е (а,6).
При этом 7о интегрнруема, причем имеет место равенство — (у) = / — (х, у) Ыр(х). аг' Г д7" Ну ду А (9.5) ,Цоказательство. Возьмем произвольно точку уо Е (а,6). Для всякого у Е (а, Ь), отличного от уо, в силу таеоремы Лагранжа о среднем значении имеем У(у) — Пус) дУ = — (х,у) у уо ду где у лежит между у и уо. В силу условия теоремы отсюда следует, что У(у) — У(уо) < ( ) < д(х). У Уо При каждом х Е А существует предел 7" (у) — 7" (у ) д~ М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
