1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Равенство, относящееся к функции О, устанавливается аналогичным образом. В проделанных выше рассуждениях предполагалось, что функция 7": К" — К определена пля всех х Е К". Случай, когда )"(х) опредеыз.махи.вам * я И". л * Р *~ у уш. ствляется рассуждениями, почти дословно повторяющими доказательство следствия 2 теоремы 7.1. П ив ем о но полезное сл стане тпео емы Тонелли. Пусть и = й+ т, где х, т — натуральные числа. Пусть А С К".
Зля произвольного у Е К~ символом Я„(А) обозначим множество всех г Е К таких, что точка х = (у,з) принадлежит А. Пусть з Е К™. Множество всех у Е К" таких, что точка х = (у,г) Е А, будем обозначать символом о,(А) и называть з-сечением множества А. Ч Следствие. Пусть даны измеримое множество А в пространстве К" в неотрицательная измеримая функция 7": А — ~ К. Тогда для почти всех у Е К" множество Я„измеримо в К, для почти всех г Е К™ измеримо множество п,(А) в пространстве Кь и имеет место равенство Дх) ех = Ду,з)сЬ оу = 7(у,г) оу Нг.
А вю(А) Ж а(А) Доказательство. Утверждение следствия об измеримости множеств Я„(А) и о,(А) устанавливается применением теоремы Тонелли к функции )(А(у, х) — индикатору множества А. Пусть 7": А — К есть неотрицательная измеримая функция, определенная на множестве А пространства К" = К" х К . Продолжим функцию 7" на все пространство К", полагая Дх) = О при х ф А.
Продолжение является неотрицательной измеримой функцией на пространстве К . Согласно тпеореме Тонелли имеем Дх) Нх = Ду, г) ~Ь Ну = Ду, г) оу Иг. Ж" Жй Ж"' Ж Жз Пусть у Е К~ таково, что для этого у функция з Ду, з) является измеримой в пространстве К и множество Я„(А) измеримо. Таковы 136 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных почти все у Е К™. При г ф Я„(А) величина Ду, г) обращается в нуль. В соответствии с определением интеграла функции по подмножеству отсюда получаем, что для данного у имеет место равенство | 1(ц> г) иг = Дц~ 2) ог. и зы(А) Принимая во внимание, что н' отсюда получаем первое из доказываемых равенств.
Справедливость второго устанавливается аналогичными рассуждениями. Следствие до- казано. 3 а м е ч а н и е. Утверждение следствия, касающееся интеграла функции Дх) = ~(у, г), верно также и для случая, когда Г есть произвольная интегрируемая функция в множестве А С К". В этом случае требуемый результат устанавливается рассуждениями, аналогичными тем, которые были проделаны при доказательстве следствия. 7.3. ФОРМУЛА КАВАЛЬЕРИ вЂ” ЕБЕГА | В(х) Ь = В Я„(В). о (7.10) При каждом Ь > 0 справедливо неравенство Яь(В) > Я (В). (7.11) 7.3.1. Если система с интегрированием является счетной в бесконечности,то может быть установлено равенство, которое позволяет представить интеграл неотрицательной измеримой функции через меры ее множеств Лебега.
Выводом этой формулы мы и займемся. Предварительно докажем некоторое предложение о представлении несобственного интеграла в виде предела суммы ряда. ° Лемма Т.З. Пусть д: (О, со) К есть неотрицательная убывающая функция. Для Ь > 0 положим Яь(о') = Ь ~, д(иЬ). Тогда имеет и=1 место равенство з 7. Теорема Фубини и ее следствия 137 Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Зададим произвольно Ь > О.
Пусть й Е 1"(. Тогда имеют место неравенства РЛ ( +11л | в(,)с*»Л в(с>)> | в(,)с*. о Л=1 л Устремляя и к оо,получим СЮ СЮ | В(,) С* » 1 В( >) = Р,(в) > | >( ) С . о Р>>1 л Переходя в этом неравенстве к пределу при Ь вЂ” > О, получим, что СЮ СЮ > Ь 1 >(,>) = > |и(,) С* = | и(,) С*. Р=1 л о Теперь докажем неравенство (7.11). Объединяя в сумме, представляющей Ял(0), слагаемые, соответствующие значениям и = 2Ь вЂ” 1 и и = 2й при каждом й = 1, 2,..., получим Ял(0) = Ь ~> В(ий) = й~у (0((2й — 1)й)+ 0(2йй)).
Р— 1 Л=1 Так как,по условию, функция 0 убывающая, то при всяком й выпол- няется неравенство 0[(2й — 1)Ь1 > 0(2йй). Отсюда получаем й ~) 0(ий) > Ь )) 20(2йй) = Язл(0). Р=1 Л=1 Тем самым установлена справедливость неравенства (7.11) при каждом Ь > О. Лемма доказана. ° Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М,Я,1). Мы будем предполагать, что эта система счетна в бесконечности.
Напомним, что согласно определению, данному в З5, это означает, что существует последовательность простых функций (|„)„е))( такая, что 7'„(х) -+ 1 при и -> оо для всякой точки х Е М. Пусть р означает функцию множества, которая является мерой в этой системе с интегрированием. Предположим, что 7 ( М вЂ” Й есть неотрицательная измеримая . функция. Для 1 > О положим Еу(с) = (х Е М ~ 1(х) > с), Еу(с) = (х Е М ~ 1'(х) > с). (7 12) 138 Гл.
13. Интегральное исчисление функций многих переменных Как было показано выше (теорема 5.11 этой главы), множества Еу(1) и Еу(1) измеримы при любом 1 > О. Лля любых 21, $2 таких, что О < 11 < 12, имеют место включения Еу(11) ~ Еу(М ~ Еу(22). (7.13) Первое включение верно в силу того, что из неравенства У(х) > 21 следует у(х) > 21. Второе включение вытекает из того факта, что если у(х) > 1 ,у(х) > 1 ° П у > О ру(у) = р(Еу(1)), руР) = р(Еу(~)). (7.14) Тем самым в промежутке (О, оо) определены неотрицательные вещественные функции ру и ру. Из включений (7.13) вытекает, что для любых $1, 22 Е И таких, что О < у1 < 22, имеют место неравенства ру(У1) > ру(21) > ру(22). (7.15) Отсюда, очевидно, следует, что для всякого 2 > О выполняется нера- венство Ду(у) > ру(у), и для любых 21,12 б И таких, что О < 21 < 22, имеют место неравенства Йу(21) > Н($2) и ру(11) > ру(22) так что ру и Ду есть ыевозрасп2ающие вещественные функции на промежутке (О, оо).
Заметим, что если для некоторого значения 2 = уо > О одна из величин ру(Уо) и Ду(уо) равна оо, то в силу неравенств (7.15) Йу(2) = у1у(У) = оо ру(1 — 5) > руЯ > ру(У) Если функция,ыу непрерывна в точке 2, то,иу(2 — У1) -+ ру(2) при Ь вЂ” О, откуда следует, что в этом случае ру(1) =,ыу(1). Так как ру есть монотонная убывающая функпия, то множество ее точек разрыва не более чем счетно и, стало быть, множество значений 2, для которых ру(2) ~,ыу(1), не более чем счетно. для всех $ б (0,2о).
Пусть у: М Й есть неотрицательная измеримая функция и функции,ыу и ру определены по ней равенствами (7.14). Предположим, что ру(1) конечно для всех 1 б (О,оо). Тогда в каждой точке 2 б (О, со), в которой функция,ыу непрерывна, имеет место равенство ,йу(1) = ру(1). действительно, пусть 1 > О и Ь > О таковы, что 2 — й > О. Тогда имеем з 7. Теорема Фубини н ее следствия 139 ° Теорема 7.3. Пусть 1": М вЂ” К есть неотрицательная измеримая функция в системе с интегрированием Е, счетной в бесконечности. Пусть множества Е1(1) и Е1(1), функции р1 и йу определены по функции 1" посредством равенств (7.12).
Тогда если для некоторого 1 > 0 имеет место равенство р1(1о) = оо, то интеграл функции 1 ло М равен оо. Если же р1(1) конечно для всех 1 > О, то имеют место равенства 1(х) Вр(х) = н1(1) й = ру($) й. м а о (7.16) 3 а м е ч а н и е 1. Формулу (7.16) будем называть формулой Кавальери — Лебега.
3 а м е ч а н и е 2. Поскольку по доказанному выше ру(~) = = р1($) в основном, т. е. всюду, кроме точек, образующих не более чем счетное множество, то из условия ('чз > 0 ру(1) < оо) вытекает (а > о ру(1) < ). 3 а м е ч а н и е 3. Если условиться, что для неотрицательной функции, которая определена в промежутке (О, со) и равна оо для всех г из некоторого интервала (0,13), где 13 > О, интеграл по промежутку (О, оо) равен оо, то равенства (7.16) будут верны во всех случаях. Доказательство теоремы. Пусть 1: М вЂ” К есть неотрицательная измеримая функция. В используемых здесь обозначениях индекс 1 будем опускать всякий раз, когда это не может привести к недоразумению. Пусть р(1о) = оо для некоторого 1о > О.
Положим у(х) = = зоХн(~,1(х). Функция ~р измерима. При х ф Е(Го) имеем 1р(х) = 0 < 1(х). Если же х Е Е($о), то ~р(х) = 1о < 7'(х) согласно определению множества Е(1о). Таким образом, ~р(х) < 1(х) для всех х б М. Отсюда вытекает, что 1(~) > 1(<р) = Мо1(Хк1~,1) = Мор(1о) = оо, т. е. 1Ц) = оо. Первое утверждение теоремы доказано. Будем далее считать, что,и(1) конечно для всех 1 > О. Так как д(1) = р(1) в (О,оо) в основном, то достаточно доказать равенство теоремы, относящееся к функции ~ь(1). 1 Зададим произвольно число т Е г1.
Положим л = —. Пля 2ФВ ' всякого х Е М определим функцию В,: (О, оо) -+ К, полагая В,($) = 1 при 0 < М < 1(х) и В (1) = 0 для 1(х) < 1. Функция В, является убывающей. Положим 1 (х) = Ь )', В (ий ) = $ь (В,). я=1 З 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 141 $ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле В данном параграфе устанавливается формула замены переменной в кратном интеграле. Здесь рассматривается случай, когда дано открытое множество У в пространстве К» и диффеоморфизм у множества У в пространство К", который взаимно опнозначно отображает У на другое открытое множество 1Г пространства К".
Устанавливается, что интеграл произвольной функции Г по множеству У равен интегралу по множеству У от функции г о и, взятой с некоторым множителем, завнсяшим только от данного диффеоморфизма и. Указанный множитель равен модулю якобиана отображения у, т. е. ~У(г, у) 1 Доказательство обшей формулы замены переменной состоит в последовательном сведении обшего случая к тем случаям, когла функция ~ достаточно просто устроена, а отображение у есть диффеоморфнзм некоторого специального вида. 8.1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНК ИИ НА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВАХ ПРОСТРАНСТВА К» Зададим произвольно открытое множество О' пространства К". Функция Г: 0' -+ К согласно определению, данному в и. 5.4, является интегрируемой (измеримой) на множестве й, если ее нулевое продолжение на пространство К", т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
