1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Разность т(х — а) — т(х — 1у) равна единице при 1 Е ~т, и равна нулю при х ф о, т. е. эта разность совпадает с индикатором отрезка сг. Для произвольного Ь > О положим (х + Ь)+ — х+ ть(г) = Ь Легко проверяется, что ть(1) = О при 1 < -Ь, тай = 1 при М > О и О < ть(1) < 1 для всех й Е К. Функция ть, очевидно, является непрерывной. Имеем Бгп ть(М) = О для всех М Е К.
ь-о Пусть дан полуинтервал и = [а,11). Положим х,ь = ть(х — а)— -ть(х — 13). Из сказанного следует, что Бпз х ь — т(х о) т(х б) — з у(3) для всех $ Е К. Функция х,ь непрерывна и обращается в нуль вне промежутка [а — Ь, ~3]. 84 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Предположим теперь, что задан п-мерный полуинтервал о = ог х оз х х а„, где а'ь = [аь, 11ь), й = 1, 2,..., тг. Для х = (хг, хз,..., х„) Е К" положим х,ь(х) = Ц Х-,,ь(хь). Функция х,ь(х) в пространстве К" непрерывна 'и обращается в нуль вне замкнутого п-мерного прямоугольника оь = [а, — 6, Д] х [аз — 6, ~3з] х .. х [а„— й, ф„].
Для всякой точки х Е оь можно указать точку у Е о такую, что ]х — у[ < Ь,/и. Функция х,ь(х) непрерывна и финитна, причем О < х ь(х) < 1 для всех х Е К". При этом справедливо соотношение и лш Х,ь(х) = Ц Х (хь) = Х (х) ь=г Пусть 1 есть произвольная спЕаекчатаая функция в пространст- веК" и У(х) = ~ а;Х ,(х) есть представление 1 в виде линейной комбинации попарно непересекающихся двоичных кубов.
Будем считать, что коэффициенты а; в этом представлении все отличны от нуля. Тогда носитель Брг(1) функции 1, как нетрудно видеть, совпадает с объединением замкнутых кубов а . Предположим, что открытое множество У содержит носитель функции 1. Тогда найдется б > О такое, что для всякой точки х Е Ярг(1") шар В(х, б) содержится в множестве У. Для Ь> О--'. Ых) = , 'а;Х т ь(х). З 5. Измеримые функции н множества 85 Функция «», очевидно, является непрерывной и финитной и (»(х)— ((х) при Ь -+ О для всех х е К".
Если Ь достаточно мало, а именно, 5 если Й < —, то носитель функции (» будет содержаться в множестве Н. Функции Ях) ограничены, Щх)! < щах !а 1 = !((х)! для з<з< всех х б К". Лля любого Х > О найдется и-мерный куб Ч = [ — Ь, Ь]" такой, что при О < Ь < Н функции (» обращаются в нуль вне этого куба. Применяя теорему Лебега о предельном переходе, получим, что 11У вЂ” У»11»,(и ) -+ О при Ь - О. Утверждение леммы очевидным образом следует из доказанного. Лемма доказана. ° ° Теорема 4.4. Для всякой интегрируемой функции ~: К" — К для любого е > О существует непрерывная фннитная функция <р: К" — К такая, что !1,( — у!!ь, < е.
Доказательство. Пусть ( есть функция класса Ь1(К"). Тогда согласно определению интегрируемой функции для всякого г > О найдется ступенчатая функция ф, для которой имеет место неравенство Я 1!з' — ф1!ь,(н ) < —. В силу леммы 4.5 можно указать непрерывную Финитную функцию <Р такую, что 11ф — ~р!1ь,(и ) < —. Отсюда получаем !1У вЂ” ю!1»,(и.) < 1!У вЂ” ф11»,(и-) + !1ф — р11г.,(н-) < -+ — = е. Теорема доказана.
° й 5. Измеримые функнии и множества Здесь мы опишем некоторый класс функций, естественно возникающий в теории интеграла. Условия, определяющие класс интегрируемых функций, в некоторых случаях оказываются слишком ограничительными. В связи с этим, возникает необходимость ввести более широкий класс функций, который был бы определен условиями, менее жесткими, чем это имеет место в случае интегрируемых функций. Таким является класс измеримых функций. Понятие измеримой функции позволяет производить различные преобразования интегрируемых функций, не заботясь при этом, чтобы функции, получаемые на промежуточных этапах, были интегрируемыми.
Если результатом преобразований является некоторая функция, то ее интегрируемость может быть установлена в конце вычислений. Применение измеримых функций оказывается полезным при изучении интегрируемых функций. Соответствующие примеры приводятся в этой главе позднее. 86 Гл. 13.
Интегральное исчисление функций многих переменных 5.1. ОЛРе елениЯ и пРОстейшие сВОЙстВА измеРимых эсн кзси й Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М,.аг,1). Дальнейшие рассмотрения относятся именно к этой системе с интегрированием. Функция 1: М вЂ” Й, определенная в М почти всюду, называется измеримой, если существует последовательность функций (~р„) „ен, принадлежа|цих классу а', такая, что <р (х) 1(х) для почти всех х б М. Для системы с интегрированием Е = (М, а,1) множество всех функций, измеримых в этой системе, обозначается символом М(Е).
Всякая интегрируемая функция измерима. Действительно, пусть 1" й 1,|(Е). Согласно определению интегрируемой функции для всякого 1 и б г| найдется функция |р„б Я такая, что Й1 — у„))ь,|е> < —. Имеем Отсюда согласно следствию 1 теоремы 4.1 вытекает, что для почти всех х Е М разность 1(х) — |р„(х) — 0 при и — оо и, значит, у„(х) -+ 1(х) для почти всех х Е М при и — оо.
Согласно определению это и означает, что функция 1 измерима. Множество А с М называется измеримым, если его индикатор та является измеримой функцией. ° Теорема 5.1, Если вещественная функция ~, определенная в М почти всюду, измерима, то функции Щ, 1+, 1 являются измеримыми. Доказательство. Та,к как функция 1 измерима, то согласно определению существует последовательность (у„)„ен функций класса Р, сходящаяся к 1 почти всюду.
Для всякого х б М, для которого ~р (х)— 1(х) при и -~ оо, очевидно, Функции |~р„~, у„~, ~р„принадлежат классу ач при всех и е М. Следовательно, мы получаем, что для каждой из функций Щ, 1+ и 1 можно указать последовательность функций, принадлежащих классу а"", сходящуюся к ней почти всюду. Тем самым измеримость всех этих функций установлена. Теорема доказана. ° з 5. Измеримые функции и множества 87 Бш иу Ос ппп(Х,У), У ОО Бш иу = шах(Х,У). Доказательство. В случае, когда Х и У конечны, доказываемые соотношения непосредственно вытекают из соотношений шш(х,у? = х — (х — у)+, п1ах(х,у) = у+(х — у)+.
Пусть одна из величин Х и У равна — оо. Для определенности будем считать, что Х = -оо. При каждом и б Ы имеем иУ < хУ. ОтСЮда СЛЕдуЕт, ЧтО В ЭТОМ СЛуЧаЕ ?ПП иу сс — ОО. у со Предположим, что У > Х = — оо. Тогда найдется номер и такой, что при всяком и > Р имеет место неравенство ху < уу. Для всех таких и имеем и = уу. Отсюда вытекает, что в этом случае ??ш иу = йп уу = У = шах(Х,У). у со у со Рассмотрим случай, когда Х = У = — со. Зададим произвольно К > -оо. Согласно определению предела тогда найдется номер р Е 1з такой, что для всякого и > и выполняются неравенства х, < К и уУ < К. Для всех и > и, очевидно, выполняется неравенство оУ < К.
Так как К > — оо было выбрано произвольно, то тем самым установлено, что и в данном случае Бш еу = У = птах(Х, У). Случай, когда У ОО хотя бы одно из чисел Х и У равно оо, рассматривается аналогично. Лемма доказана. ° ° Теорема 5.2. Пусть 1' н д есть вещественные функции, определенные в М почти всюду. Тогда если функции ? и д измеримы, то измеримы также и функции шах(1, д) и ш1п( 1, д).
Если сумма ?(х) + д(х) определена для почти всех х б М, то функдия 1 + д измерима. Для всякого а ~ О функция а1 измерима. 3 а м е ч а н и е. Требование а ф О в последнем утверждении теоремы введено только для того, чтобы избежать ситуации, когда 1(х) = васо на множестве, не являющемся пренебрежимым. ° Лемма 5.1. Пусть (х„й К)„ен и (у Е И)„ен есть произвольные числовые последовательности, каждая из которых имеет конечный или бЕСКОНЕЧНЫй ПрЕдЕЛ. Пуетъ Х = ?ПП Ху, У = ЙП уу. ПОЛОжНМ иу сс У ОО У ОО = Пцв(Х, у„) И иу Ос ШаХ(Ху, у 1. ТОГда Каждая НЗ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНО- стей (иу)уен и (иу)уен имеет пРедел.
ПРи этом 88 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство теоремы. Пусть Е1 С М и Ез С М вЂ” пренебрежимые множества такие, что 1(х) определено для всех х ф Еы а д(х) определено для любого х ф Ез. Построим последовательности (~р„),ен и (ф„)„ен функций класса Я, сходящиеся почти всюду к функциям г" и д соответственно. Пусть А1 С М ~ Е1 и Аз С М 11 Ез — пренебрежимые множества такие, что ~р„(х) — 1(х) для любого х ф Е1 0 А1 и ф„(х) — д(х) для всех х 1с Ез 0 Аз. Множество Е = Е1 0 А1 0 Ез 0 Аз пренебрежимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
