1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 13
Текст из файла (страница 13)
° Сформулированная теорема утверждает, что всякое кольцо, на котором определена некоторая мера, может быть расширено так, что это расширение будет а-кольцом, причем мера на данном кольце будет продолжена на построенное расширение. Теорема 3.1 является следствием теорем 5.9, 5.10 и 5.11 параграфа 5 (см. замечание в конце п. 5А). Действительно, если функция 1 ступенчатая, то множество всех ее значений 11М), как следует из определения ступенчатой функции, конечно. Пусть (1~,1з,...,1р) — все элементы множества 1'(М), отличные от нуля, причем числа 1; попарно различны, 1; ~ 11 при г ~ з. Положим .Е; = 1" з(1;). Множество Е; есть объединение тех множеств Аь в равенстве (3.9), для которых Ль = 1;, и, стало быть, Е; Е Я при каждом 1.
Множества Е; и Е, при г ~ з', очевидно, не имеют общих точек. Отсюда следует, что имеет место равенство П*) Е 1~Хе,(х) ~=1 (3.11) для всех х Е М. Данное представление функции 1 определяется по ней е д и н с т в е н н ы м образом. Рассмотрим сумму ~;р(Е;). з=1 рЛЕ,) = ~1 р(Аь). льсе, (3.12) Имеем Если Аь С Е;, то Ль = 1,. Отсюда видно, что сумма всех тех слагаемых в выражении (3.11), для которых Аь С Е;, равна ~;р(Е;). Полагая 1 = 1, 2,..., р, получим, что сумма (3.11) равна сумме (3.12) и, следовательно, не зависит от выбора представления функции 1" в виде (3.10). Пусть ступенчатая функция 1 представляется равенством (3.9).
Сумма ~ Льр(Аь) называется интегралом функции 1 оганосительно ь=з меры р, заданной на данном кольце Я,и обозначается символом (3.13) ° Теорема 3.2. Пусть М есть произвольное множество, Я вЂ” некоторое кольцо подмножеств М, Я вЂ” совокупность всех вещественных функций, ступенчатых относительно Я. Предположим, что на кольце Я определена некоторая мера и для произвольной функции 1 пусть 1Я есть интеграл функции 1" относительно этой меры, определенный в случае, если 1 представляется равенством (3.9) как сумма (3.10). Тогда система (М,Я,1) из трех объектов, определенных, как указано здесь, представляет собой систему с интегрированием.
б4 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 'з 3. Примеры систем с интегрированием Доказательство. Пусть 3 и д — две произвольные функции, ступенчатые относительно кольца множеств,У. Тогда для всех х Е М имеем 3[х) = ) Л;Гя,(х), д(х) = ~), дзгн,(х), где А;, 3 = 1,2,...,и, и В, з = 1,2,...,т, есть множества, принадлежащие кольцу М, причем А;, П А;, = И при зз ~ 3з и, аналогично, т Ф В3, П В3, = И при 1з 3~ 1з. Положим А = [) А;, В = Ц В . Пусть в=1 3=з Ао — — В ~ А, а Во = А ~ В, Уо —— О и до — — О.
Образуем всевозможные пересечения С; = А; й В при 3 = 0,1,2,...,и, 3 = 0,1,2,...,т. Докажем, что В,=ЦС;,, А;=ЦС3 в=о 3=о (3.14) [аУ(х) + 33д(х)) г3р(х) = ,'~ з (о|; + 13д,)р(С; ). м | '=о 3=о Отсюда и пь и тл М | [а3'1х)+33д(х)]Н3з(х) = о ~> 1 Зьв(С; )+13 ~> ~> д Зз(С; ). (3.15) '=о 3=о '=о 3=о при любых з, ~. Действительно, возьмем произвольно х Е В . Если х не принадлежит А, то х б В 1 А = Ао, и мы получаем, что х е б Ао й В. = Со .
Если же х б А, то х б А; для некоторого г > 1 и, значит, х б С; . Отсюда вытекает, что В С Ц С; . Так как при всяком 3 = О, 1, 2,..., т имеет место включение С; С В, то имеет место также а и включение Ц Ссг С В . Из доказанного вытекает спРаведливость ~юо первого из равенств (3.14). Второе из равенств (3.14) доказывается аналогичным образом. Множества С; попарно непересекающиеся. Для всякого х б С; для любых чисел а и ф имеет место равенство а3[х)+13д(х) = аД+13д3. Если х не принадлежит ни одному из множеств С;., то х ф А. В то же время х ф В и, значит, в этом случае 3'1х) = О и д(х) = О, следовательно, а 1'[х) + 33д(х) = О. Из доказанного вытекает, что функция а3 + ~3д ступенчатая.
Далее, имеем бб Гл. 13. Интегр льное исчисление функций многих переменных Равенства (3.14) позволяют заключить, что первая сумма в правой части равенства (3.15) равна и — яр(Аз = /дейк ). в=о м Аналогично получаем равенство Отсюда следует, что Из доказанного вытекает, что для тройки (М,Я,1), где Я и 1 определены, как указано в формулировке теоремы, выполняются условия аксиом К1 и КЗ системы с интегрированием.
Пусть 1: М вЂ” К есть функция, ступенчатая относительно кольца множеств М. Это означает, что г допускает представление и Дх) ) ЛХА;(х)~ где А;, г = 1,2,..., о, — попарно непересекающиеся множества, при- надлежащие М. Тогда, очевидно, имеет место равенство для всех х Е М, и, стало быть, функция Щ также является ступенчатой относительно М. Этим доказано, что и аксиома К2 выполняется. Если ступенчатая функция 1 неотрицательна, то все коэффициенты Д в ее представлении (3.9) неотрицательны. Отсюда видно, что | т Дх) Ир(х) = ~ Др(А;) > О, М ~=1 так что аксиома В.4 системы с интегрированием выполняется.
з 3. Примеры систем с интегрированием 67 Проверим выполнение аксиомы В,5. Пусть (7'„),ен есть убывающая последовательность ступенчатых функций такая, что Ях) — ~ 0 при и — со для всех х Е М. Требуется доказать, что тогда 1Ц,) стремится к нулю при и — оо. При каждом и для всех х Е М выполняются неравенства 0 < < У„(х) < Ях). Пусть Л = ~" Лн4,. Положим А = Ц А; и обозначим з=1 в=1 через 1 наибольшее из чисел 7), г = 1,2,..., и. Пусть дано число Ь > О.
Обозначим символом Е„(Ь) множество всех х Е М, для которых выполняется неравенство Ях) > Ь. Если пв Л (х) = 2 рзун,(х), то Е,(Ь) есть объединение множеств Е, соответ1=з ствующих тем номерам у, для которых р > Ь. Отсюда следует, что множество Е„(Ь) принадлежит кольцу множеств Я. Определим на множестве М функцию Г„(х), полагая Г„(х) = Ь при х б А 1 Е„(Ь), Г„(х) = 1 при х Е Е„(Ь) и Г„(х) = 0 для всех остальных х. Функция Г„является ступенчатой.
При каждом и выполняется неравенство Ях) < Г„(х). Действительно, для х б Е„(Ь) это неравенство имеет место потому, что („(х) < Ях) < Е = Г„(х) для такого х. Для всякого х Е А, не принадлежащего Е„(Ь), имеет место неравенство У,(х) < Ь = Г„(х). При х ф А выполняется равенство ~„(х) = О, и, значит, неравенство 7"„(х) < Г„(х) верно для всех х б М. Отсюда вытекает, что 0 < Ях) йр(х) < Г„(х) Ир(х) = М М = Ьр(А 1 Е„(Ь)) + Ьр(Е„(Ь)) < Ьр(А) + йр(Е„(Ь)). (3.1б) Покажем, что последовательность множеств (Е,(Ь))„ен убывающая.
Пусть х Е Е„~~(Ь). Это означает согласно определению множества Е„+~(Ь), что для этого х выполняется неравенство ~„.~з(х) > Ь. Так как последовательность функций (~„)„ен является убывающей, то 1„(х) > ~„~ з(х) и, значит, для данного х выполняется также и неравенство 7"„(х) > Ь, т. е. х Е Е„(Ь). Точка х Е Е„.~~(Ь) была взята произвольно,и, следовательно, доказано,что Е„~~(Ь) С Е„(Ь). Теперь покажем, что пересечение множеств последовательности (Еи(Ь))мин пусто. Для этого достаточно установить, что какую бы точку х Е М мы ни взяли, найдется и Е М такое,что х ~ Е„(Ь). 68 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть х б М. По условию, Ях) — 0 при и — оо, и, значит, найдется номер и(х) такой, что при и > и(х) имеет место неравенство 1„(х) < Ь. Для таких и точка х ф Е,(Ь).
Следовательно, мы получаем, что никакая точка х е М не может принадлежать всем множествам Е,(Ь) одновременно и, значит, пересечение множеств последовательности (Е„(Ь)) ен есть пустое множество. В силу условия МЗ определения меры на кольце множеств величина р[Е„(Ь)) стремится к нулю при и — оо. Зададим произвольно е > О. Рассуждения проводились для произвольного Ь > О. Я Выберем конкретное значение Ь из условия Ьр(А) < —.
Пусть й е М 2 таково, что Гр[Е„[Ь)) < — для любого и > й. Для всех и > й имеем 0 < 1(У„) < Ьр(А) + Гр[Е„Я~ < — + — = е. В силу произвольности е > 0 этим установлено, что 1(1'„) — 0 при и -+ оо. Теорема доказана. ° Таким образом, мы получаем, что мера, заданная на произвольном кольце множеств,У, определяет систему с интегрированием, в которой класс основных функций есть множество всех функций, ступенчатых относительно кольца множеств Ж. При этом если ступенчатая функция 1 задается равенством (3.9), то интеграл функции 1Ц) есть величина, определенная формулой (3.10). Если функция 1 интегрируема в данной системе с интегрированием, то говорят, что функция 1 интегрируема относительно меры р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
