1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Здесь одно изakи (или) изbjможет бытьбесконечным, а объединение может быть конечным.3.110. Доказать, что не существует представления отрезка [О, 1]в виде00U рn ,[0,1] ==n=1где рn -замкнутые множества и более чем одно из них непусто.3.111. Пусть (L,11 . 11) -банахово пространство. Доказать, чтоLне может быть представлено как счётное объединение попарно непересекающихся замкнутых множеств, более чем одно из которых непусто.3.112.причём аn Р ==Пусть Р<-совершенное множество наЬ, и при некотором д0 и (Ь, Ь+ д) n Р ==>IR,даны числа а и Ь,О выполнены условия (а0.
Доказать, что Рn [а; Ь] --д, а)nсовершенноемножество.3.113. Пусть Р - совершенное нигде не плотное множество в [О, 1],а А-конечное множество. Доказать, что Р\А можно представитькак не более чем счётное объединение совершенных попарно непересекающихся множеств.3.114. Доказать, что [О, 1] можно представить как объединениеконтинуумапопарнонепересекающихсянепустыхсовершенныхмножеств.3.115. Теорема Бэра. Пусть (М, р) -полное метрическое пространство. Доказать, что М не является множеством1-й категорииБэра в себе.3.116.Доказать,непрерывныхвС([О, 1]).чтофункцийВявляетсячастности,функция из С([О,множествонигденемножествомсуществуетнигдедифференцируемых2-йнекатегорииБэрадифференцируемая1]).З а м е ч а н и е. Первые примеры непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций на [О, 1] были построены Б.
Больцано и К. Вейерштрассом, а утверждение задачи3.116было доказано с. Банахом.РЕШЕНИЯ3.1. Пусть в метрическом пространствеlim х n == х. Тогда для любого Е > О найдётсяn----+ооМвыполненотакоеN,условиечто приn>NГл.3.Множества вIR nи других метрических nространствахимеет место оценка р(х n , Х)>Nка при n, тс< "2.43Но тогда по неравенству треугольни-< с.выполняется условие р(х n , Х т )D>3.2. Пусть Х Е G == М \ А. Предположим, что для любого rсуществует точкаYrЕR == r - P(Yr, Х) >о.
Тогда илиCr == Br(x)во втором случае существуетYrЕZrn А.Заметим, что#-YrОХ. ПустьЕ А, илиYr Е А' и, следовательно,(В R (Yr) \ {Yr }) n А. По неравенствутреугольникаИтак, в обоих случаях(Br(x) \{Х}) пА непусто для каждогоr, откудаследует, что Х Е А'. Мы получили противоречие, т. е. существует такоеro >Ео, чтоBro(X) n Апусто, и, таким образом, G открыто.D3.3.
Множество G == М \ F открыто, поэтому если У Е G, то У tfр' и У tf- F u р' == р. Таким образом, F с р. Обратное вложениетривиально.3.4.DУтверждение следует из задач3.2и3.3.D+ У: Ilyll < r} и Br(x) ==Ilyll == r, то при О < с <и II(x + У) - (х + cy)11 ==3.5. По определению шара Br(x) == {z == ХХ + У: Ilyll ~ r}. Заметим, что если1 вектор Х + сУ лежит в открытом шаре== {z ==<== 11 - clllyll-----+ о при с -----+1-о. Поэтомуиз неравенства треугольника следует, чтосправедливо обратное вложение.3.6. Пусть Уtf- Br(x).Тогда==М\ Br(x)::JBr(x).Ilxn 1-----+Ilxll> r,поэтому дПосколькупри х n -----+ Х, тоDr ==р(х, У)в силу неравенства треугольника Вь(У)множество GBr(x)открыто.n Br(x) == 0== r -r> о.и, следовательно,D3.7. Так как Br(x) с Br(x), то (см.
задачи 3.6 и 3.3)D3.8. Пусть М == {х, У} и р(х, У) == 1, р(х, х) == Р(У, У) == о (такоеметрическое пространство называется дискретным). Тогда В 1 (х)==М,но В 1 (х)== {х} И (В 1 (х))' == 0, поэтому В 1 (х) == {х}. D3.9. Пусть G == М \ А' и х Е G. Предположим, что для любогоr > О существует Yr Е А' n (B r (х) \ {х}). Но в этом случае существуеттакже Zr Е А n (Br(x) \ {х}) при всех r > О (см. решение задачи 3.2),поэтому х Е А', и мы приходим К противоречию.
Отсюда следует, чтомножествоG открыто, а множество А' замкнуто.DГл. 3. Множества в443.10.Пусть Х ЕIR nи других метрических nространствахТогда Х принадлежит некоторомуG.Е п. Так как G wo открыто, то существует такое rссG woG.>ша ЕG wo 'О, чтоBr(x)сDk == 1,2, ... , n. Далее,существуют такие rk == rk(X) > О, k == 1,2, ... , n, что B rk (Х) с Gk длякаждого k.
Положим r == min(rl,r2, ... ,rn ). Тогда Br(x) с Gk длявсех k, и, следовательно, Br(x) с G. Таким образом, множество G3.11.открыто.3.12.ПустьG -1-е; и Х ЕТогда Х ЕGkприDПусть СП(~- 3~' ~ + 3~) при=является открытым.3.13.G.nЕ N. Тогда С = {~} неDСправедливо равенствоG==M\F==U (M\Fw ).wE[2Так как множество М\ F w открыто, то (см. задачу 3.10) множество Gтакже открыто. Поэтому множество F == М \ G замкнуто. D3.14.Результат выводится из задачирассуждений, что и в решении задачи3.15.ПустьFn =3.11 с использованием3.13. D[2~' 1 - 2~] принезамкнутое множество.nЕТогда СN.=тех же(0,1) -D3.16. Заметим, что G 1 == М \ F открыто, а Р1 == М \ G замкнуто.Так как G \ F == G n G 1 и F \ G == F n Р1 , то утверждение вытекает иззадач 3.11 и 3.13.3.17.
Достаточно доказать утверждение для n == 2. Заметим,ние.чтоПустьУn Е (В 1 /n(Х){Znk}u A~ с (А 1 U А 2 )'. Докажем обратное вложеХ Е (А 1 U А 2 )'. Тогда для любого n существует\ {Х}) n (А 1 u А 2 ). Пусть {Уn} == {Znk} U {t nrп }, гдеA~С А 1 И {t nrп } С А 2 . Хотя бы одна из этих подпоследовательностей бесконечна. Если, для определённости,Х Е A~ с A~3.18.u A~.бесконечна, тоDИспользуя задачу3.17,CQ\Ak) U CQ\Ak )можно записать цепочку равенствICQ\ Ak) U CQ\ A~)D{Znk}nU (A k U A~)k=ln==U Ak .k=lГл.Множества в3.IR nи других метрических nространствах3.19. Пусть Q[O;I] == {r n } ~=1приkЕN.множество всех рациональных чи--kсел отрезка [0,1] и45--A k == {r n }n=1 для k Е N.
Тогда A~ == 0 и A k == A kПоэтомуuk=10000A~ == 0U Akи==Q[O;I],k=1ноD3.20.В силу ограниченности множества А существует куб 10,1содержащий А. Разделим куб 10,1== [-N, N]n,11,1, ... ,11,2п С вдвое меньшим ребром (например,210,1==на 2n равных кубов11,1==[-N,О]n):пU 11,k.==k=1По крайней мере один из /1,1, ... ,1 1 ,2 п содержит бесконечно много точек множества А. Повторяя этот процесс, получим последовательностьвложенных замкнутых кубов 10,1 ~11,kl~ ... , причём реброl j ,k Jравно2~1' и каждый куб содержит бесконечно много точек множества А.Если х-общая точка этих кубов (существует по принципу вложенныхотрезков), то х Е А'.D3.21.
Пусть А == {en}~=1' где е n == (О, ... , 0,1, О, ... ) (1 стоит на n-мместе). Тогда А бесконечно, но А'0. Действительно, всякая точках n Е А' есть предел некоторой последовательности {e nk } различныхIlenточек. Ноностьчупри n#-т, и никакая подпоследовательне фундаментальна и тем более не сходится (см. зада{e nk }3.1).emll == J2-==D3.22. Пусть х Е С == А \ А'. Тогда существует такое r == r(x), что(Br(x) \ {х}) пА == 0.
Докажем, что если Х,у Е С - две различныеточки, то Ех,уz==B~r(x)(x)n B~r(y)(Y) ==Е Ех,у, и, для определённости,1+ Iz - yl < 2 (r(x) + r(y))~r(x),r(x)~0. Пусть существует точкаr(y).поэтому У ЕТогдаIx - yl(Br(x) \~{х})Ix - zl +n А,и мыпришли к противоречию. Выбирая в каждом шаре B~r(x)(x) точкусрациональнымиболее чем счётно.3.23.координатами,получаем,чтомножествоА\DУтверждение немедленно вытекает из задачи3.22.DА'неГл.463.24.вlCX).3.Множества вПусть АIR nи других метрических nространствахмножество всех последовательностей из О и-Тогда А имеет мощность континуума (см. задачух, У Е А их#- У, то2.19),1но еслиIlx - yll ==1.
Поэтому никакая последовательностьразличных точек из А не фундаментальна, и (см. задачу 3.1) А' ====0.D3.25.Утверждение следует из задач3.26.Пусть А == {а + Ь - а }СХ) . Тогда А' == {а} и А" ==n + 1 n=13.27.Поотрезкаиндукции[а, Ь] c}Rlдокажем,3.3чтодляи3.9.Dлюбогоневырожденного=={а}, и, следовательно, А(n+l)==ние доказано в задаче3.26.== 1k =[а +;k-+a1 ' а + b;k а]используя предположение индукции, такие множества{а+утверждеПредположим, что утверждение доказаноn- 1. Определим отрезки I=(такое мно0жество будет удовлетворять условиям задачи).
При nA~n-i)DИ для любого n существует такое множествоА с (а,Ь), что А(n)для0.;k-+al}' ПустьAkи выберем,СIk ,чтоЗаметим, что А (n-i) = { а + ~ ~ ~ } ~=! U {а}. Действительно, если х "1#- а, то в достаточно малой окрестности точки х содержатся элементыне более чем одного из множествA k , так что х принадлежит одномуиз A~n) либо вообще не принадлежит А(n). Таким образом, А(n) == {а},и мы доказали существование указанного множества.3.28.АnПусть I n=с 1 n таковы, что[2n ~ l'А n(n) =={D2~] дляnЕ N, и пусть (см. задачу2n 1+ 1 }иА(n+l)n==0.3.27)Е елисх)то 2n ~1Е А (n) \ А (n+i), так как эта точка принадлежит A~n) \ A~n+i),но в достаточно малой её окрестности нет точек из А3.29.
Пусть РО-канторово множество наU (а n , Ь n ).n=1Аn .D[0,1] (см. задачу 2.22) исх)G == [0,1] \ РО ==\Гл.3.Положим АРОIR nМножества в=и других метрических nространствах{а n ; Ь n } ~=1' Ясно, что А счётно И А'=47Ро. Так какn А ==g и РО имеет мощность континуума, то мы получили искомыйрезультат.DnB003.30. Так как r n -----+ О, то множество А ==rn (х n ) содержит неn=1более чем одну точку. Далее, последовательность {х n } ~=1 фундаментальна, поскольку р(х n , xn+k) ~== limсуществует элемент Хn----+ооrn .Так как пространство М полно, тоХ n . Поскольку (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
