1610912311-3cbc5b34357e1bf98e493aa337af68a6 (824698), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда А==где Спротиворечие. Если же у Еполучаем, что уА#- В.tf- f(y) ==D,то по определению множестваDмыD, и вновь приходим К противоречию. Итак,Но множество А биективно отображается на множество своиходноточечных подмножеств, поэтому А ~ В. С учётом предыдущего-неравенства это и означает, что А2.31.Пустьf -Dвзаимно однозначное соответствие между множествами А о и А 2 , а АзА4-< В.== f(A 1)== f(A 2 ), ... ,A2k +2 == f(A 2k )ис А 2 • Тогда АзA 2k + 1 == f(A 2k -rvА 1 • Далее, пусть1 ) при всехk ~ 1.Получаем последовательность множествА о ::J А 1 ::J А 2 ::J Аз ::J ...
,гдецияAkfrvA k +2приk ==О,задаёт при каждом1,2, ...kЗаметим, что по построению функ~ О биекцию(i)Если00Гл.то мыполучаем,Мощности множеств2.25чтои== D 2 ,Заметим, что С2АоrvА1 •И из условияследует, что С 1(i)rvD 1•ПоэтомуD2.32. Этот результат немедленно следует из формул А == (Аn В) u(А\В) и В2.33. Пустьu (С \==D ==(Аn В) u (В \В\Е==Аrvжеств устанавливается,u (С \еслиuАu С.2.34. Так как С U ВrvС Игде Аu (D \ А)А u D ==rv== DuВ). Но эквивалентность этих мноприменитьrvА с Е с Аu С,А.
Тогда ВDU А и ВС == D U (АВ)). Таким образом, утверждение будет доказано, если мыпокажем, что Ачто СА).nзадачу2.31к множествамDD \ А с В, то из задачи 2.31 следует,С. Далее,(А\ С) U (Сu (D \А))rv(А\ С) U С == А.D2.35. Возьмём множества А == В == С == [О, 1] и D == [0,0.5). Тогда(см. задачу 2.14) А rv С, В rv D, но А \ в == 0 rf С \ D == [0.5,1]. D2.36. Возьмём множества А == С == [О, 1] и В == [0,0.5).
Тогда А rvrvB,HOC\B==[0.5,1]rfC\A==0.D2.37. Рассмотрим множества А == [0,2] и В == С == [0,1). ТогдаА rv В, но В \ С == 0 rf А \ С == [1,2]. D2.38. Пусть А == {аl, ... , а n , ... }. Определим множествоВ=={Zn,k,j== а n- ak+ j,гдеn, k Е N и j == О, 1}.Ясно, что В счётно, поэтому существует число а Е [О, 1] \ В. Предположим, что существует х Е АnА +авыполнено либо равенство ak==aj(mod 1).+ а,Тогда для некоторыхлибо равенство akЭто означает, что а Е В, и мы пришли к противоречию.==ajk иj+ а - 1.D2.39. Пусть А == {(аl, ...
,а n , ... )}, где а2n-l == О при всех n Е N,а2n Е {О, 1} при всех n Е N и последовательность {а2n} не имеетпериода (1). Пусть В == {( аl, ... ,а n , ... )}, где а2n == О для любогоn Е N, а2n-l Е {О, 1} для любого n Е N и последовательность {а2n-l}не имеет периодаОтождествим(1).Ясно, что оба множества имеют мощность с.множества А и Всподмножествами отрезка[О, 1],Гл.26поставиввМощности множеств2.соответствиекаждойпоследовательноститочкуссоответствующим двоичным разложением. Поскольку ни А, ни В не содержатпоследовательностейсединицейвпериоде,топереходотразложения к точке и обратно однозначен.
Предположим, что Ь( 1)и Ь(2)-две разные точки из В. Тогда найдётся такое n ~ 1, что,например, Ь( 1 )2n-lО И==b(2)2n-l == 1.Предположим, что существуетточка z Е (А + Ь(l)) n (А + Ь(2)). Так как z Е А + Ь(l), то Z2n-l == О,но так как Z Е А + Ь(2), то Z2n-l == 1. Мы получили противоречие,следовательно, (А + Ь( 1)) n (А + Ь(2)) == 0. D2.40.ПустьПоложим А 2задачи2.312.41.f -Тогда А== f(B 1 ).получаем, что АПустьбиекцияgw -взаимно однозначное соответствие между В иf AwrvбиекциянаА2 И А2 СrvA 1 rvnВ.наA1A 1•С А. В силу результатаDи пусть для каждогоIR,wЕnIR. ДЛЯ каждого х Е А, используя аксиомувыбора, найдём ш(х), для которого х Е Aw(x). Определим на А функцию Fследующим образом: Р(х)что F -каждое множествоAwf(w(x))).Тогда видно,Пусть Смощность2.40) получаем, что А==с.Dмножество всех постоянных функций на-С2.24), то А ~ с.
С другой стороны,с А по условию имеет мощность с. По теоремеКантора-Бернштейна (задачаТогда(gw(x) (х),биекция А на некоторое подмножество в IR 2. Так как IR 2имеет мощность с (см. задачу2.42.==равнана С([О, 1]) отображениес.С другойстороны,можноF(f) == (f(rl)' ...
' f(r n ), .. .),[0,1].определитьгде {rn}~=l-последовательность всех рациональных чисел из отрезка [О, 1]. Так какмножество рациональных чисел плотно на отрезке, топриfF(f)#- F(g)ф- g. Таким образом, множество С[О, 1] эквивалентно некоторому подмножеству множества всех последовательностей вещественных чисел, которое в силу результата задачи2.25 имеет мощность с.Применение теоремы Кантора-Бернштейна (задача 2.40) завершаетдоказательство.2.43.ПустьD{rl,r2, ... ,rn , ...
} -занумерованное некоторым образом множество Q[O;l], взята функция== {Xl,X2, ... ,Xn , ... }f(x)Е А, множество Х!множество всех точек разрыва функции-на [О, 1] (оно счётно В силу результата задачи 2.4), У!... , f(x n ), ... } и Qj == {f(rl)' ... ' f(r n ), ... }.монотонных функцийиQj == Qg,тоf(x)fи9g(x)что множество троек (Х j,==f(x)== {f(Xl)' ...Заметим, что если для двухвыполнены равенства Х !== X g ,У!== Ygна [0,1]. Далее, из задачи 2.25 следует,Yj, Q j ),гдеf (х)Е А, есть подмножествонекоторого множества мощности с. С другой стороны, А содержит множество всех постоянных на [О,1] функций, которое имеет мощность с.Гл.2.Мощности множеств27Следовательно, по теореме Кантора-Бернштейна (задачамощность континуума.2.44.2.45.А имеетDУтверждение следует из задач2.42Заметим,содержитчто2.40)множествоАи2.25.характеристическиефункции ХЕ(Х) дЛЯ всех множеств Е с [0,1], т.
е. А содержит подмножество мощности 2 С • С другой стороны, для каждойf(x)Е А рассмотрим её график Р! на плоскости. Ясно, что если графики функцийи 9 совпадают, то и сами функции совпадают. Но{Pj} jEAfесть подмножество множества всех подмножеств плоскости. Так как плоскостьимеет мощность с (см. задачуто множество её подмножеств2.24),Симеет мощность 2 , а тогда мощность А не превосходит 2 С • Используятеорему Кантора-Бернштейна (задачаСмощность 2 •2.46.2.47.2.40),получаем, что А имеетDУтверждение следует из задач2.45 и 2.44.Отметим, что так как В С А и С с А, то с учётом теоремыКантора-Бернштейна (задача2.40)достаточно доказать, что мощностьхотя бы одного из множеств, А или В, не меньше чем с. Без ограничения общности предположим, что Вn С ==0. Пустьf(x) -взаимнооднозначное соответствие между множествами [О, 1]2 И А. Возможныдва варианта.1) Существует такое х Е [О, 1], что f(x, У) Е В для каждого у Е [О, 1].Тогда В содержит подмножество мощности с (отрезок).2) Для любого х Е [О, 1] существует такое у == у( х) Е [О, 1], чтоf(x,у) Е с.
Тогда С содержит подмножество мощности с, а именно{х, У(Х)}ХЕ[о,l].2.48.DОтметим,что таккакAiС А,тос учётомдостаточно доказать, что мощность некоторогоБезлиограниченияобщностиможносчитать,Aiчтозадачи2.40не меньше чем с.Ain A j ==0,ес#-j. Пусть f(x) - биекция множества В последовательностей{(аl,а2, ... ,а n , ... )}, где aj Е [0,1] при j Е N, на А (в задаче 2.25iпоказано, что В==с). Возможны два варианта.1. Для любого аl Е [0,1] существуют такие а2,аз, ... Е [0,1], чтоf((al,a2, ...
)) Е А 1 . В этом случае множество А 1 содержит подмножество мощностис.2. Существует такое а? Е [О, 1], что для каждого а2, аз, ... Е [О, 1]выполнено условие f((a?, а2, .. .)) tf- А 1 . Тогда у нас опять возникаютдве возможности:2а) для каждого а2 Е [О, 1] найдутся такие аз, а4,...Е [О, 1], чтоf((a?, а2, аз,·· .)) Е А 2 . Тогда А 2 имеет мощность с;2б) существует такое a~ Е [О, 1], что для любого аз, а4, ... Е [О, 1]выполнено условие f((a?, a~, аз,·· .))tf- А 2 .Гл.282.Мощности множествПовторяя этот процесс по индукции, мы получаем один из двухслучаев.1.
На некотором шаге нашлось А n , имеющее мощность с;11. Нашлись такие числа а? ' a~, . .. Е [О, 1], чтоf((a?, a~, a~, ... ))tf- А nдля любого n. Но тогдаf (ао)f(ao) tf- А. Этопротиворечит условию, т. е. данный случай невозможен.2.49.Да,можно.Например,Dрассмотрим окружности сцентромв фиксированной точке Ха и произвольным радиусом r Е (О, 1).2.50.DНет, нельзя. Если дано некоторое множество таких окружностей, то можно выбрать внутри каждой из них точку с рациональнымикоординатами.
Так как ни одна окружность не лежит внутри другой,то разным окружностям будут соответствовать разные точки, т. е. мыполучили биекцию взятого множества букв на некоторое множествоЕ с Q2. НО множество Q2 счётно в силу результата задачи 2.6.D2.51. Нарисуем на плоскости букву «А» и обозначим через 51 (А)и 52 (А) открытые множества, изображённые на рис.
2.1.Тогда мы можем выбрать для каждой буквы «А» пару точек из Q2:ZI (А) Е 51 (А) и z2(A) Е 52 (А). Предположим теперь, что две буквы А lи А 2 не пересекаются. Тогда А 2 либо лежит в области 5 1 (А l ), либо#-не пересекается с этой областью. В первом случае Z2(A 2 )z2(A l ).Во втором случае ZI (А 2 )ZI (А l ). Так как множество пар точек с ра#-циональными координатами счётно (см. задачуне более чем счётно.2.6), то множество буквDZЗА...------I-_____----.,~--.... BсРис.2.52.2.1Для буквы «Т»сделано на рис.Рис.2.2определим точки А, В, С иD,как это2.2.Выберем в треугольнике ACD точку ZI с рациональными координатами и в треугольнике BCD точку Z2 с рациональными координатами.Затем выберем точку Zз с рациональными координатами, лежащуюГл.Мощности множеств2.в угле, вертикальном с угломZlDZ2.29Заметим, что по построению каждая сторона треугольника ZlZ2ZЗ пересекает ровно один из отрезковDA, DBиа точкаDC,Dлежит внутри этого треугольника.Так как множество шестёрок рациональных чисел счётно (см.
задачуто нам достаточно доказать, что двум непересекающимся2.6),буквам(Zl, Z2,«Т»неможет соответствоватьодинитот женабор точекZз). Предположим, что для другой буквы «Т», состоящей изотрезков А' В' и С' D', получилась та же тройка точекТогда точкаZi.лежит в одной из трёх частей, на которые треугольник Zl Z2ZЗразбит отрезками DA, DB и DC. Если она лежит с той же стороны отАВ, что и точка Zз, то выходящий из неё отрезок не может пересечьD'ZlZ2и не пересечь при этом АВ, т. е. буквы Т и Т' пересекаются.ЕслиD'лежит в треугольникеADC,то выходящий их неё отрезок,пересекающий Z2ZЗ, должен пересечь либоAD,либоАналогичноDC.рассматривается и третий случай. Таким образом, непересекающимсябуквам соответствуют разные тройки2.53.ИспользуяаксиомуZз).(Zl, Z2,выбора,Dвыберемдлякаждогоу Е j((O, 1)) такую точку х Е (0,1), что j(x) == у, и обозначиммножество этих точек через А. Далее, для любого х Е А выберемпару рациональных чиселtЕ(rl (х), r2(x))х,zЕ А-былоj(x)~выполненодве разные точки.Предположим, чтотоrl (х) <j(z).соответствуютj(x) > j(z).пары< r2 (х)так, чтобы для любогонеравенствоТогдапоТогда еслиПротиворечие.разныехТаким~j(t)построениюrl (х) == rl (z)образом,рациональныхточек,иj(x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
